4. Obwody prądu przemiennego sinusoidalnego

Napięcie i prąd zmieniają się sinusoidalnie.

Prąd przemienny - prąd zmienny - prąd przemienny sinusoidalnie

Właściwości sinusoidalnych przebiegów prądu i napięcia

• pochodna i całka są sinusoidami.

• w obwodach liniowych ( stałe wartości R,L,C) występują wyłącznie wielkości sinusoidalne o różnych amplitudach i fazach.

• każdy przebieg okresowy można rozłożyć na szereg Fourier'a - harmoniczne.

• można wielkości przedstawiać w dziedzinie czasu i częstotliwości.

Przebiegi nieokresowe (niesinusoidalne), występują tylko w stanach przejściowych.

4.1 Powstawanie sinusoidalnie przemiennego napięcia

W obwodzie elektrycznym prostokątnym ( w ramce ) wirującej ze stałą prędkością kątową w stałym polu magnetycznym, indukuje się sinusoidalnie zmienne napięcie.

Napięcie indukowane jest przesunięte w fazie o kąt π/2, w stosunku do strumienia, który indukuje to napięcie.

Napięcie indukowane jest opóźnione w stosunku do strumienia.

4.2 Wielkości charakteryzujące przebiegi przemienne sinusoidalnie.

Wartości chwilowe

Równania wartości chwilowych

Fazy początkowe

Charakterystyka zmienności wielkości sinusoidalnych

Okresem funkcji sinusoidalnej jest kąt ωT = 2π

Okresem wielkości elektrycznej sinusoidalnie zmiennej jest czas T

Częstotliwość f jest odwrotnością okresu

Wartość średnia

Wartość średnia za okres i za półokresu

Wartość skuteczna

Wartością skuteczną prądu zmiennego jest wartość prądu stałego równoważnego pod względem energetycznym.

RMS- „root-mean-squer”

Wzór określający wartość skuteczną dla każdego kształtu prądu zmiennego, jest inny.

Problem 11. Obliczyć wartość skuteczną prądu przemiennego sinusoidalnie. Odp. I = √ 2. I_m

1. Wykresy wektorowe wielkości sinusoidalnych

Rzut na oś y, wirującego ze stałą prędkością wektora, jest wielkością sinusoidalnie zmienną w czasie.

Wektor taki, o określonej i stałej długości można traktować jako odwzorowanie wektorowe wielkości sinusoidalnie zmiennej.

Sumę dwóch wielkości sinusoidalnie zmiennych przesuniętych względem siebie o kąt ϕ, odwzorowuje suma geometryczna (wektorowa) wektorów odwzorowujących składowe wielkości.

Wartość maksymalna prądu ( napięcia) wypadkowego, równa jest sumie geometrycznej wartości maksymalnych prądów (napięć) składowych.

Wartości skuteczne dla sinusoidalnych wielkości jest proporcjonalna do wartości maksymalnych.

Aby wykonać dodawanie geometryczne prądów ( napięć) należy znać przesunięcie fazowe pomiędzy prądami(napięciami) składowymi.

Prawa Kirchhoff'a dla wartości skutecznych.

Pierwsze prawo Kirchhoff'a dla wartości skutecznych.

W węźle suma geometryczna wektorów prądów, o długościach równych wartościom skutecznym, równa jest zeru.

Drugie prawo Kirchhoff'a dla wartości skutecznych

W obwodzie zamkniętym (oczku), suma geometryczna wektorów napięć o długościach równych wartościom skutecznym, równa jest zeru.

Wykonywanie sumowań geometrycznych;

• geometrycznie

• analitycznie ( metoda symboliczna )

Problem 12. Obliczyć natężenie prądu przemiennego (wartość skuteczną) dopływającego do grupy trzech odbiorników połączonych równolegle, z których każdy pobiera prąd 2A. W pierwszym prąd jest w fazie z napięciem, w drugim wyprzedza to napięcie o 45° a w trzecim o kąt 90°.

Odp. 2 ( 1+√2 ) A

4.5 Elementy R, L i C w obwodach prądu sinusoidalnego.

Rezystancja R

Prąd i napięcie są w fazie - kąt przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem jest równy zeru.

Indukcyjność L

Napięcie wyprzedza prąd o 90° ( π/2 ), lub prąd opóźnia się w fazie o kąt 90° ( π/2 ).

Współczynnik określający wpływ zjawiska samoindukcji na natężenie prądu, nazywany jest reaktancją indukcyjnościową (opornością bierną indukcyjnościową).

Susceptancja.

Pojemność C

Prąd wyprzedza napięcie o 90°( π/2 ), lub napięcie opóźnia się w stosunku do prądu o 90°( π/2 ).

Współczynnik określający wpływ zjawiska gromadzenia się ładunków w pojemności na natężenie prądu nazywany jest reaktancją pojemnościową (opornością bierną pojemnościową)

Susceptancja

4.6 Szeregowe połączenie elementów R,L,C.

Można rozpatrywać jako:

• szeregowe połączenie idealnych elementów R, L, C

lub

• szeregowy schemat zastępczy dwójnika, uwzględniający wydzielanie się ciepła przy przepływie prądu (R), powstawanie pola magnetycznego (L) oraz gromadzenie ładunku (C)

Wykres wektorowy

Impedancja Z (oporność pozorna) jest zdefiniowana jako iloraz wartości skutecznych napięcia i prądu.

Definicja ta obowiązuje dla wszystkich obwodów niezależnie od ich struktury.

Możliwe są trzy przypadki

1 X_L * X_C (U_L * U_C)

• prąd opóźnia się o kąt ϕ w stosunku do napięcia

• kąt ϕ jest dodatni

• obwód ma charakter indukcyjnościowo-czynny

• X_L < X_C (U_L < U_C)

• prąd wyprzedza napięcie o kąt ϕ

• kąt ϕ jest ujemny

• obwód ma charakter pojemnościowo-czynny

3 X_L = X_C

• prąd jest w fazie z napięciem

• kąt ϕ = 0

• obwód ma charakter czynny

Obwód znajduje się w stanie rezonansu

Rezonans dla którego U_L = U_C nosi nazwę rezonansu napięć lub rezonansu szeregowego.

Występowanie rezonansu napięć w praktyce

4.7 Równoległe połączenie R, L, C

Można rozpatrywać jako:

• równoległe połączenie idealnych elementów R, L, C

lub

• równoległy schemat zastępczy dwójnika, uwzględniający wydzielanie się ciepła przy przepływie prądu (R), powstawanie pola magnetycznego (L) oraz gromadzenie ładunku (C).

Wykres wektorowy

Admitancja Y (przewodność pozorna) jest zdefiniowana jako iloraz wartości skutecznych prądu i napięcia. Jest ona odwrotnością impedancji.

Możliwe są trzy przypadki:

1 X_C * X_L ( I_C < I_L)

• prąd opóźnia się o kąt ϕ w stosunku do napięcia

• kąt ϕ jest dodatni

• obwód ma charakter indukcyjnościowo-czynny

• X_C < X_L (I_C * I_L)

• prąd wyprzedza napięcie o kąt ϕ

• kąt ϕ jest ujemny

• obwód ma charakter pojemnościowo-czynny

• X_L = X_C (I_C = I_L)

• prąd jest w fazie z napięciem

• kąt ϕ = 0

• obwód ma charakter czynny

Obwód znajduje się w stanie rezonansu

Rezonans dla którego I_L=I_C nosi nazwę rezonansu prądów lub rezonansu równoległego.

Występowanie rezonansu prądów w praktyce

1. Moc i energia w obwodach prądu przemiennego

Moc chwilowa jest iloczynem wartości chwilowych prądu i napięcia.

Moc chwilowa jest funkcją czasu (kąta ωt).

1. Krzywa mocy chwilowej jest niesymetryczna względem osi ωt.

2. Energia dodatnia jest pobierana ze źródła, energia ujemna jest oddawana do źródła.

3. Moc chwilowa ma podwójną częstotliwość w stosunku do prądu i napięcia.

4. Miarą mocy ( energii) przekazywanej ze źródła do odbiornika i tam zamienianej na inną formę energii (rozpraszanej), jest średnia wartość mocy chwilowej.

Średnią wartość mocy chwilowej nazywamy mocą czynną.

Współczynnik cosϕ nazywany jest współczynnikiem mocy

Problem 13. Obliczyć prąd w przewodach łączących punkt zasilania o napięciu 230V z odbiornikiem o mocy 2kW i cosϕ=1. Porównać z prądem w przypadku odbiornika o mocy 2kW i cosϕ=0,6.

Miarą mocy ( energii) oscylującej pomiędzy źródłem a odbiornikami L i C, jest moc bierna.

Q = U.I. sinϕ [var(eaktywny)]

Oscylacje mocy (energii) biernej są nieuniknione, ale niekorzystne dla warunków pracy sieci energetycznych

Jeżeli w sieci występują oba elementy magazynujące energię tzn. L i C, to w oscylacjach energii biorą udział :

źródło i oba elementy L i C.

W wymianie energii ze źródłem bierze udział jedynie różnica energii magazynowanej w indukcyjności L i pojemności C.

W warunkach rezonansu ilość energii magazynowanej w L ( pole magnetyczne) jest taka sama jak i w C (pole elektryczne).

Nie ma potrzeby wymiany energii biernej ze źródłem.

Obwód ma charakter czysto czynny.

W praktyce wykorzystywany jest fakt wymiany energii pomiędzy L i C, aby stworzyć obwód oscylacji tej energii poza siecią dostarczającą energię czynną.

Poprawa współczynnika mocy - kompensacja mocy biernej

Moc pozorna jest iloczynem prądu i napięcia

S = U. I [V.A]

Znaczenie praktyczne mocy pozornej

5. Układy trójfazowe

5.1 Układ trójfazowy- nie skojarzony

Jeżeli U₁= U₂ = U₃ i jeżeli kąty pomiędzy tymi napięciami są równe (120^o) to zasilanie układu trójfazowego jest symetryczne.

Jeżeli Z₁ = Z₂ = Z₃ oraz ϕ₁= ϕ₂= ϕ_3, to obciążenie układu trójfazowego jest symetryczne.

Jeżeli zasilanie jest symetryczne i obciążenie jest symetryczne

to układ trójfazowy jest symetryczny.

Układ trójfazowy nie skojarzony nie jest w praktyce stosowany.

5.2 Układ trójfazowy skojarzony w gwiazdę

W układzie trójfazowym skojarzonym w gwiazdę wyróżniamy wielkości przewodowe i fazowe.

U_p = √3.U_f 380V = 1,73 . 220V

I_p = I_f

Sposób podłączenia odbiorników jednofazowych i odbiorników trójfazowych.

5.3 Układ trójfazowy skojarzony w trójkąt

Źródeł energetycznych nie łączy się w trójkąt.

Łączenie odbiorników w trójkąt.

Przy odbiorniku połączonym w trójkąt, napięcia fazowe i przewodowe mają tą samą wartość.

U_p = U_f

I_{p =} √3.I_f

Problem 14.

Obliczyć stosunek mocy wydzielanej w odbiorniku trójfazowym połączonym w trójkąt do mocy wydzielanej w tym samym odbiorniku połączonym w gwiazdę ( przy zasilaniu z tej samej sieci trójfazowej).

---