Szymon Gaweł
•Warunki zbieżności Dirichleta
•Zachowanie szeregu Fouriera
w punktach nieciągłości
•Peter G. L. Dirichlet
•Zbieżność średniokwadratowa
•Twierdzenie Parsevala
•Moc ułamkowa
•Efekt Gibbsa
•Okna Fejera, Lanczosa...
Szereg Fouriera
Szymon Gaweł
•Warunki zbieżności Dirichleta
•Zachowanie szeregu Fouriera
w punktach nieciągłości
•Peter G. L. Dirichlet
•Zbieżność średniokwadratowa
•Twierdzenie Parsevala
•Moc ułamkowa
•Efekt Gibbsa
•Okna Fejera, Lanczosa...
Szereg Fouriera
Szymon Gaweł
Szereg Fouriera
sygnału x(t)
,
2
,
1
,
0
1
o
o
o
n
e
t
x
T
X
e
X
t
x
T
t
x
t
x
T
t
jn
n
n
t
jn
n
m
n
T
m
n
dt
e
e
e
e
n
e
T
t
m
j
t
jn
t
jm
t
jn
t
jn
,
,
0
,
2
,
1
,
0
,
o
o
o
o
o
o
Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:
klasa sygnałów A
A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I
rodzaju,
A2) posiada skończoną liczbę ekstremów,
A3) jest ograniczony
klasa sygnałów B
B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II
rodzaju,
B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki
A1A3,
B3) jest bezwzględnie całkowalny
to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny
(jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich
punktach jego ciągłości.
Szymon Gaweł
Warunek zbieżności
Dirichleta (I)
T
dt
t
x
Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi.
Warunek Dirichleta (I)
Szymon Gaweł
czas
x(t)
0
T
sygnał klasy A
I
I
Warunek Dirichleta (I)
Szymon Gaweł
czas
x(t)
0
T
sygnał klasy B
I
II
Szymon Gaweł
Warunek Dirichleta (I)
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
2
1
lim
lim
2
1
o
o
W punktach nieciągłości I rodzaju zachodzi związek:
sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału
jego wartość powinna być równa średniej
arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej.
Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do
sygnału we wszystkich chwilach czasu.
Szymon Gaweł
Zachowanie szeregu
Fouriera w punkcie
nieciągłości (I)
czas
x(t)
0
T
t
x(t-)
x(t+)
t
x
t
x
t
x
2
1
Szymon Gaweł
Punkt nieciągłości
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
2
4
6
8
10
12
Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości
czas
(10 harmonicznych)
Szymon Gaweł
Punkt nieciągłości
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
2
4
6
8
10
12
Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości
czas
(20 harmonicznych)
Szymon Gaweł
Warunek zbieżności
Dirichleta - II
T
dt
t
x
1
0
1
1
2
1
o
0
n
i
i
i
n
i
i
t
x
t
x
T
t
t
t
t
t
t
E
OGRANICZON
WAHANIE
warunek II
Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:
klasa sygnałów A
A1) ma wahanie ograniczone
klasa sygnałów B
B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II
rodzaju,
B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1,
B3) jest bezwzględnie całkowalny
to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny
(jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich
punktach jego ciągłości.
warunek I
Szymon Gaweł
Warunek zbieżności Dirichleta
- II
2
0
,
2
sin
2
ln
t
t
t
x
Sygnał bezwzględnie
całkowalny wg. G. M.
Fichtenholz
„Rachunek
różniczkowy i
całkowy”, tom II, str.
507
2
o
dt
t
x
Szymon Gaweł
Warunek zbieżności Dirichleta
- II
2
0
,
cos
2
sin
2
ln
1
t
n
nt
t
t
x
n
Szymon Gaweł
Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
•
Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku
• Najważniejsze osiągnięcia:
• teoria liczb - funkcje dzeta
• teoria mnogości - zasada szufladkowa
• teoria szeregów - zasada zbieżności
Szymon Gaweł
Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
Funkcje dzeta Riemanna:
(przypadek funkcji Dirichleta)
1
Re
,
1
1
s
n
s
n
s
Tożsamość Eulera:
pierwszych
liczb
zbiór
,
1
Re
,
1
1
1
p
s
p
s
p
s
Szymon Gaweł
Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
Hipoteza Riemanna:
(nieudowodniona do dzisiaj)
1
Re
0
,
0
1
1
s
n
s
n
s
jb
s
2
1
Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele)
funkcji dzeta Riemanna mają postać:
Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby
oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne
wskazują, że przeszło 1,5 x 10
9
liczb spełnia
hipotezę Riemanna.
Szymon Gaweł
Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
Twierdzenie o liczbach pierwszych:
(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dla
ln
1
ln
lim
2
,
pierwszych
liczb
liczba
-
Błąd oszacowania:
x = 10
10
4,5%
x = 10
14
3,0%
x = 10
18
2,5%
Szymon Gaweł
Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
Zasada pudełkowa Dirichleta:
Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach,
to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty.
N = 4
K = 3
Zastosowanie:
W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę
włosów na głowie (N 800.000)
Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000
Szymon Gaweł
Zbieżność
średniokwadratowa
aproksymacja
szeregu Fouriera
k
k
n
t
jn
n
n
t
jn
n
e
X
t
s
e
X
t
x
o
o
szereg Fouriera
Średniokwadratowy błąd aproksymacji
0
1
o
2
T
dt
t
s
t
x
T
e
Szymon Gaweł
Zbieżność
średniokwadratowa
Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratową
sygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki:
0
1
2
o
2
k
k
k
n
n
T
X
dt
t
x
T
e
T
dt
t
x
T
o
2
1
a więc skończona energia (moc) sygnału.
n
n
T
X
dt
t
x
T
2
o
2
1
Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału:
T
dt
t
x
T
P
o
2
1
w dziedzinie częstotliwości:
n
n
X
P
2
Szymon Gaweł
Twierdzenie Parsevala
Szymon Gaweł
Moc ułamkowa
1
2
2
o
n
n
n
k
k
n
n
u
X
X
kf
P
0
5
10
15
20
25
30
35
0
0.05
0.1
0.15
0.2
kf
o
|X
k
|
Moc ułamkowa
P
u
(kf
o
)
Szymon Gaweł
Moc ułamkowa
t
n
n
e
n
j
t
x
n
t
jn
n
n
o
1
2
o
sin
1
1
2
1
1
2
2
1
0
5
10
15
20
25
30
35
75
80
85
90
95
100
nfo
P
(n
fo
)
[%
]
Sygnał piłokształtny
%
99
16
%
95
4
%
90
2
o
o
o
f
P
f
P
f
P
u
u
u
Szymon Gaweł
Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 90%)
0
0.5
1
1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aproksymacja sygnału piłokształtnego
2 harmoniczne
90% mocy sygnału
Szymon Gaweł
Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 95%)
0
0.5
1
1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aproksymacja sygnału piłokształtnego
4 harmoniczne
95% mocy sygnału
Szymon Gaweł
Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 99%)
0
0.5
1
1.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Aproksymacja sygnału piłokształtnego
16 harmonicznych
99% mocy sygnału
Szymon Gaweł
Efekt Gibbsa
-0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
efekt Gibbsa
Impuls prostokątny
11 harmonicznych
Szymon Gaweł
Efekt Gibbsa
-0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
efekt Gibbsa
Impuls prostokątny
39 harmonicznych
Szymon Gaweł
Efekt Gibbsa
-0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
efekt Gibbsa
Impuls prostokątny
79 harmonicznych
Szymon Gaweł
Efekt Gibbsa
Efekt Gibbsa występuje w punktach
nieciągłości sygnału,
a objawia się jako nadmierne oscylacje
aproksymacji
skończonym szeregiem Fouriera, poziom
oscylacji jest
niezależny od długości aproksymacji.
k
k
n
t
jn
n
n
n
t
jn
n
e
X
w
t
s
e
X
t
x
o
o
Funkcja okna (ang. window)
k
n
w
n
,
0
jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa.
W klasycznej aproksymacji jest stosowane
okno prostokątne o wagach
k
n
w
n
,
1
Szymon Gaweł
Okna Fejera, Lanczosa...
Okno prostokątne Okno Fejera
k
n
w
n
,
1
k
n
k
n
w
n
,
/
1
Okno Lanczosa
Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera...
x
x
x
Sa
k
n
k
n
Sa
w
n
/
sin
,
/
Szymon Gaweł
Okna Fejera, Lanczosa...
Szymon Gaweł
Okna Fejera, Lanczosa...
-15
-10
-5
0
5
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Okna aproksymacji szeregiem Fouriera
numery wyrazów szeregu Fouriera n
w
a
g
a
w
n
okno prostokątne
okno Fejera
okno Lanczosa
okno von Hanna
podwójna szerokość okna 2*k + 1
Szymon Gaweł
Okna Fejera, Lanczosa...
-0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
okno prostokatne
impuls prostokątny
okno Fejera
okno Lanczosa
Impuls prostokątny
11 harmonicznych
Impuls prostokątny
7 harmonicznych
Szymon Gaweł
Okna Fejera, Lanczosa...
-0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
okno prostokatne
impuls prostokątny
okno Fejera
okno Lanczosa
Impuls prostokątny
15 harmonicznych
Szymon Gaweł
Okna, efekt Gibbsa,
błąd aproksymacji...
Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć
efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału),
ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego.
Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym)
stanowi najlepszą aproksymację sygnału,
zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego.
Szymon Gaweł
Podsumowanie
• Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera
do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera
generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości.
• Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy
sygnału (zbieżność średniokwadratowa).
• Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala
pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych
składowych harmonicznych.
• Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować
w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału.
• W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera
wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa).
• Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa,
ale kosztem dokładności aproksymacji.