Szymon Gaweł

•Warunki zbieżności Dirichleta

•Zachowanie szeregu Fouriera
w punktach nieciągłości

•Peter G. L. Dirichlet

•Zbieżność średniokwadratowa

•Twierdzenie Parsevala

•Moc ułamkowa

•Efekt Gibbsa

•Okna Fejera, Lanczosa...

Szereg Fouriera

Szymon Gaweł

Szereg Fouriera
sygnału x(t)

 





 

 



,

2

,

1

,

0

1

o

o

o





























n

e

t

x

T

X

e

X

t

x

T

t

x

t

x

T

t

jn

n

n

t

jn

n







































m

n

T

m

n

dt

e

e

e

e

n

e

T

t

m

j

t

jn

t

jm

t

jn

t

jn

,

,

0

,

2

,

1

,

0

,

o

o

o

o

o

o













Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów A
A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I
rodzaju,
A2) posiada skończoną liczbę ekstremów,
A3) jest ograniczony
klasa sygnałów B
B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II
rodzaju,
B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki
A1A3,

B3) jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny
(jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich
punktach jego ciągłości.

Szymon Gaweł

Warunek zbieżności
Dirichleta (I)

 







T

dt

t

x

Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi.

Warunek Dirichleta (I)

Szymon Gaweł

czas

x(t)

0

T

sygnał klasy A

I

I

Warunek Dirichleta (I)

Szymon Gaweł

czas

x(t)

0

T

sygnał klasy B

I

II

Szymon Gaweł

Warunek Dirichleta (I)

 









   

































t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

2

1

lim

lim

2

1

o

o









W punktach nieciągłości I rodzaju zachodzi związek:

sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału
jego wartość powinna być równa średniej
arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej.

Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do
sygnału we wszystkich chwilach czasu.

Szymon Gaweł

Zachowanie szeregu
Fouriera w punkcie
nieciągłości (I)

czas

x(t)

0

T

t

x(t-)

x(t+)

 

   













t

x

t

x

t

x

2

1

Szymon Gaweł

Punkt nieciągłości

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

2

4

6

8

10

12

Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(10 harmonicznych)

Szymon Gaweł

Punkt nieciągłości

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

2

4

6

8

10

12

Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(20 harmonicznych)

Szymon Gaweł

Warunek zbieżności
Dirichleta - II

 







T

dt

t

x

   

































1

0

1

1

2

1

o

0

n

i

i

i

n

i

i

t

x

t

x

T

t

t

t

t

t

t





E

OGRANICZON

WAHANIE

warunek II

Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów A
A1) ma wahanie ograniczone

klasa sygnałów B
B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II
rodzaju,
B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1,
B3) jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny
(jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich
punktach jego ciągłości.

warunek I

Szymon Gaweł

Warunek zbieżności Dirichleta
- II

 

 







2

0

,

2

sin

2

ln









t

t

t

x

Sygnał bezwzględnie

całkowalny wg. G. M.

Fichtenholz

„Rachunek

różniczkowy i

całkowy”, tom II, str.

507

 









2

o

dt

t

x

Szymon Gaweł

Warunek zbieżności Dirichleta
- II

 

 







2

0

,

cos

2

sin

2

ln

1

















t

n

nt

t

t

x

n

Szymon Gaweł

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

•

Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku

• Najważniejsze osiągnięcia:

• teoria liczb - funkcje dzeta

• teoria mnogości - zasada szufladkowa

• teoria szeregów - zasada zbieżności

Szymon Gaweł

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Funkcje dzeta Riemanna:
(przypadek funkcji Dirichleta)

 

 

1

Re

,

1

1











s

n

s

n

s



Tożsamość Eulera:

 

 

pierwszych

liczb

zbiór

,

1

Re

,

1

1

1











p

s

p

s

p

s



Szymon Gaweł

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Hipoteza Riemanna:
(nieudowodniona do dzisiaj)

 

 

1

Re

0

,

0

1

1















s

n

s

n

s



jb

s





2

1

Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele)
funkcji dzeta Riemanna mają postać:

Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby
oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne
wskazują, że przeszło 1,5 x 10

9

liczb spełnia

hipotezę Riemanna.

Szymon Gaweł

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Twierdzenie o liczbach pierwszych:

(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta)

 

 

 



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dla

ln

1

ln

lim

2

,

pierwszych

liczb

liczba

-







Błąd oszacowania:

x = 10

10

4,5%
x = 10

14

3,0%
x = 10

18

2,5%

Szymon Gaweł

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Zasada pudełkowa Dirichleta:

Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach,
to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty.

N = 4
K = 3

Zastosowanie:
W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę
włosów na głowie (N  800.000)

Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000

Szymon Gaweł

Zbieżność
średniokwadratowa

aproksymacja
szeregu Fouriera

 

 





















k

k

n

t

jn

n

n

t

jn

n

e

X

t

s

e

X

t

x

o

o





szereg Fouriera

Średniokwadratowy błąd aproksymacji

   





0

1

o

2









T

dt

t

s

t

x

T

e

Szymon Gaweł

Zbieżność
średniokwadratowa

Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratową
sygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki:

 

0

1

2

o

2



 





















k

k

k

n

n

T

X

dt

t

x

T

e

 







T

dt

t

x

T

o

2

1

a więc skończona energia (moc) sygnału.

 













n

n

T

X

dt

t

x

T

2

o

2

1

Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału:

 





T

dt

t

x

T

P

o

2

1

w dziedzinie częstotliwości:











n

n

X

P

2

Szymon Gaweł

Twierdzenie Parsevala

Szymon Gaweł

Moc ułamkowa

 

1

2

2

o



 

























n

n

n

k

k

n

n

u

X

X

kf

P

0

5

10

15

20

25

30

35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

kf

o

|X

k

|

Moc ułamkowa

P

u

(kf

o

)

Szymon Gaweł

Moc ułamkowa

 





t

n

n

e

n

j

t

x

n

t

jn

n

n

o

1

2

o

sin

1

1

2

1

1

2

2

1

































0

5

10

15

20

25

30

35

75

80

85

90

95

100

nfo

P

(n

fo

)

[%

]

Sygnał piłokształtny













%

99

16

%

95

4

%

90

2

o

o

o







f

P

f

P

f

P

u

u

u

Szymon Gaweł

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 90%)

0

0.5

1

1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

2 harmoniczne

90% mocy sygnału

Szymon Gaweł

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 95%)

0

0.5

1

1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

4 harmoniczne

95% mocy sygnału

Szymon Gaweł

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny - 99%)

0

0.5

1

1.5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

16 harmonicznych

99% mocy sygnału

Szymon Gaweł

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

11 harmonicznych

Szymon Gaweł

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

39 harmonicznych

Szymon Gaweł

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

79 harmonicznych

Szymon Gaweł

Efekt Gibbsa

Efekt Gibbsa występuje w punktach

nieciągłości sygnału,

a objawia się jako nadmierne oscylacje

aproksymacji

skończonym szeregiem Fouriera, poziom

oscylacji jest

niezależny od długości aproksymacji.

 

 





















k

k

n

t

jn

n

n

n

t

jn

n

e

X

w

t

s

e

X

t

x

o

o





Funkcja okna (ang. window)

k

n

w

n



 ,

0

jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa.

W klasycznej aproksymacji jest stosowane

okno prostokątne o wagach

k

n

w

n



 ,

1

Szymon Gaweł

Okna Fejera, Lanczosa...

Okno prostokątne Okno Fejera

k

n

w

n



 ,

1

k

n

k

n

w

n







,

/

1

Okno Lanczosa

Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera...





 

x

x

x

Sa

k

n

k

n

Sa

w

n

/

sin

,

/









Szymon Gaweł

Okna Fejera, Lanczosa...

Szymon Gaweł

Okna Fejera, Lanczosa...

-15

-10

-5

0

5

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Okna aproksymacji szeregiem Fouriera

numery wyrazów szeregu Fouriera n

w

a

g

a

w

n

okno prostokątne

okno Fejera

okno Lanczosa

okno von Hanna

podwójna szerokość okna 2*k + 1

Szymon Gaweł

Okna Fejera, Lanczosa...

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

okno prostokatne

impuls prostokątny

okno Fejera

okno Lanczosa

Impuls prostokątny

11 harmonicznych

Impuls prostokątny
7 harmonicznych

Szymon Gaweł

Okna Fejera, Lanczosa...

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

okno prostokatne

impuls prostokątny

okno Fejera

okno Lanczosa

Impuls prostokątny

15 harmonicznych

Szymon Gaweł

Okna, efekt Gibbsa,
błąd aproksymacji...

Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć

efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału),

ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego.

Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym)

stanowi najlepszą aproksymację sygnału,

zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego.

Szymon Gaweł

Podsumowanie

• Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera
do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera
generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości.

• Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy
sygnału (zbieżność średniokwadratowa).

• Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala
pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych
składowych harmonicznych.

• Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować
w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału.

• W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera
wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa).

• Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa,
ale kosztem dokładności aproksymacji.