„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

•Warunki zbieżności Dirichleta

•Zachowanie szeregu Fouriera
w punktach nieciągłości

•Peter G. L. Dirichlet

•Zbieżność średniokwadratowa

•Twierdzenie Parsevala

•Moc ułamkowa

•Efekt Gibbsa

•Okna Fejera, Lanczosa...

•Podsumowanie

Zbieżność szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Szereg Fouriera
sygnału x(t)

  



 

 



,

2

,

1

,

0

1

o

o

o





























n

dt

e

t

x

T

X

e

X

t

x

T

t

x

t

x

T

t

jn

n

n

t

jn

n







































m

n

T

m

n

dt

e

e

e

e

n

e

T

t

m

j

t

jn

t

jm

t

jn

t

jn

,

,

0

,

2

,

1

,

0

,

o

o

o

o

o

o













Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów A
A1)

posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I

rodzaju,

A2)

posiada skończoną liczbę ekstremów,

A3)

jest ograniczony

klasa sygnałów B
B1)

posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II

rodzaju,

B2)

poza punktami nieciągłości

B1)

spełnia warunki

A1A3

,

B3)

jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest

zbieżny

(jednostajnie)

do sygnału x(t) we wszystkich

punktach jego

ciągłości.

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Warunek zbieżności
Dirichleta (I)

 







T

dt

t

x

Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi.

 





t

x

Warunek Dirichleta (I)

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

czas

x(t)

0

T

sygnał klasy A

I

I

Warunek Dirichleta (I)

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

czas

x(t)

0

T

sygnał klasy B

I

II

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek Dirichleta (I)









   































t

x

t

x

t

x

t

x

2

1

lim

lim

2

1

o

o









W punktach nieciągłości

I rodzaju

szereg Fouriera

przyjmuje wartość:

sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału
x(t) jego wartość powinna być równa

średniej

arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej

.

Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do
sygnału we

wszystkich

chwilach czasu (ale jednostajną

wyłącznie w punktach ciągłości).

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Zachowanie szeregu
Fouriera w punkcie
nieciągłości

czas

x(t)

0

T

t

x(t-)

x(t+)

 

   













t

x

t

x

t

x

2

1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Punkt nieciągłości

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

2

4

6

8

10

12

Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(10 harmonicznych)

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Punkt nieciągłości

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

2

4

6

8

10

12

Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(20 harmonicznych)

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności
Dirichleta - II

 







T

dt

t

x

   

































1

0

1

1

2

1

o

0

n

i

i

i

n

i

i

t

x

t

x

T

t

t

t

t

t

t





E

OGRANICZON

WAHANIE

warunek II

Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów A
A1)

ma wahanie ograniczone

klasa sygnałów B
B1)

posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II

rodzaju,

B2)

poza punktami nieciągłości

B1)

spełnia warunek

A1

,

B3)

jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny
(jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich
punktach jego ciągłości.

warunek I

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta -
II

 

 







2

0

,

2

sin

2

ln









t

t

t

x

Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz
„Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507

 









2

o

dt

t

x

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta -
II

 

 







2

0

,

cos

2

sin

2

ln

1

















t

n

nt

t

t

x

n

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

•

Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku

• Najważniejsze osiągnięcia:

• teoria liczb

- funkcje dzeta

• teoria mnogości

- zasada szufladkowa

• teoria szeregów

- zasada zbieżności

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Funkcje dzeta Riemanna:

(przypadek funkcji Dirichleta)

 

 

1

Re

,

1

1











s

n

s

n

s



Tożsamość Eulera:

 

 

pierwszych

liczb

zbiór

,

1

Re

,

1

1

1











p

s

p

s

p

s



„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Hipoteza Riemanna:

(nieudowodniona do dzisiaj)

 

 

1

Re

0

,

0

1

1















s

n

s

n

s



jb

s





2

1

Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele)
funkcji dzeta Riemanna mają postać:

Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby
oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne
wskazują, że przeszło 1,5 x 10

9

liczb spełnia

hipotezę Riemanna.

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Twierdzenie o liczbach pierwszych:

(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta)

 

 

 



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dla

ln

1

ln

lim

2

,

pierwszych

liczb

liczba

-







Błąd oszacowania:

x = 10

10

4,5%
x = 10

14

3,0%
x = 10

18

2,5%

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune
Dirichlet

Zasada pudełkowa Dirichleta:

Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach,
to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty.

N = 4

K = 3

Zastosowanie:
W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę
włosów na głowie (

N  800.000

)

Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Zbieżność
średniokwadratowa

aproksymacja
szeregiem Fouriera

 

 





















k

k

n

t

jn

n

n

t

jn

n

e

X

t

x

e

X

t

x

o

o

a





szereg Fouriera

Średniokwadratowy błąd aproksymacji

 

 





0

1

o

2

a

2









T

dt

t

x

t

x

T

e

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Zbieżność
średniokwadratowa

Szereg Fouriera stanowi

aproksymację średniokwadratową

sygnału. Warunkiem jej istnienia jest

skończona wartość całki

:

 

0

1

2

o

2

2



 





















k

k

k

n

n

T

X

dt

t

x

T

e

 







T

dt

t

x

T

o

2

1

a więc

skończona energia (moc)

sygnału.

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Twierdzenie Parsevala

 













n

n

T

X

dt

t

x

T

2

o

2

1

Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału:

 





T

dt

t

x

T

P

o

2

1

w dziedzinie częstotliwości:











n

n

X

P

2

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Moc ułamkowa

 

1

2

2

o

u



 

























k

n

n

k

k

n

n

X

X

kf

P

0

5

10

15

20

25

30

35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

kf

o

|X

k

|

Moc ułamkowa

T = 1

t

1

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Moc ułamkowa

 





t

n

n

e

n

j

t

x

n

t

jn

n

n

o

1

2

o

sin

1

1

2

1

1

2

2

1

































0

5

10

15

20

25

30

35

75

80

85

90

95

100

kf

0

P

(k

f

o

)

[%

]

Sygnał piłokształtny

 

 





%

99

16

%

95

4

%

90

2

o

u

o

u

o

u







f

P

f

P

f

P

T = 1

t

1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny -
90%)

0

0.5

1

1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

2 harmoniczne

90% mocy sygnału

T = 1

t

1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny -
95%)

0

0.5

1

1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

4 harmoniczne

95% mocy sygnału

T = 1

t

1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa
(sygnał piłokształtny -
99%)

0

0.5

1

1.5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Aproksymacja sygnału piłokształtnego

16 harmonicznych

99% mocy sygnału

T = 1

t

1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

11 harmonicznych

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

39 harmonicznych

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny

79 harmonicznych

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa

Efekt Gibbsa występuje w punktach

nieciągłości sygnału,

a objawia się jako nadmierne oscylacje

aproksymacji

skończonym szeregiem Fouriera; poziom

oscylacji jest

niezależny od długości aproksymacji.

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera,
Lanczosa...

 

 





















k

k

n

t

jn

n

n

n

t

jn

n

e

X

w

t

s

e

X

t

x

o

o





Funkcja okna (ang. window)

k

n

w

n



 ,

0

jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa.

W klasycznej aproksymacji jest stosowane

okno prostokątne o wagach

k

n

w

n



 ,

1

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Okna Fejera,
Lanczosa...

Okno prostokątne Okno Fejera

k

n

w

n



 ,

1

k

n

k

n

w

n







,

/

1

Okno Lanczosa

Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera...





 

x

x

x

Sa

k

n

k

n

Sa

w

n

/

sin

,

/









„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Okna Fejera,
Lanczosa...

-15

-10

-5

0

5

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Okna aproksymacji szeregiem Fouriera

numery wyrazów szeregu Fouriera n

w

a

g

a

w

n

okno prostokątne

okno Fejera

okno Lanczosa

okno von Hanna

podwójna szerokość okna 2*k + 1

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera,
Lanczosa...

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

okno prostokatne

impuls prostokątny

okno Fejera

okno Lanczosa

Impuls prostokątny

11 harmonicznych

Impuls prostokątny
7 harmonicznych

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera,
Lanczosa...

-0.5

0

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

okno prostokatne

impuls prostokątny

okno Fejera

okno Lanczosa

Impuls prostokątny

15 harmonicznych

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna, efekt Gibbsa,
błąd aproksymacji...

Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć

efekt Gibbsa

(oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału),

ale

kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego.

Pamiętajmy, że przecież

szereg Fouriera (z oknem prostokątnym)

stanowi

najlepszą aproksymację sygnału,

zapewniającą

minimum błędu średniokwadratowego.

„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Podsumowanie

•

Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera

do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera
generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości.

•

Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy

sygnału (zbieżność średniokwadratowa).

•

Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala

pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych
składowych harmonicznych.

•

Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować

w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału.

•

W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera

wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa).

•

Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa,

ale kosztem dokładności aproksymacji.