Kryteria zbieżności szeregów

Kryteria zbieżności szeregów to grupa twierdzeń pozwalających ustalić, czy dany szereg jest zbieżny, czy nie. Jeżeli szereg spełnia warunki podane w kryterium, to przesądza to o jego zbieżności lub rozbieżności, w przeciwnym wypadku dane kryterium mówi o szeregu tylko tyle, że ten go nie spełnia. Korzystając z kryterium zbieżności, zwykle wyliczamy pomocnicze wielkości związane z szeregiem i na tej podstawie wydajemy osąd.

Niech dany będzie szereg ∑a_n o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.

Oto kilka najczęściej używanych kryteriów zbieżności szeregów liczbowych.

Warunek konieczny zbieżności

Jeżeli szereg ∑a_n jest zbieżny, to lim_n→∞ a_n = 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.

Warunek Cauchy'ego zbieżności

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:

Szereg liczbowy ∑a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:

Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych ciągu (a_n) jest ciągiem Cauchy'ego.

Zbieżność bezwzględna

Szereg ∑a_n nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a_n|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie - mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę (zobacz: szereg).

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a_n.

Kryterium d'Alemberta

Jeżeli granica ciągu |a_n+1|/|a_n| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla rozbieżności szeregu wystarczy zresztą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a_n+1|/|a_n|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.

Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: jeżeli granica górna ciągu |a_n+1|/|a_n| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.

szereg ∑a_n jest zbieżny

szereg ∑a_n jest rozbieżny

kryterium nie rozstrzyga

Kryterium Raabego

Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

szereg ∑a_n jest zbieżny

szereg ∑a_n jest rozbieżny

kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 - inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.

Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli granica ciągu
istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu
jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.

Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta - jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.

Kryterium całkowe

Szereg o wyrazie ogólnym a_n = f(n) jest zbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa
jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale
była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

Kryterium porównawcze

Jeżeli wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewnego N nierówność |a_n| ≤ b_n i szereg ∑b_n jest zbieżny, to również szereg ∑a_n jest zbieżny (i to - oczywiście - bezwzględnie).

Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewnego N nierówność a_n ≥ b_n ≥ 0 i szereg ∑b_n jest rozbieżny, to również szereg ∑a_n jest rozbieżny.

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub (rzadziej) geometrycznym.

Kryterium zagęszczania

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg ∑a_n jest taki, że ciąg |a_n| jest monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑pⁿ·|a_pⁿ|, to zbieżny jest szereg ∑a_n.

Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)

Jeżeli mamy szeregi ∑a_n, ∑b_n i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim_n→∞ (a_n/b_n) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = 0 i ∑b_n jest zbieżny, to ∑a_n jest zbieżny.

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = ∞ i ∑a_n jest zbieżny, to ∑b_n jest zbieżny.

Szeregi o wyrazach dowolnych

Kryterium Leibniza

Jeżeli dany jest ciąg liczb dodatnich
jest zbieżny do 0, to szereg
jest zbieżny.

Kryterium Abela

Jeżeli szereg ∑a_n jest zbieżny, a ciąg (b_n) jest monotoniczny i ograniczony, to szereg ∑a_nb_n jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta

Jeżeli mamy dany szereg postaci ∑a_nb_n, gdzie ciąg (a_n) jest monotoniczny i zbieżny do 0, zaś ciąg sum częściowych szeregu ∑b_n jest ograniczony, to szereg ∑a_nb_n jest zbieżny.

Twierdzenie Greena

Niech D będzie obszarem normalnym takim, że
oraz g₁(x) < y < g₂(x), wtedy brzeg D możemy podzielić na C₁,C₂,C₃,C₄, co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena to matematyczne twierdzenie sformułowane przez amerykańskiego naukowca George'a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Treść twierdzenia

Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ wewnątrz obszaru normalnego D, krzywa K jest brzegiem obszaru D i jest zorientowana dodatnio, to zachodzi wzór Greena:

.

Aby zaznaczyć, że krzywa K jest zamknięta, używa się także symbolu całki z okręgiem:

---