21. Definicja szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności.

Definicja: Szereg obrazuje sumowanie nieskończonej liczby składników. Dany jest więc ciąg liczbowy (a_n)_n∈ℕ. Tworzymy ciąg sum częściowych:

$$S_{n} \sum_{k = 1}^{n}{a_{k} = a_{1} + \ldots + a_{n}.}$$

Mówimy, że szereg

$$\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$$

jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych (S_n) jest zbieżny. Sumą tego szeregu nazywamy granicę ciągu sum częściowych. Oznaczamy ją tak samo, jak sam szereg.

$$\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$$

Jest zbieżny, to a_n = 0.

Przykład: Ciąg $\frac{1}{n} \rightarrow 0,\ chociaz\ szereg\ $

$$\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

nie jest zbieżny.

Warunek Cauchy’ego: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu spełnia warunek Cauchy’ego:

$$\forall_{\varepsilon}\exists_{n_{0}}\forall_{n > m \geq n_{0}\ }|\sum_{k = m}^{n}{a_{k}|\ < \varepsilon\ }$$

To szereg $\sum_{}^{}a_{k}$ jest zbieżny.

Przykład: Szereg

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n\left( n + 1 \right)}$$

jest zbieżny, bo:

$$\frac{1}{n\left( n + 1 \right)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\text{\ i\ }S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} \rightarrow 1\ \left( ciag\ teleskopowy \right).$$

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Niech dla każdego n a_n ≥ 0. Wtedy ciąg sum częściowych jest niemalejący, więc jest zbieżny jest ograniczony.

Kryterium porównawcze

Jeżeli dla każdego n, 0 ≤ a_n ≤ b_n i szereg $\sum_{}^{}b_{n}$ jest zbieżny to szereg $\sum_{}^{}a_{n}\ $ jest zbieżny.

Kryterium Cauchy’ego

Jeżeli

$$\operatorname{}{\sup\sqrt[n]{a_{n}} < 1,\ }$$

To szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ jest zbieżny, a jeśli istnieje n₀ takie, że dla n ≥ n₀ mamy $\sqrt[n]{a_{n}} \geq 1$, to szereg jest rozbieżny.

Kryterium d’Alemberta

Jeżeli

$$\operatorname{}{\sup\left( \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right)\ < 1,\ }$$

To szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ jest zbieżny, a jeśli istnieje n₀ takie, że dla n ≥ n₀ mamy $\left( \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right) \geq 1$, to szereg jest rozbieżny.

Szeregi harmoniczne

Szereg

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$$

Jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p ≤ 1.

Szeregi naprzemienne

Niech dla każdego n, a_n ≥ 0. Rozważmy szereg $\sum_{}^{}{\left( - 1 \right)^{n}a_{n}.}$

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg (a_n) jest nierosnący i a_n = 0,   to szereg $\sum_{}^{}{\left( - 1 \right)^{n}a_{n}}$ jest zbieżny.