Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego szeregów liczbowych. Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów: d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta oraz asymptotyczne. Na zakończenie pokazujemy, że liczna jest sumą pewnego szeregu.

Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone pojęcie szeregu (patrz definicja 6.1.). Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.) oraz kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.9.). Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria (czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.

Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się wyrazów szeregu , wnioskować o zbieżności (lub rozbieżności) ciągu sum częściowych (czyli zbieżności szeregu).

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie 7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to
(1) szereg  jest zbieżny
(2) szereg  jest rozbieżny

Dowód 7.1.

(Ad (1)) Warunek dla oznacza, że

Zatem dla mamy

Oznaczając mamy

zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny

(gdyż ). Korzystając z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

(Ad (2)) Z założenia wiemy, że istnieje takie, że

Wówczas dla dowolnego mamy

czyli

Zatem oczywiście i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.), czyli jest rozbieżny.

Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą, ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny. Dowód tego wniosku oparty na twierdzeniu 7.1. pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.

Wniosek 7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.3.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)

(4)

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

Zatem

czyli korzystając z kryterium a'Alemberta (patrz wniosek 7.2. (1)), otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.

(2) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

Zatem

czyli korzystając z kryterium a'Alemberta (patrz wniosek 7.2. (2)), otrzymujemy, że szereg jest rozbieżny.
(3) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

Zatem

czyli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
Ale zauważmy, że

zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.), więc szereg jest rozbieżny.

(4) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

Zatem

czyli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
Zauważmy jednak, że

oraz szereg jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrz przykład 6.15.) zatem z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.

Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu -tych pierwiastków z kolejnych wyrazów

Twierdzenie 7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to
(1) szereg   jest zbieżny

(2)  dla nieskończenie wielu   szereg   jest rozbieżny

Dowód 7.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że dla czyli

Zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny (bo ). Zatem z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2)) Jeśli dla nieskończenie wielu to także

dla nieskończenie wielu

zatem czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.

Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej praktyczną wersję tego kryterium. Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków -tego stopnia z kolejnych wyrazów szeregu różnej od rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.

Wniosek 7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.6.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)

(3)

Rozwiązanie

(1) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

(patrz na przykład ćwiczenie 5.2.). Ponieważ więc korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.), otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.

(2) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

Ponieważ więc korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.), otrzymujemy, że szereg jest rozbieżny.

(3) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

Zatem kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności tego szeregu. Widzimy jednak, że szereg ten jest uogólnionym szeregiem harmonicznym z wykładnikiem (patrz przykład 6.15.), zatem jest szeregiem rozbieżnym.

Zachodzi pewien związek między kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta. Będzie on wynikał z następującego lematu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Lemat 7.7.

Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to

Wniosek 7.8.

(1) Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta, to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga. Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów, do których stosuje się kryterium d'Alemberta. Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których stosuje się kryterium d'Alemberta. Aby to zobaczyć, rozważmy szereg

Ponieważ

zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest zbieżny.
Z kolei

zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

Lemat 7.7. można wykorzystać do obliczania granic pewnych ciągów.

Przykład 7.9.

Obliczyć granicę ciągu gdzie

Rozwiązanie

Wykorzystamy lemat 7.7. Niech Obliczmy

Z lemat 7.7. wynika, że jeśli istnieje granica to także granica istnieje i są sobie równe, to znaczy

Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym (ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Twierdzenie 7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.

Dowód 7.10.

Ustalmy dowolne Ponieważ więc z definicji granicy

czyli

Stosując kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu

Przykład 7.11.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Ponieważ wiemy, że

(patrz twierdzenie 5.8. (7) o granicach specjalnych) oraz wiemy już, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, więc na mocy kryterium asymptotycznego szereg jest rozbieżny.

Szeregi o wyrazach znakozmiennych

W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.

Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.12.

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu to znaczy

Z założenia wiemy, że ciąg jest ograniczony, to znaczy

Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Dla mamy

Zatem

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz twierdzenie 6.7.).

Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.

Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]

Jeśli jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.13.

Wystarczy przyjąć Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest postaci

a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

Przykład 7.14.

Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:

jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.

Założenie, że zbieżność ciągu do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład 7.15.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Pokażemy, że szereg jest rozbieżny. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że szereg jest zbieżny. Weźmy szereg Jest on zbieżny (z kryterium Leibniza; patrz wniosek 7.13.). Zatem suma obu szeregów jest szeregiem zbieżnym. Ale suma ta wynosi

i jest szeregiem rozbieżnym

(gdyż jest to szereg harmoniczny), sprzeczność.

Zauważmy, że chociaż to jednak zbieżność ta nie jest monotoniczna. Zatem nie mogliśmy tu stosować kryterium Leibniza.

Liczba e

Przypomnijmy, że liczba była zdefiniowana jako granica pewnego ciągu (patrz twierdzenie 5.1.). Okazuje się, że liczbę tę można także otrzymać jako sumę pewnego szeregu liczbowego. Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność liczby

Twierdzenie 7.16. [O liczbie ]

(1) Szereg jest zbieżny oraz ;
(2)

Dowód 7.16.

(Ad (1)) Przypomnijmy, że

Niech

to znaczy jest ciągiem sum częściowych szeregu Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), dla dowolnego dostajemy

Zatem

Ustalmy dowolne Wówczas dla dowolnego mamy

Przechodząc do granicy z po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego zatem możemy przejść do granicy z i dostajemy

Zatem ostatecznie dostajemy

co należało dowieść.
(Ad (2)) Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do zatem

Z pierwszej części dowodu wynika, że

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że tzn. gdzie oraz Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że

Niech Wówczas

Ale z definicji mamy czyli sprzeczność.

@@@@@@@@@@@@@@@@@

7. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Ćwiczenie 7.1.

Zbadać zbieżność szeregów
(1)

(2)
(3)

(4)

Wskazówka

(1)-(3) Skorzystać z kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.). W tym celu należy obliczyć

(4) Skorzystać z kryterium Cauchy'ego (w wersji ogólnej; patrz twierdzenie 7.4.).

Rozwiązanie

(1) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

Zauważmy, że

oraz

Zatem

Ponieważ więc z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(2) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

W celu obliczenia ostatniej granicy zauważmy, że

ponieważ więc korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11.), wnioskujemy, że Na mocy kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(3) W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy

Ponieważ więc na mocy kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.) wnioskujemy, że szereg jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg jest rozbieżny.

(4) Kryterium Cauchy'ego (patrz wniosek 7.5.) nie rozstrzyga o zbieżności tego szeregu, ponieważ

Zastosujmy jednak ogólną wersję kryterium Cauchy'ego. Ponieważ ciąg jest zbieżny do liczby rosnąco, więc

czyli

Ponieważ dla więc na mocy ogólnego kryterium Cauchy'ego (patrz twierdzenie 7.4. (2)) wnioskujemy, że szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest rozbieżny.

Ćwiczenie 7.2.

Zbadać zbieżność szeregów
(1)

(2)

(3)

Wskazówka

(1) Skorzystać z kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.). W tym celu należy obliczyć

(2) Symbol oznacza iloczyn liczb naturalnych niewiększych od i tej samej parzystości co to znaczy

Sprawdzić, czy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) rozstrzyga zbieżność szeregu. Jeśli nie, to należy sprawdzić, czy można skorzystać z ogólnego kryterium d'Alemberta (patrz twierdzenie 7.1.).

(3) Warto zauważyć, że nie stosuje się tu kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.). Ale można skorzystać z ogólnego kryterium d'Alemberta (patrz twierdzenie 7.1.).

Rozwiązanie

(1) W celu skorzystania z kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) liczymy

zatem

Ponieważ więc na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(2) W celu skorzystania z kryterium d'Alemberta liczymy

zatem

Zatem nie stosuje się tu kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.). Ale z powyższych wyliczeń widać, że

zatem z ogólnej wersji kryterium d'Alemberta (patrz twierdzenie 7.1.) wynika, że szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest rozbieżny.

(3) Obliczmy

zatem

Zatem nie stosuje się tu kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.). Ale z powyższych wyliczeń widać, że

gdyż ciąg jest zbieżny do liczby rosnąco. Zatem z ogólnej wersji kryterium d'Alemberta (patrz twierdzenie 7.1.) wynika,

że szereg jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg jest rozbieżny.

Ćwiczenie 7.3.

Zbadać zbieżność szeregów
(1)

(2)

(3)

Wskazówka

We wszystkich przykładach należy skorzystać z kryterium asymptotycznego (patrz twierdzenie 7.10.).

Rozwiązanie

(1) Ponieważ szereg jest rozbieżny (jest to znany nam szereg harmoniczny) oraz

więc na mocy kryterium asymptotycznego (patrz twierdzenie 7.1.), szereg jest także rozbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest rozbieżny.

(2) Ponieważ

więc jeśli pokażemy zbieżność szeregu to na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) otrzymamy, że szereg będzie także zbieżnym (i to bezwzględnie). Ponieważ szereg jest zbieżny (jest to uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrz przykład 6.15.) oraz

więc na mocy kryterium asymptotycznego (patrz twierdzenie 7.10.), szereg jest także zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(3) Ponieważ

zatem szeregi i są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Zajmijmy się więc tym ostatnim. Ponieważ

zatem wobec zbieżności szeregu także szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

Ćwiczenie 7.4.

Zbadać zbieżność szeregów oraz określić rodzaj zbieżności
(1)

(2)

(3)

(4)

Wskazówka

(1) Do zbadania zbieżności zastosować kryterium Leibniza (patrz wniosek 7.13.). Aby zbadać bezwzględną zbieżność należy zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zauważyć, jak wyglądają wyrazy szeregu.
(3) Zauważyć, jak wyglądają wyrazy szeregu.
(4) Zastosować kryterium Leibniza (patrz wniosek 7.13.). W tym celu udowodnić najpierw, że ciąg jest malejący do zera.

Rozwiązanie

(1)

<flash>file=AM1_M07.C.R01.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres ciągu

Ponieważ ciąg jest rosnący i rozbieżny do więc ciąg jest malejący i zbieżny do zera. Zatem możemy zastosować kryterium Leibniza (patrz wniosek 7.13.) i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

Natomiast dla szeregu modułów

mamy

(patrz ćwiczenie 6.4. (1)),

w którym udowodniono to ze szczegółami). Wobec rozbieżności szeregu harmonicznego, stosując kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), otrzymujemy, że szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest warunkowo zbieżny.

(2) Zauważmy, że dla
Zatem

Ponieważ ciąg jest rosnący i rozbieżny do więc ciąg jest malejący i zbieżny do zera. Zatem możemy zastosować kryterium Leibniza (patrz wniosek 7.13.) i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

Natomiast szereg modułów jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny warunkowo.

(3) Zauważmy, że

to znaczy wynosi dla -nieparzystych oraz i na przemian dla -parzystych.

<flash>file=AM1_M07.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji oraz ciągu

Zatem

Ponieważ ciąg jest rosnący

i rozbieżny do więc ciąg jest malejący i zbieżny do zera. Zatem możemy zastosować kryterium Leibniza (patrz wniosek 7.13.) i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

Natomiast szereg modułów jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny warunkowo.

(4) W celu zastosowania kryterium Leibniza pokażemy najpierw, że ciąg jest malejący do zera. Aby zbadać monotoniczność, przekształcamy równoważnie nierówność

korzystamy z faktu, że funkcja jest silnie rosnąca

Ponieważ ciąg jest rosnąco zbieżny do liczby zatem powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego Łatwo sprawdzić, że jest ona prawdziwa także dla Zatem pokazaliśmy, że ciąg jest malejący począwszy od drugiego miejsca. Zbadajmy granicę tego ciągu

Zatem ciąg

jest malejąco zbieżny do zera.

Możemy więc stosować kryterium Leibniza

(patrz wniosek 7.13.), z którego wynika, że szereg jest zbieżny.

Zbadajmy teraz szereg modułów

Ponieważ

oraz szereg jest

szeregiem harmonicznym rozbieżnym, więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg

jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny warunkowo.

Ćwiczenie 7.5.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)

(4)

Wskazówka

(1) Skorzystać z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 7.12.), znajdując sumę częściową szeregu (patrz przykład 1.36.).

(2) Skorzystać z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 7.12.), znajdując sumę częściową szeregu (patrz przykład 1.36.).

(3) Łatwiej w tym przypadku od razu badać zbieżność bezwzględną, która implikuje zbieżność.

(4) Podobnie jak (3).

Rozwiązanie

(1) W celu skorzystania z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów pokażemy, że ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony. W tym celu wykorzystamy wzór pokazany na wykładzie (patrz przykład 1.36.):

Zatem mamy następujące ograniczenie na wyrazy ciągu sum częściowych

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony oraz ciąg jest malejąco zbieżny do zera, więc na mocy kryterium Dirichleta (patrz twierdzenie 7.12.), szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(2) W celu skorzystania z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów pokażemy, że ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony. W tym celu wykorzystamy wzór pokazany na wykładzie (patrz przykład 1.36.):

Zatem mamy następujące ograniczenie na wyrazy ciągu sum częściowych

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony oraz ciąg jest malejąco zbieżny do zera, więc na mocy kryterium Dirichleta (patrz twierdzenie 7.12.), szereg jest zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(3) Zbadajmy zbieżność bezwzględną szeregu Zauważmy, że

Ponieważ szereg jest szeregiem geometrycznym zbieżnym, więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) mamy,

że szereg jest zbieżny, zatem szereg jest bezwzględnie zbieżny, a więc także zbieżny.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

(4) Zbadajmy zbieżność bezwzględną szeregu Zauważmy, że

Ponieważ szereg jest szeregiem zbieżnym (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrz przykład 6.15.), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) mamy, że szereg jest zbieżny, zatem szereg jest bezwzględnie zbieżny, a więc także zbieżny.
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny.

Ćwiczenie 7.6.

Niech będzie szeregiem liczbowym.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg jest zbieżny, to szereg jest bezwzględnie zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.

Wskazówka

(1) Należy wykazać następującą nierówność liczbową

i wykorzystać ją dla
(2) Kontrprzykładu można szukać wśród uogólnionych szeregów harmonicznych z odpowiednio dobranym

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnych mamy

skąd

Wstawiając do powyższej nierówności oraz dostajemy

Ponieważ szereg jest zbieżny (z założenia) oraz szereg jest zbieżny (uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem

; patrz przykład 6.15.), zatem także szereg jest zbieżny i korzystając z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), dostajemy, że szereg jest zbieżny, a zatem szereg jest bezwzględnie zbieżny, co należało dowieść.

(2) Niech Wówczas szereg jest zbieżny, ale szereg jest rozbieżny.

7