25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.

Def. Szeregi potęgowe

Niech x₀∈ℝ i (a_n)_{n ∈ ℕ} będzie ciagiem liczb rzeczywistych. Szeregiem potęgowym o współczynnikach a_n i środku x₀ nazywamy szereg funkcyjny:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}{(x - x_{0})}^{n}}$$

Przedział zbieżności

Istnieje liczba R ≥ 0 (zwane promieniem zbieżności) taka, że szereg jest zbieżny dla

x ∈ (x₀ − R, x₀ + R), a rozbieżny dla |x−x₀| > R.

Twierdzenie

Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu

$$\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}{(x - x_{0})}^{n}}$$

oraz $q \operatorname{}\sup\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}$

to

$$R = \left\{ \begin{matrix} \infty\ jesli\ q = 0 \\ \frac{1}{q}\ jesli\ q \in (0,\infty) \\ 0\ jesli\ q = \infty \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zbieżność jednostajna

Jeżeli 0 < R ≤ ∞, to dla dowolnego r ∈ (0, R), szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny w przedziale [x₀ − r, x₀ + r]. Stąd suma

$$f\left( x \right) \sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}{(x - x_{0})}^{n}}$$

jest funkcja ciągła w całym przedziale zbieżności (x₀ − R, x₀ + R).

Szereg pochodnych: Szereg

$$\ \sum_{n = 0}^{\infty}{{(a}_{n}{(x - x_{0})}^{n})'}$$

jest też szeregiem potęgowym o tym samym promieniu zbieżności R. Stąd suma szeregu pochodnego f jest funkcją klasy C¹ w przedziale zbieżności:

Indukcja: f ∈ C^∞((x₀−R,x₀+R))

$$f^{'}\left( x \right) = \sum_{n = 0}^{\infty}{(n + 1)a_{n + 1}{(x - x_{0})}^{n}}$$

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu potęgowego

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{( - 1)}^{n}n}{(3 + n^{3})5^{n}}\left( \frac{1}{x + 2} \right)^{2n}}$$

Rozwiązanie

Oznaczmy (⋆) nasz szereg. Niech $z = \left( \frac{1}{x + 2} \right)^{2}$. Zatem mamy

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{( - 1)}^{n}n}{(3 + n^{3})5^{n}}z^{n}}$$

i oznaczmy go jako (⋆⋆). Teraz wyliczymy z q ile wynosi promień zbieżności. Zatem $q = \operatorname{}\sqrt[n]{\left| \frac{{( - 1)}^{n}n}{(3 + n^{3})5^{n}} \right|} = \operatorname{}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3 + n^{3}5}} = \frac{1}{1*5} = \frac{1}{5}$

Zatem q ∈ (0, ∞), czyli $R = \frac{1}{q} = 5$. Rozpatrzymy 2 przypadki gdy z=-5 i z=5 dla (⋆⋆)

• z=-5

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{( - 1)}^{n}n}{(3 + n^{3})5^{n}}{( - 5)}^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n}n{( - 1)}^{n}5^{n}}{(3 + n^{3})5^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{3 + n^{3}}\ $$

• Otrzymaliśmy szereg o wyrazach dodatnich zatem szacujemy $0 \leq \frac{n}{3 + n^{3}} \leq \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}$. Szereg

$$\sum_{n - 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$$

jest majorantą (⋆⋆) dla z=-5. Więc wobec Kryterium porównawczego jest zbieżny.

• z=5

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{( - 1)}^{n}n}{(3 + n^{3})5^{n}}5^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n}n}{3 + n^{3}}$$

Badamy z tw o bezwzględnej zbieżności

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\left| {( - 1)}^{n} \right|n}{3 + n^{3}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{3 + n^{3}}$$

a to jest równe poprzedniemu szeregowi, który był zbieżny, a to daje nam zbieżność.

(⋆⋆)jest zbieżne wtw, gdy −5 ≤ z ≤ 5.

$- 5 \leq {(\frac{1}{x + 2})}^{2} \leq 5$. Zawsze jest prawdą $- 5 \leq {(\frac{1}{x + 2})}^{2}$, zatem dla x ≠ −2 mamy $0 \leq x^{2} + 4x + \frac{19}{5}$. Otrzymujemy ostatecznie $x_{1} = - 2 - \sqrt{\frac{1}{5}}\ \vee \ x_{2} = - 2 + \sqrt{\frac{1}{5}}$.