Szeregi potęgowe, Matematyka


SZEREGI POTĘGOWE

DEF. 1. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci 0x01 graphic
, gdzie a0,a1,a2,..., an ,...to współczynniki szeregu zaś x0 to środek szeregu potęgowego.

UWAGA 1. Szereg potęgowy, którego środkiem jest 0 jest postaci 0x01 graphic
.

Poniżej podane zostaną własności szeregu potęgowego o środku w 0.

Zbieżność szeregu potęgowego.

UWAGA 2. Każdy szereg potęgowy jest zbieżny w swoim środku.

UWAGA 3. Wyrazy szeregu potęgowego są określone dla wszystkich x rzeczywistych więc każda liczba rzeczywista x jest dla szeregu potęgowego albo punktem zbieżności albo punktem rozbieżności.

TWIERDZENIE 1. Jeśli szereg potęgowy 0x01 graphic
jest zbieżny w pewnym punkcie x = c ≠ 0, to jest zbieżny bezwzględnie w otwartym przedziale (-|c|, |c| ) oraz zbieżny jednostajnie w każdym domkniętym podprzedziale tego przedziału.

TWIERDZENIE 2. Jeśli szereg potęgowy 0x01 graphic
jest rozbieżny w pewnym punkcie x = w ≠ 0, to jest rozbieżny na zewnątrz przedziału (-|w|, |w| ).

DEF 2.. Obszarem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
jest zbiór K=(-r, r), gdzie liczba r jest promieniem zbieżności szeregu.

UWAGA 4.W konkretnych przypadkach obszarem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
może być

zbiór K=[- r , r) lub K=(- r , r] lub K=[- r , r]. Obszar K będziemy nazywać przedziałem zbieżności.

Podamy teraz dwa twierdzenia dzięki, którym będzie można wyznaczyć promień zbieżności a tym samym obszar zbieżności konkretnego szeregu potęgowego.

TWIERDZENIE 3 Jeżeli mamy dany szereg potęgowy 0x01 graphic
i jeżeli 0x01 graphic
, to:

  1. jeżeli p ≠ 0 wtedy 0x01 graphic
    ,

  2. jeżeli p = 0 wtedy r = ∞,

  3. jeżeli p = ∞ wtedy r = 0.

TWIERDZENIE 4.Jeżeli mamy dany szereg potęgowy 0x01 graphic
i jeżeli 0x01 graphic
, to:

  1. jeżeli p ≠ 0 wtedy 0x01 graphic
    ,

  2. jeżeli p = 0 wtedy r = ∞,

  3. jeżeli p = ∞ wtedy r = 0.

Przykład 1. Rozważmy szereg potęgowy 0x01 graphic
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy 0x01 graphic
, więc r = 1. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy 0x01 graphic
, który jest szeregiem rozbieżnym, oraz dla x=-1 mamy 0x01 graphic
również szereg jest rozbieżny, więc obszar zbieżności K=(-1, 1).

Przykład 2. Rozważmy szereg potęgowy 0x01 graphic
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy 0x01 graphic
, który jest szeregiem rozbieżnym, natomiast dla x=-1 mamy 0x01 graphic
szereg anharmonicznym zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1).

Przykład 3. Rozważmy szereg potęgowy 0x01 graphic
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy 0x01 graphic
, który jest szeregiem zbieżnym, oraz dla x=-1 mamy 0x01 graphic
szereg zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1].

Przykład 4. Weźmy szereg potęgowy 0x01 graphic
. Ponownie zastosujemy to samo kryterium, 0x01 graphic
Wobec tego promień zbieżności 0x01 graphic
. Przedziałem zbieżności jest zbiór 0x01 graphic
. Oczywiście należy jeszcze sprawdzić co dzieje się na końcach tego przedziału, podstawiając w szeregu za x liczby 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Przykład 5. Aby ustalić promień zbieżności szeregu 0x01 graphic
zastosujemy twierdzenie 4. Mamy 0x01 graphic
, więc r= i przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-,)=R. Oznacza to, że szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej liczby rzeczywistej x.

Przykład 6. Promień zbieżności szeregu 0x01 graphic
obliczamy ponownie stosując 0x01 graphic
, więc r= i przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-,)=R.

Przykład 7. Promień zbieżności szeregu 0x01 graphic
obliczamy ponownie stosując 0x01 graphic
, więc r=0 i szereg jest zbieżny tylko dla x=0

TWIERDZENIE 5. Jeżeli promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
jest liczba r, to obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego 0x01 graphic
, gdzie y = g(x) - dowolna funkcja jest zbiór K={xR: |g(x)| < r}.

Przykład 8

Rozpatrzmy szereg funkcyjny 0x01 graphic
. Po podstawieniu t=x2 - 2x +5 dostajemy szereg potęgowy 0x01 graphic
ze względu na t. Jak łatwo sprawdzić promieniem zbieżności tego szeregu jest liczba r=5. Jeżeli teraz za t wstawimy liczbę 5, to dostaniemy szereg rozbieżny, jeżeli za t wstawimy liczbę -5, to otrzymamy szereg zbieżny, więc przedziałem zbieżności jest zbiór [-5,5). Aby ustalić obszar zbieżności szeregu 0x01 graphic
rozwiązać układ nierówności -5≤ x2 - 2x +5≤5. Rozwiązaniem tego układu jest przedział 0x01 graphic
.

W związku z tym obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego 0x01 graphic
jest zbiór K=(0,2).

TWIERDZENIE 6. Dwa szeregi potęgowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
można do siebie dodać w następujący sposób: 0x01 graphic
.

TWIERDZENIE 7. Szereg potęgowy 0x01 graphic
można pomnożyć przez liczbę:0x01 graphic
, gdzie λ≠0 i λ∈R.

TWIERDZENIE 8 Jeżeli przedziałem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
jest zbiór K=( - r , r ) oraz jego suma jest równa f(x) , to szereg ten w zbiorze K można różniczkować wyraz po wyrazie tzn.:

0x01 graphic

0x01 graphic
. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy szereg potęgowy, którego promień zbieżności nie ulega zmianie oraz suma jego g(x) jest pochodną sumy szeregu pierwotnego.

Przykład 9. Rozważmy szereg potęgowy 0x01 graphic
. Z przykładu 3 wiemy, że obszarem zbieżności jest K=[-1,1]. Rozpatrzmy szereg utworzony z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego

0x01 graphic

Zastosujemy twierdzenie 5. Mamy 0x01 graphic
, więc r=1. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy 0x01 graphic
, który jest szeregiem rozbieżnym, oraz dla x=-1 mamy 0x01 graphic
szereg zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1). Zauważmy, że oba obszary zbieżności różnią się na krańcach przedziałów .

TWIERDZENIE 9 Jeżeli przedziałem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
jest zbiór K=( - r , r ), to szereg ten w zbiorze K można całkować wyraz po wyrazie tzn.:

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy

DEF.3. Funkcję y = f (x) nazywamy klasy Cn jeżeli jest n-krotnie różniczkowalna i n-ta pochodna jest funkcją ciągłą.

DEF.4. Funkcję y = f (x) nazywamy gładką jeżeli klasy Cn dla każdego nN. Inaczej mówiąc jest funkcją klasy C.

TWIERDZENIE 10 (Taylor)

Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy Cn w otoczeniu (a- h , a+ h) punktu a∈R, h > 0, to dla każdego x∈R zachodzi następujący wzór Taylora:

0x01 graphic
.Ostatni składnik 0x01 graphic
będziemy nazywać resztą, gdzie cx ∈(x, a ) lub cx ∈(a, x )

TWIERDZENIE 11

Jeżeli funkcja y = f(x) jest gładka w otoczeniu (a- h , a+ h) punktu a∈R, h > 0 i 0x01 graphic
, to funkcja przedstawia się w postaci szeregu potęgowego Taylora postaci:

0x01 graphic

0x01 graphic
. Przyjmujemy, że 0x01 graphic

Dla a=0 szereg potęgowy Taylora jest szeregiem potęgowym Maclaurina i 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Przykład 10 Rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję 0x01 graphic
. Pochodna dowolnego rzędu tej funkcji jest tą samą funkcją, tzn. 0x01 graphic
czyli funkcja jest gładka oraz 0x01 graphic
, więc wzór jest następujący:

0x01 graphic
.

Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego.

Mamy 0x01 graphic
, czyli r= ∞ i przedziałem zbieżności jest cała oś liczbowa, więc funkcja 0x01 graphic
rozwija się w szereg potęgowy postaci 0x01 graphic
na całej osi liczbowej.

W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e.

0x01 graphic
.

a jeśli chcemy obliczyć wartość e z dokładnością do 0.001 sumujemy wyrazy których wartość bezwzględna jest większa od 0.001. Stąd 0x01 graphic
ponieważ 0x01 graphic
<0.001 .

Aby policzyć wartość 0x01 graphic
z dokładnością do 0,01 należy w rozwinięciu 0x01 graphic
za x=-2 , stąd

0x01 graphic
wystarczy dodać osiem kolejnych razów gdyż 0x01 graphic
<0.01.

Przykład 11

Rozwiniemy w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=sinx.

Policzmy pochodne i ich wartości w zerze.

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

...

Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1, ....

W związku z tym mamy

0x01 graphic
.

Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór 0x01 graphic
.

Przykład 12

Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=cosx otrzymamy prawdziwy na całej osi liczbowej wzór0x01 graphic
.

Przykład 13

Rozwiniemy w szereg potęgowy Maclaurina funkcję 0x01 graphic

Policzymy kolejne pochodne i ich wartości w zerze.

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

...

Mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczymy promień zbieżności. Policzmy 0x01 graphic
, więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x=-1 i dla x=1 szereg potęgowy jest rozbieżny. Wobec tego wzór 0x01 graphic
jest prawdziwy tylko dla 0x01 graphic
.

Przykład 14

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję 0x01 graphic
wykorzystamy przykład 13.

W szeregu 0x01 graphic
zamiast x wstawimy 0x01 graphic
i dostaniemy 0x01 graphic
i ostatecznie 0x01 graphic
.Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
. Korzystając twierdzenia 5 dostajemy, że 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
, czyli wzór 0x01 graphic
jest prawdziwy dla 0x01 graphic
.

Czyli 0x01 graphic
dla 0x01 graphic

Przykład 15

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)= 0x01 graphic
wykorzystamy rozwinięcie

0x01 graphic
dla |x|<1

Zajmijmy się najpierw rozwinięciem 0x01 graphic
. A teraz f(x)=0x01 graphic
.Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : 0x01 graphic
, więc r=3. Czyli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny dla |x|<3

Przykład 16

Posługując się twierdzenia 9 rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję y=arctgx. Proszę zwrócić uwagę, że pochodna tej funkcji 0x01 graphic
.

Z poprzedniego przykładu wiemy, że 0x01 graphic
.

Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności 0x01 graphic
dostajemy :

0x01 graphic

Podstawiając do obu stron równania 0x01 graphic
x=0 dostajemy, że C=0.

Ostatecznie, więc 0x01 graphic
w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu promień zbieżności a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się.

ZADANIA

1.Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na krańcach przedziałów zbieżności

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

2.Zbadać zbieżność szeregów 0x01 graphic
0x01 graphic

oraz zbieżność szeregów utworzonych z pochodnych wyrazów tego szeregu.

3.Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

0x01 graphic
0x01 graphic

4.Rozwinąć w szereg potęgowy Taylora funkcję

(a) f(x)=1/x w punkcie a=3 (b)f(x)=cos2x w punkcie a=ၰ/3

5.Obliczyć:

  1. sin0x01 graphic
    z dokładnością do 0,0001,

  2. cos0x01 graphic
    z dokładnością do 0,00001

  3. 0x01 graphic
    z dokładnością do 0,001

posługując się rozwinięciem odpowiedniej funkcji w szereg potęgowy .



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Szeregi funkcyjne i potęgowe, Matematyka, analiza
25 Szeregi potęgowe i ich zbieżność Własności sumy szeregu potęgowego
16 Rozdział 15 Szeregi potęgowe
AMI 24 Szeregi potęgowe
AM23 w04 Szeregi potęgowe
AM2 2 Szeregi potęgowe
8 szeregi potęgowe
szeregi potęgowe
23 ciagi i szeregi funkcyjne 6 2 szeregi potegowe
szeregi, Analiza Matematyczna 2, Analiza Matematyczna 2
szeregi (1), Analiza Matematyczna 2, Analiza Matematyczna 2
25 Szeregi potęgowe i ich zbieżność Własności sumy szeregu potęgowego, Studia, Semestr VI, licencj
Szereg potegowy przyklady
Szereg potegowy przyklady ogarnijtemat.com, SiMR inżynierskie, Semestr 2, Równania różniczkowe, Wykł
Szeregi potęgowe pwt wiadomosci

więcej podobnych podstron