Przykład 1 (przypomnienie - semestr 1)

Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla , x₀ =2 i n=3.

f(x)=, f(2)=2,

f ’(x)=, f ‘(2)=-1

f ’’(x)= f ‘‘(2)=2,

f ‘’’(x)= f ‘’‘(c)=

c jest pewną liczbą między 2 i x.

Przykład 2 (metoda uniwersalna – z definicji)

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję .

Pochodna dowolnego rzędu tej funkcji jest tą samą funkcją, tzn. , czyli funkcja jest gładka oraz , więc wzór jest następujący:

.

(szereg do zapamiętania)

Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego.

Mamy , czyli r = ∞ i przedziałem zbieżności jest cała oś liczbowa, więc funkcja rozwija się w szereg potęgowy postaci na całej osi liczbowej.

W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e.

.

a jeśli chcemy obliczyć przybliżoną wartość e sumujemy początkowe wyrazy szeregu.

Stąd (dobre przybliżenie już dla 7 pierwszych składników)

Przykład 3 (metoda uniwersalna – z definicji)

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y = sinx.

Policzmy pochodne i ich wartości w zerze.

,

,

,

,

,

,

,

...

Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1, ....

W związku z tym mamy

.

Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór .

Przykład 4 (z definicji, do domu)

Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y = cosx otrzymamy prawdziwy na całej osi liczbowej wzór.

Przykład 5 (szereg do zapamiętania)

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcję .

Sposób I

Dla szeregu geometrycznego zachodzi wzór

Przyjmując i otrzymujemy

przy <1

<1

Sposób II (z definicji, do domu)

Przykład 6

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

Sposób I

Podstawiając w poprzednim rozwinięciu x := - x dostajemy

dla <1 .

Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczamy promień zbieżności. Ponieważ , więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x = -1 i dla x = 1 szereg potęgowy jest rozbieżny. Wobec tego wzór

jest prawdziwy tylko dla .

Przedział zbieżności (-1, 1).

Sposób II (z definicji )

Policzymy kolejne pochodne i ich wartości w zerze.

,

,

,

,

,

,

...

Mamy

Przykład 7

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję wykorzystamy przykład 6.

W szeregu zamiast x wstawimy i dostaniemy i ostatecznie .

Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : , więc .

Ponieważ , więc , czyli wzór jest prawdziwy dla .

Zadanie:

Wyznaczyć wartości pochodnych funkcji f ⁽¹⁰⁾ i f ⁽¹¹⁾ dla x = 0.

Przykład 8

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

Postępując analogicznie jak w przykładzie 7 otrzymujemy

dla

Przykład 9

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y = wykorzystamy rozwinięcie

dla |x|<1

Zajmijmy się najpierw rozwinięciem . Stąd f(x) =.

Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : , więc r = 3. Czyli szereg jest zbieżny dla |x|<3

Przykład 10

Posługując się twierdzeniem o całkowaniu szeregu potęgowego rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y =arctgx.

Pochodna funkcji .

Z przykładu 8 wiemy, że .

Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności dostajemy :

Podstawiając do obu stron równania , x = 0 dostajemy, że C = 0.

Ostatecznie, więc w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu promień zbieżności, a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się.

Przykład 11

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcję :

1) z definicji rozwinięcia Maclaurina <r ( zbadać!)

2) wykorzystując szereg geometryczny (potęgowy) <1

Zauważmy, że:

dla <1.

( z Przykładu 6)

Całkując obustronnie dostajemy

Z warunku spełnienia równości dla x = 0 dostajemy C = 0.

Stąd

dla <1

W szczególności

dla

Zatem

.

Ponadto

dla

dla

Szereg anharmoniczny jest zbieżny i jego suma wynosi ln2.

Przykład 12

Rozwinąć funkcje: shx i chx w szeregi potęgowe.

Korzystając z rozwinięć:

prawdziwych dla każdego i korzystając z definicji funkcji shx i chx mamy:

,

ponieważ

dla k ∈ N

Przykład 13

Wykorzystując rozwinięcie funkcji sinx wykazać że

ZADANIA

1. Wykorzystując rozwinięcia funkcji z przykładów wyznaczyć szeregi Maclaurina poniższych funkcji oraz określić przedziały zbieżności otrzymanych szeregów: