25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.

Def. Szeregi potęgowe

Niech
i
będzie ciagiem liczb rzeczywistych. Szeregiem potęgowym o współczynnikach
i środku
nazywamy szereg funkcyjny:

Def. Promienia zbieżności

Pomień zbieżności
taka, że szereg jest zbieżny dla
, a rozbieżny dla
.

Twierdzenie o promieniu zbieżności

Niech dany będzie szereg potęgowy
oraz istnieje granica właściwa lub niewłaściwa
to promień zbieżności tego szeregu jest równy

Zbieżność jednostajna

Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego i
, to dla dowolnego
, szereg potęgowy na przedziale
jest jednostajnie zbieżny. Zatem suma

jest funkcja ciągła w całym przedziale zbieżności
.

Tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie

Suma szeregu potęgowego
jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału
, gdzie
jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża się wzorem

.

W szczególności szereg
ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg
.

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu potęgowego

Rozwiązanie

Oznaczmy (⋆) nasz szereg. Niech
. Zatem mamy
i oznaczmy go jako (⋆⋆). Teraz wyliczymy z q ile wynosi promień zbieżności. Zatem
. Zatem
, czyli
. Rozpatrzymy 2 przypadki gdy z=-5 i z=5 dla (⋆⋆)

• z=-5
  
  . Otrzymaliśmy szereg o wyrazach dodatnich zatem szacujemy
  . Szereg
  jest majorantą (⋆⋆) dla z=-5. Więc wobec Kryterium porównawczego jest zbieżny.

• z=5

Badamy z tw o bezwzględnej zbieżności
a to jest równe poprzedniemu szeregowi, który był zbieżny, a to daje nam zbieżność.

(⋆⋆)jest zbieżne wtw, gdy
.

. Zawsze jest prawdą
, zatem dla
mamy
. Otrzymujemy ostatecznie
.