25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.
Def. Szeregi potęgowe
Niech
i
będzie ciagiem liczb rzeczywistych. Szeregiem potęgowym o współczynnikach
i środku
nazywamy szereg funkcyjny:
Def. Promienia zbieżności
Pomień zbieżności
taka, że szereg jest zbieżny dla
, a rozbieżny dla
.
Twierdzenie o promieniu zbieżności
Niech dany będzie szereg potęgowy
oraz istnieje granica właściwa lub niewłaściwa
to promień zbieżności tego szeregu jest równy
Zbieżność jednostajna
Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego i
, to dla dowolnego
, szereg potęgowy na przedziale
jest jednostajnie zbieżny. Zatem suma
jest funkcja ciągła w całym przedziale zbieżności
.
Tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie
Suma szeregu potęgowego
jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału
, gdzie
jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża się wzorem
.
W szczególności szereg
ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg
.
Przykład
Zbadamy zbieżność szeregu potęgowego
Rozwiązanie
Oznaczmy (⋆) nasz szereg. Niech
. Zatem mamy
i oznaczmy go jako (⋆⋆). Teraz wyliczymy z q ile wynosi promień zbieżności. Zatem
. Zatem
, czyli
. Rozpatrzymy 2 przypadki gdy z=-5 i z=5 dla (⋆⋆)
z=-5
. Otrzymaliśmy szereg o wyrazach dodatnich zatem szacujemy
. Szereg
jest majorantą (⋆⋆) dla z=-5. Więc wobec Kryterium porównawczego jest zbieżny.
z=5
Badamy z tw o bezwzględnej zbieżności
a to jest równe poprzedniemu szeregowi, który był zbieżny, a to daje nam zbieżność.
(⋆⋆)jest zbieżne wtw, gdy
.
. Zawsze jest prawdą
, zatem dla
mamy
. Otrzymujemy ostatecznie
.