25 Szeregi potęgowe i ich zbieżność Własności sumy szeregu potęgowego, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat po korekcie


25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.

Def. Szeregi potęgowe

Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
będzie ciagiem liczb rzeczywistych. Szeregiem potęgowym o współczynnikach 0x01 graphic
i środku 0x01 graphic
nazywamy szereg funkcyjny:

0x01 graphic

Def. Promienia zbieżności

Pomień zbieżności 0x01 graphic
taka, że szereg jest zbieżny dla 0x01 graphic
, a rozbieżny dla 0x01 graphic
.

Twierdzenie o promieniu zbieżności

Niech dany będzie szereg potęgowy 0x01 graphic
oraz istnieje granica właściwa lub niewłaściwa 0x01 graphic
to promień zbieżności tego szeregu jest równy

0x01 graphic

Zbieżność jednostajna

Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego i 0x01 graphic
, to dla dowolnego 0x01 graphic
, szereg potęgowy na przedziale 0x01 graphic
jest jednostajnie zbieżny. Zatem suma

0x01 graphic

jest funkcja ciągła w całym przedziale zbieżności 0x01 graphic
.

Tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie

Suma szeregu potęgowego 0x01 graphic
jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża się wzorem

0x01 graphic
0x01 graphic
.

W szczególności szereg 0x01 graphic
ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg 0x01 graphic
.

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu potęgowego 0x01 graphic

Rozwiązanie

Oznaczmy (⋆) nasz szereg. Niech 0x01 graphic
. Zatem mamy 0x01 graphic
i oznaczmy go jako (⋆⋆). Teraz wyliczymy z q ile wynosi promień zbieżności. Zatem 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
. Rozpatrzymy 2 przypadki gdy z=-5 i z=5 dla (⋆⋆)

0x01 graphic
Badamy z tw o bezwzględnej zbieżności 0x01 graphic
a to jest równe poprzedniemu szeregowi, który był zbieżny, a to daje nam zbieżność.

(⋆⋆)jest zbieżne wtw, gdy 0x01 graphic
.

0x01 graphic
. Zawsze jest prawdą 0x01 graphic
, zatem dla 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
. Otrzymujemy ostatecznie 0x01 graphic
.

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
24 Kryterium Weierstrassa zbie+-no+Ťci jednostajnej szereg+-w funkcyjnych, Studia, Semestr VI, lice
25 Szeregi potęgowe i ich zbieżność Własności sumy szeregu potęgowego
21 Definicja szeregu liczbowego Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności, Studia, Seme
23 Definicja szeregu funkcyjnego Zbie+-no+Ťç punktowa i jednostajna na zbiorze, Studia, Semestr VI
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
26.Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieznosc ciagow w przestrzeni metrycznej, Studia, Semestr VI,
Projekt z silników szeregowych1, Przwatne, Studia, semestr 5, Studia Pulpit, napedy projekty, projek
cw 15 silnik szeregowy, PWR ETK, Semestr VI, Maszyny elektryczne 3 Laboratorium
Szereg Fouriera przyklady, SiMR, Studia inżynierskie, Semestr II 2, Równania różniczkowe, 2012 13
Analiza cyklogramu szeregowego, Automatyka i Robotyka, Semestr 2, Robotyzacja, projekt, projekt 2
10 Techniczne zastosowania materiałów inżynierskich i porównanie ich podstawowych własności
cw 6 Rezonans w obwodzie szeregowym, Politechnika Poznanska, SEMESTR 2, TO laboratoria
Analiza szeregow czasowych w c., Studia, STUDIA PRACE ŚCIĄGI SKRYPTY
Badanie układu szeregowego RLC, studia UR, rok 1, elektrotechnika
Działalność spedycyjna obejmuje swoim zasięgiem szereg czynności, STUDIA - Kierunek Transport, STOPI
20080520 Ekonometria szeregow czasowych, Studia - Materiały, Ekonometria

więcej podobnych podstron