Zadanie 30: Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności.

Def. Rzędem macierzy prostokątnej
nazywamy najwyższy stopień niezerowego minora, przy czym minorem stopnia k gdzie k
min(m,n) nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k otrzymanej z macierzy
poprzez wykreślenie m-k wierszy i n-k kolumn.

Tw. Dowodzi się, że rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn tej macierzy.

Def. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy liczbę detA przyporządkowanej macierzy kwadratowej A według następującej reguły:

a)jeśli A=
jest macierzą kwadratową stopnia n=1 to detA=

b)jeżeli A=
jest macierzą kwadratową stopnia n>1 to detA=
gdzie n jest pewną ustaloną liczbą ze zbioru {1,2,…,n}, det
jest wyznacznikiem macierzy powstałej z A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Reguła ta sprowadza obliczanie wyznacznika danej macierzy do liczenia wyznaczników macierzy niższych stopni. Do oznaczenia wyznacznika macierzy det[
] stosowany jest również symbol

Własności:

1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub dwóch dowolnych wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartości bezwzględnej.
3. Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne do siebie (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.
4. Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
5. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
6. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
7. Rozwinięcie Laplace'a — wyznacznik stopnia n można rozłożyć według i-tego wiersza zgodnie ze wzorem
detA = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in
gdzie A_ij jest dopełnieniem algebraicznym elementu a_ij, czyli wyznacznikiem macierzy, powstałej po skreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, pomnożonym przez ( − 1)^j + i. Analogiczny wzór obowiązuje dla kolumn.
8.Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: det(A*B)=detA*detB (gdzie A jest macierzą n
m, B macierzą m
k a macierzA*B - n
k).
9.Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: det(A ^{− 1}) = (detA) ⁻¹.
10.Zachodzi następująca równość: det(k*A)=kⁿ*detA , gdzie k jest dowolną liczbą, n  stopniem macierzy A(czyli liczbą wierszy lub kolumn) .

Rozwinięcie Laplace'a:

Dla każdej macierzy A o wymiarach n×n wyznacznik detA spełnia regułę zwaną rozwinięciem Laplace'a.
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.

detA = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in    (rozwinięcie względem i-tego wiersza) 
detA = a_1jA_1j + a_2jA_2j + ... + a_njA_nj    (rozwinięcie względem j-tej kolumny)