20. Całka niewłaściwa na przedziale nieograniczonym. Całka niewłaściwa z funkcji nieograniczonej.

a) Niech funkcja f będzie określona w przedziale
i całkowalna w każdej skończonej części
tego przedziału. Granicę
nazywamy całką funkcji f w granicach od a do nieskończoności i oznaczamy symbolem
. W przypadku, gdy granica ta jest skończona, mówimy, że całka jest zbieżna. Jeśli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.

Przykładem całki zbieżnej na przedziale nieskończonym jest całka:

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

która jest zbieżna.

Przykładem całki rozbieżnej na przedziale nieskończonym jest całka:

więc całka jest rozbieżna.

b) Całka niewłaściwa z funkcji nieograniczonej

Jeżeli funkcja
jest ograniczona i całkowalna na przedziale
, gdzie
oraz nieograniczona na każdym przedziale
, to granicę
nazywamy całką funkcji
w granicach funkcji od
do
i oznaczamy symbolem
. Jeżeli granica ta jest nieskończona lub nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę niewłaściwą funkcji na przedziale
.

Jeżeli funkcja
jest nieograniczona w sąsiedztwie punktu
i jeżeli istnieją całki
oraz
, to istnieje całka niewłaściwa:

Przykład całki rozbieżnej

.

Dalej mamy:

,

co oznacza, że

jest rozbieżna.

Przykład całki zbieżnej

.

Przechodząc do obliczeń mamy:

.

Zatem

jest zbieżna do
.