8. SZEREGI POT
,
EGOWE
1. Wyznaczy´
c promie´
n zbie˙zno´sci szeregu pot
,
egowego
a)
∞
X
n=1
n!
n
n
z
n
b)
∞
X
n=1
c
n
z
n
gdzie c
n
=
m je´sli n = 2
m
0 w przeciwnym przypadku
2. Niech R b
,
edzie promieniem zbie˙zno´sci szeregu pot
,
egowego
P
∞
n=0
c
n
z
n
. Wykaza´
c, ˙ze
R = sup{|z| : c
n
z
n
→ 0 gdy n → ∞}.
3. Funkcj
,
e
f (z) =
1
az + b
,
gdzie a, b ∈ C \ {0}
rozwin
,
a´
c w szereg pot
,
egowy o ´srodku w punkcie z
0
= 0. Poda´
c promie´
n zbie˙zno´sci otrzyma-
nego szeregu.
4. Zbada´
c zbie˙zno´s´
c podanych szereg´
ow na brzegu ko la zbie˙zno´sci
a)
∞
X
n=1
z
n
(1 − i)
n
b)
∞
X
n=1
z
n
n
c)
∞
X
n=1
(z − 1 + i)
n
n
√
n
d)
∞
X
n=1
(−1)
n
ln(n + 2)
z
2n
.