1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne
Semestr II
ELEKTROTECHNIKA
LISTA Nr 13
SZEREGI FUNKCYJNE
SZEREG POTĘGOWY, SZEREG TAYLORA I MACLAURINA
Zad.1. Wyznaczyć obszary zbieżności szeregów funkcyjnych:
a)
(
)
∑
∞
=
−
1
2
2
n
n
x
b)
∑
∞
=
1
!
sin
n
n
nx
c)
∑
∞
=
1
1
n
n
x
x
n
{rozpatrzyć x>0 i x<0}
Zad.2. Wyznaczyć obszary jednostajnej zbieżności szeregów funkcyjnych:
a)
∑
∞
=
+
1
2
3
1
n
x
n
b)
∑
∞
=
1
2
cos
n
n
nx
c)
∑
∞
=
+
1
2
2
sin
1
n
x
n
Zad.3. Wyznaczyć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych oraz zbadać ich zbieżność na
krańcach przedziału zbieżności:
a)
∑
∞
=
⋅
1
2
n
n
n
n
x
b)
(
)
∑
∞
=
+
1
2
n
n
x
n
c)
∑
∞
=
1
2
2
n
n
n
n
x
d)
(
)
∑
∞
=
+
1
3
3
n
n
n
x
e)
∑
∞
=
1
1
tg
n
n
n
x
f)
∑
∞
=
⋅
1
!
n
n
n
n
x
n
g)
(
)
∑
∞
=
⋅
+
1
2
2
2
1
n
n
n
n
x
n
h)
(
)
∑
∞
=
−
1
3
5
n
n
n
x
i)
( )
( )
∑
∞
=
1
!
3
!
2
n
n
n
x
n
n
n
j)
( )
∑
∞
=
+
−
1
2
)
1
2
(
1
n
n
n
x
n
k)
∑
∞
=
⋅
1
!
)
3
(
!
2
n
n
n
x
n
n
l)
∑
∞
=
−
−
1
1
3
)
1
(
n
n
n
n
n
x
m)
∑
∞
=
⋅
1
!
3
n
n
n
n
x
n
n
n)*
(
)
∑
∞
=
+
1
2
3
8
n
n
n
x
o)*
∑
∞
=
−
1
!
)
1
(
n
n
n
n
x
e
n
n
p)
(
)
∑
∞
=
+
1
2
4
n
n
n
x
n
r)
1
2
1
5
)
5
(
)!
1
(
+
∞
=
+
+
∑
n
n
x
n
n
s)
(
)
∑
∞
=
+
1
2
ln
10
n
n
n
n
x
t)
( )
∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
2
1
)
1
(
4
1
n
n
n
n
n
n
x
u)
n
n
x
n
n
+
+
∑
∞
=
2
6
1
1
Zad.4. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
a)
2
sin
)
(
x
x
f
=
b)
x
x
f
sh
)
(
=
c)
2
1
)
(
x
x
f
+
=
d)*
x
x
f
arcsin
)
(
=
e)
x
x
f
4
cos
)
(
=
f)
x
x
f
2
sin
)
(
=
g)
x
x
x
f
−
+
=
1
1
ln
)
(
h)
2
)
(
x
e
x
f
−
=
Zad.5. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje wykorzystując iloczyn dwóch szeregów
potęgowych.
a)
x
e
x
f
x
sin
)
(
−
=
b)*
2
)
(arctg
)
(
x
x
f
=
c)
(
)
x
e
x
f
x
+
=
1
ln
)
(
Zad.6. Rozwinąć w szereg Taylora funkcje:
a)
x
x
f
1
)
(
=
w punkcie
2
0
=
x
b)
x
e
x
f
=
)
(
w punkcie
1
0
=
x
c)
x
x
f
sin
)
(
=
w punkcie
4
0
π
=
x
d)
x
x
f
+
=
1
1
)
(
w punkcie
1
0
=
x
Zad.7.* Stosując twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy podanych
szeregów:
a)
∑
∞
=
1
3
n
n
n
b)
( )
∑
∞
=
⋅
−
1
2
1
n
n
n
n
c)
∑
∞
=
+
1
)
1
(
5
4
n
n
n
n