1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne

Semestr II

ELEKTROTECHNIKA

LISTA Nr 13

SZEREGI FUNKCYJNE

SZEREG POTĘGOWY, SZEREG TAYLORA I MACLAURINA

Zad.1. Wyznaczyć obszary zbieżności szeregów funkcyjnych:

a)

(

)

∑

∞

=

−

1

2

2

n

n

x

b)

∑

∞

=

1

!

sin

n

n

nx

c)

∑

∞

=















1

1

n

n

x

x

n

{rozpatrzyć x>0 i x<0}

Zad.2. Wyznaczyć obszary jednostajnej zbieżności szeregów funkcyjnych:

a)

∑

∞

=

+

1

2

3

1

n

x

n

b)

∑

∞

=

1

2

cos

n

n

nx

c)

∑

∞

=

+

1

2

2

sin

1

n

x

n

Zad.3. Wyznaczyć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych oraz zbadać ich zbieżność na
krańcach przedziału zbieżności:

a)

∑

∞

=

⋅

1

2

n

n

n

n

x

b)

(

)

∑

∞

=

+

1

2

n

n

x

n

c)

∑

∞

=

1

2

2

n

n

n

n

x

d)

(

)

∑

∞

=

+

1

3

3

n

n

n

x

e)

∑

∞

=

1

1

tg

n

n

n

x

f)

∑

∞

=

⋅

1

!

n

n

n

n

x

n

g)

(

)

∑

∞

=

⋅

+

1

2

2

2

1

n

n

n

n

x

n

h)

(

)

∑

∞

=

−

1

3

5

n

n

n

x

i)

( )

( )

∑

∞

=

1

!

3

!

2

n

n

n

x

n

n

n

j)

( )

∑

∞

=

+

−

1

2

)

1

2

(

1

n

n

n

x

n

k)

∑

∞

=

⋅

1

!

)

3

(

!

2

n

n

n

x

n

n

l)

∑

∞

=

−

−

1

1

3

)

1

(

n

n

n

n

n

x

m)

∑

∞

=

⋅

1

!

3

n

n

n

n

x

n

n

n)*

(

)

∑

∞

=

+

1

2

3

8

n

n

n

x

o)*

∑

∞

=













−

1

!

)

1

(

n

n

n

n

x

e

n

n

p)

(

)

∑

∞

=

+

1

2

4

n

n

n

x

n

r)

1

2

1

5

)

5

(

)!

1

(

+

∞

=

+

+

∑

n

n

x

n

n

s)

(

)

∑

∞

=

+

1

2

ln

10

n

n

n

n

x

t)

( )

∑

∞

=

+

+

+

−

1

1

2

1

)

1

(

4

1

n

n

n

n

n

n

x

u)

n

n

x

n

n











 +

+

∑

∞

=

2

6

1

1

Zad.4. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:

a)

2

sin

)

(

x

x

f

=

b)

x

x

f

sh

)

(

=

c)

2

1

)

(

x

x

f

+

=

d)*

x

x

f

arcsin

)

(

=

e)

x

x

f

4

cos

)

(

=

f)

x

x

f

2

sin

)

(

=

g)

x

x

x

f

−

+

=

1

1

ln

)

(

h)

2

)

(

x

e

x

f

−

=

Zad.5. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje wykorzystując iloczyn dwóch szeregów
potęgowych.

a)

x

e

x

f

x

sin

)

(

−

=

b)*

2

)

(arctg

)

(

x

x

f

=

c)

(

)

x

e

x

f

x

+

=

1

ln

)

(

Zad.6. Rozwinąć w szereg Taylora funkcje:

a)

x

x

f

1

)

(

=

w punkcie

2

0

=

x

b)

x

e

x

f

=

)

(

w punkcie

1

0

=

x

c)

x

x

f

sin

)

(

=

w punkcie

4

0

π

=

x

d)

x

x

f

+

=

1

1

)

(

w punkcie

1

0

=

x

Zad.7.* Stosując twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy podanych
szeregów:

a)

∑

∞

=

1

3

n

n

n

b)

( )

∑

∞

=

⋅

−

1

2

1

n

n

n

n

c)

∑

∞

=

+

1

)

1

(

5

4

n

n

n

n