166
WYKŁAD Nr 12
SZEREGI LICZBOWE
1. PODSTAWOWE POJĘCIA
Def.12.1. (szereg liczbowy)
Niech będzie dany ciąg liczbowy
( )
n
a
. Z wyrazów tego ciągu tworzymy nowy ciąg
( )
n
S
o wyrazach
∑
=
=
n
k
k
n
a
S
1
, (tzn.
...
,
...
...,
,
,
,
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
1
n
n
a
a
a
S
a
a
a
S
a
a
S
a
S
+
+
+
=
+
+
=
+
=
=
)
Ciąg
( )
n
S
nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy
∑
∞
=
1
n
n
a
.
Liczbę
n
a
nazywamy n – tym wyrazem szeregu, natomiast
n
S
- n – tą sumą częściową tego szeregu.
Przykład: Napisać 6 pierwszych wyrazów szeregu
∑
∞
=
−
−
1
2
5
3
2
n
n
n
.
Rozwiązanie:
W szeregu
∑
∞
=
−
−
1
2
5
3
2
n
n
n
n – ty wyraz ma postać
5
3
2
2
−
−
=
n
n
a
n
, wstawiając kolejno za n 1,2, ...,6 otrzymamy
kolejne 6 wyrazów tego szeregu.
Zatem
31
9
,
20
7
,
11
5
,
4
3
,
1
1
1
,
4
1
4
1
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
−
=
−
=
=
−
−
=
a
a
a
a
a
a
.
Stąd
...
31
9
20
7
11
5
4
3
)
1
(
4
1
5
3
2
1
2
+
+
+
+
+
−
+
=
−
−
∑
∞
=
n
n
n
Przykład: Obliczyć 4 pierwsze sumy częściowe szeregu
∑
∞
=
1
2
!
n
n
n
.
Rozwiązanie:
W tym szeregu n – ty wyraz ma postać
n
n
n
a
2
!
=
. Zatem zgodnie z definicją otrzymujemy:
4
13
2
3
4
7
16
!
4
4
3
2
1
2
1
,
4
7
4
3
1
8
!
3
2
1
2
1
,
1
2
1
2
1
4
!
2
2
1
,
2
1
2
!
1
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2
1
1
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
a
a
a
a
S
a
a
a
S
a
a
S
a
S
Def.12.2. (szereg zbieżny i rozbieżny)
Szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
nazywamy szeregiem zbieżnym, gdy istnieje skończona granica ciągu sum częściowych,
tzn.
S
S
n
n
=
∞
→
lim
, natomiast rozbieżnym w przeciwnym przypadku (tj. granica jest niewłaściwa lub nie
istnieje). Liczbę S nazywamy sumą szeregu.
Uwaga
: Szereg zbieżny ma sumę, rozbieżny nie ma sumy.
167
Przykład: Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu
(
)(
)
∑
∞
=
+
−
1
1
4
3
4
1
n
n
n
.
Rozwiązanie:
W tym celu wyraz n – ty szeregu przekształcamy następująco:
(
)(
)
1
4
3
4
1
4
3
4
1
+
+
−
=
+
−
n
B
n
A
n
n
)
3
4
(
)
1
4
(
1
−
+
+
≡
n
B
n
A
(
)
(
)
B
A
n
B
A
3
4
4
1
−
+
+
≡
=
−
=
+
1
3
0
4
4
B
A
B
A
Stąd
4
1
,
4
1
−
=
=
B
A
. Zatem
1
4
4
1
3
4
4
1
+
−
+
−
=
n
n
a
n
.
Tworzymy n – tą sumę częściową szeregu:
+
−
=
+
−
−
+
+
+
−
+
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
1
4
1
1
4
1
1
4
1
3
4
1
...
13
1
9
1
9
1
5
1
5
1
1
4
1
1
4
1
3
4
1
4
1
1
4
4
1
3
4
4
1
1
1
1
n
n
n
k
k
k
k
a
S
n
k
n
k
n
k
k
n
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych:
4
1
1
4
1
1
4
1
lim
lim
=
+
−
=
∞
→
∞
→
n
S
n
n
n
Zatem szereg
(
)(
)
∑
∞
=
+
−
1
1
4
3
4
1
n
n
n
jest zbieżny. Suma tego szeregu
4
1
=
S
.
Tw.12.1. (o zbieżności kombinacji liniowych szeregów)
Jeżeli szeregi
∑
∞
=
1
n
n
a
,
∑
∞
=
1
n
n
b
są zbieżne,
R
∈
c
, to 1)
(
)
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
±
=
±
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
2)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
=
1
1
n
n
n
n
a
c
ca
Tw.12.2. (warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego)
Jeśli szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny, to
0
lim
=
∞
→
n
n
a
Uwaga:
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. W szeregu harmonicznym
∑
∞
=
1
1
n
n
mamy
0
1
lim
lim
=
=
∞
→
∞
→
n
a
n
n
n
, natomiast szereg ten jest szeregiem rozbieżnym. (co zostanie pokazane później).
168
Uwaga:
Z Tw.12.2. wynika, że jeśli
0
lim
≠
∞
→
n
n
a
lub
n
n
a
∞
→
lim
nie istnieje, to
∑
∞
=
1
n
n
a
jest rozbieżny.
Przykład: Co można powiedzieć o zbieżności szeregów na podstawie warunku koniecznego.
a)
∑
∞
=
+
−
1
1
2
3
n
n
n
Rozwiązanie:
Obliczamy
2
1
1
2
3
lim
lim
=
+
−
=
∞
→
∞
→
n
n
a
n
n
n
. Ponieważ
0
lim
≠
∞
→
n
n
a
, czyli warunek konieczny zbieżności szeregu
nie jest spełniony, stąd
∑
∞
=
+
−
1
1
2
3
n
n
n
jest rozbieżny.
b)
∑
∞
=
+
+
1
3
2
2
n
n
n
n
Rozwiązanie:
Obliczamy
0
2
1
1
1
lim
2
lim
2
lim
lim
3
2
3
3
3
2
3
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
.
Warunek konieczny jest spełniony, a więc szereg
∑
∞
=
+
+
1
3
2
2
n
n
n
n
może ( ale nie musi) być zbieżny.
Def.12.3. (szereg geometryczny)
Szeregiem geometrycznym
o ilorazie q nazywamy szereg postaci
∑
∞
=
−
1
1
n
n
aq
.
Tw.12.3. (o zbieżności, rozbieżności szeregu geometrycznego)
Jeżeli
1
<
q
, to szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma S wyraża się wzorem:
q
a
S
−
=
1
.
Jeżeli
1
≥
q
oraz
0
≠
a
, to szereg geometryczny jest rozbieżny.
Przykład: Wyznaczyć sumę szeregu
∑
∞
=
1
5
4
n
n
.
Rozwiązanie:
Szereg ten zapisujemy następująco:
∑
∑
∞
=
−
∞
=
⋅
=
1
1
1
5
1
5
4
5
4
n
n
n
n
. Zatem mamy:
5
1
,
5
4
=
=
q
a
.
Ponieważ
1
5
1
<
zatem szereg geometryczny
∑
∞
=
1
5
4
n
n
jest zbieżny i jego suma wynosi:
1
4
4
5
1
1
5
4
=
=
−
=
S
Ostatecznie
1
5
4
1
=
∑
∞
=
n
n
169
Def.12.4. (szereg Dirichleta rzędu
α
, szereg harmoniczny)
Szeregiem Dirichleta
rzędu
α
nazywamy szereg postaci
∑
∞
=
α
1
1
n
n
, gdzie
R
∈
α
.
W przypadku, gdy
1
=
α
tj.
∑
∞
=
1
1
n
n
szereg ten nazywamy szeregiem harmonicznym.
Tw.12.4. (o zbieżności, rozbieżności szeregu Dirichleta)
Szereg Dirichleta jest zbieżny dla
1
>
α
, natomiast rozbieżny dla
1
≤
α
.
Przykład:
a) Szereg
∑
∞
=
1
1
n
n
n
jest szeregiem zbieżnym, gdyż
∑
∑
∞
=
∞
=
=
1
2
3
1
1
1
n
n
n
n
n
, czyli
2
3
=
α
.
b) Szereg
∑
∞
=
1
1
n
n
jest szeregiem rozbieżnym, gdyż
∑
∑
∞
=
∞
=
=
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
, czyli
2
1
=
α
.
Def.12.5. (minoranta, majoranta szeregu liczbowego o wyrazach nieujemnych)
Minorantą
szeregu
∑
∞
=
1
n
n
a
o wyrazach nieujemnych nazywamy każdy szereg
∑
∞
=
1
n
n
m
o tej własności, że
począwszy od pewnego wskaźnika n, (
N
n ≥
) spełniona jest nierówność:
n
n
a
m ≤
<
0
.
Majorantą
szeregu
∑
∞
=
1
n
n
a
o wyrazach nieujemnych nazywamy każdy szereg
∑
∞
=
1
n
n
M
, którego wyrazy
spełniają nierówność:
n
n
M
a ≤
≤
0
dla
N
n ≥
.
Uwaga:
Dla każdego szeregu istnieje nieskończenie wiele minorant, majorant.
Przykład: Wyznaczyć kilka majorant szeregu
∑
∞
=
+
−
1
3
2
1
n
n
n
Rozwiązanie:
Korzystamy z faktu, że aby powiększyć ułamek, należy powiększyć jego licznik lub zmniejszyć
mianownik. Zatem
a)
2
2
1
3
3
+
<
+
−
n
n
n
n
dla każdego n. Stąd
∑
∞
=
+
1
3
2
n
n
n
jest majorantą danego szeregu.
b)
3
3
1
2
1
n
n
n
n
−
<
+
−
dla
1
>
n
. Stąd
∑
∞
=
−
1
3
1
n
n
n
jest majorantą danego szeregu.
c)
2
3
3
3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
=
<
+
<
+
−
. Stąd
∑
∞
=
1
2
1
n
n
jest majorantą danego szeregu.
Przykład: Wyznaczyć minorantę szeregu
∑
∞
=
−
+
+
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
.
Rozwiązanie:
Zmniejszając licznik, a zwiększając mianownik mamy:
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
−
+
+
<
+
<
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
170
Czyli minorantą danego szeregu jest zarówno szereg
∑
∞
=
+
1
2
2
n
n
n
n
, jak i szereg
∑
∞
=
1
2
1
n
n
Zbieżność szeregów bada się za pomocą odpowiednich twierdzeń zwanych kryteriami zbieżności lub
rozbieżności.
2. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (ROZBIEŻNOŚCI) SZEREGÓW
Kryterium porównawcze
Niech
∑
∞
=
1
n
n
M
jest majorantą szeregu liczbowego
∑
∞
=
1
n
n
a
o wyrazach dodatnich, natomiast
∑
∞
=
1
n
n
m
– jego
minorantą.
1)
Jeżeli majoranta szeregu liczbowego
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżna, to dany szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny.
2)
Jeżeli minoranta szeregu
∑
∞
=
1
n
n
a
jest rozbieżna, to
∑
∞
=
1
n
n
a
jest rozbieżny.
Przykład: Zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
b)
∑
∞
=
1
4
log
n
n
n
Rozwiązanie:
a) Dla każdego
N
∈
n
zachodzi:
n
n
n
n
1
1
2
1
2
2
=
<
+
Szereg
∑
∞
=
1
1
n
n
jest majorantą szeregu
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
. Jest to jednak szereg rozbieżny – jako szereg
harmoniczny, więc o danym szeregu nic nie możemy wnioskować.
Wyznaczmy minorantę tego szeregu:
n
n
n
n
n
2
1
2
1
3
1
2
2
2
+
≤
+
=
Stąd
∑
∞
=
1
3
1
n
n
jest minorantą szeregu
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
.
Minorantę tę możemy zapisać następująco:
∑
∑
∞
=
∞
=
=
1
1
1
3
1
3
1
n
n
n
n
, czyli jest to szereg rozbieżny. Zatem na
podstawie kryterium porównawczego możemy stwierdzić, że:
(minoranta
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
jest rozbieżna) ⇒ (szereg
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
jest rozbieżny)
b) Wiedząc, że
n
n
n
<
∈
∀
log
N
otrzymujemy:
3
4
4
1
log
n
n
n
n
n
=
<
Majorantą szeregu
∑
∞
=
1
4
log
n
n
n jest
∑
∞
=
1
3
1
n
n
, który jest zbieżny (jako szereg Dirichleta rzędu
3
=
α
).
Zatem na podstawie kryterium porównawczego można stwierdzić:
(majoranta
∑
∞
=
1
4
log
n
n
n jest zbieżna) ⇒ (szereg
∑
∞
=
1
4
log
n
n
n jest zbieżny)
171
Kryterium porównawcze ilorazowe
Jeżeli mamy dwa szeregi
∑
∞
=
1
n
n
a
i
∑
∞
=
1
n
n
b
o wyrazach dodatnich oraz istnieje skończona granica
0
>
k
:
k
b
a
n
n
n
=
∞
→
lim
to rozpatrywane szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Przykład: Zbadać zbieżność szeregu
∑
∞
=
π
1
2
sin
n
n
.
Rozwiązanie:
Przyjmujemy:
∑
∑
∞
=
∞
=
π
=
1
1
2
sin
n
n
n
n
a
,
∑
∑
∞
=
∞
=
π
=
1
1
2
n
n
n
n
b
.
Stąd
n
n
n
n
b
a
2
,
2
sin
π
=
π
=
.
Obliczamy granicę:
0
1
2
2
sin
lim
lim
>
=
π
π
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
b
a
, czyli
1
=
k
.
Szereg
∑
∞
=
π
1
2
n
n
jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie
2
1
=
q
, gdyż
∑
∑
∞
=
−
∞
=
π
=
π
1
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
Zatem na podstawie kryterium porównawczego ilorazowego
∑
∞
=
π
1
2
sin
n
n
jest zbieżny.
Kryterium Cauchy’ego
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
g
a
n
n
n
=
∞
→
lim
, to szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny dla
1
<
g
,
natomiast rozbieżny dla
1
>
g
.
Uwaga
: Dla
1
=
g
kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny.
Przykład: Zbadać zbieżność szeregu
∑
∞
=
+
1
2
1
2
n
n
n
n
.
Rozwiązanie:
Dla każdego
N
∈
n
wyraz n – ty szeregu:
n
n
n
n
a
+
=
1
2
2
jest liczbą dodatnią, zatem w granicy możemy
opuścić moduł.
Stąd
( )
2
1
1
2
lim
1
2
lim
lim
2
2
=
+
=
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
, przy czym
1
lim
=
∞
→
n
n
n
.
Ponieważ
1
2
1
<
=
g
, więc na podstawie kryterium Cauchy’ego dany szereg jest zbieżny.
172
Kryterium d’Alemberta
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
g
a
a
n
n
n
=
+
∞
→
1
lim
, to szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny dla
1
<
g
,
natomiast rozbieżny dla
1
>
g
.
Uwaga
: Dla
1
=
g
kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny.
Przykład: Zbadać zbieżność szeregu
∑
∞
=
1
!
n
n
n
n .
Rozwiązanie:
W danym szeregu
(
)
(
)
!
1
1
,
!
1
1
+
+
=
=
+
+
n
n
a
n
n
a
n
n
n
n
.
Jest to szereg o wyrazach dodatnich, zatem obliczamy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
=
=
+
=
+
=
⋅
+
⋅
+
+
=
⋅
+
+
=
+
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
+
∞
→
+
∞
→
+
∞
→
1
1
lim
1
lim
1
lim
!
1
!
)
1
(
1
lim
!
!
1
1
lim
!
!
1
1
lim
lim
1
1
1
Ponieważ
1
>
= e
g
, więc na podstawie kryterium d’Alemberta dany szereg jest rozbieżny.
Kryterium całkowe
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest dodatnia i malejąca w przedziale
)
∞
+
,
1
i jeżeli
n
a
n
f
=
)
(
, to całka
∫
+∞
1
)
( dx
x
f
oraz szereg
∑
∞
=
1
)
(
n
n
f
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
Przykład: Na podstawie kryterium całkowego wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego
∑
∞
=
1
1
n
n
.
Rozwiązanie:
Ponieważ
n
n
f
a
n
1
)
( =
=
, więc funkcja
x
x
f
1
)
( = . Funkcja ta spełnia również pozostałe warunki
kryterium, ponieważ przyjmuje wartości dodatnie i jest malejąca w przedziale
)
∞
+
,
1
.
Badamy zbieżność całki niewłaściwej
∫
+∞
1
1
dx
x
.
[
]
(
)
+∞
=
=
−
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
∫
∫
T
T
x
dx
x
dx
x
T
T
T
T
T
T
ln
lim
1
ln
ln
lim
ln
lim
1
lim
1
1
1
1
. Ponieważ
∫
+∞
1
1
dx
x
jest rozbieżna,
zatem szereg
∑
∞
=
1
1
n
n
jest także rozbieżny.
173
Przykład: Zbadać zbieżność szeregu
∑
∞
=
1
n
n
e
n .
Rozwiązanie:
Funkcja
x
e
x
x
f
=
)
(
spełnia założenia kryterium całkowego w przedziale
)
∞
+
,
1
- jest dodatnia oraz
malejąca, gdyż
)
∞
+
∈
∀
,
1
x
x
e
x
x
f
−
=
′
1
)
(
przyjmuje wartości ujemne.
Zatem badamy zbieżność całki:
(
)
[
]
(
)
T
T
T
T
T
T
x
T
T
T
x
T
x
T
T
x
x
T
x
T
x
T
x
e
T
e
e
e
e
Te
e
e
Te
dx
e
xe
e
x
g
x
f
e
x
g
x
x
f
dx
xe
dx
e
x
dx
e
x
−
+∞
→
−
−
−
−
−
+∞
→
−
−
−
+∞
→
−
−
+∞
→
−
−
−
+∞
→
+∞
→
+∞
+
−
=
+
−
+
−
=
−
+
−
=
=
−
−
−
=
−
=
=
′
=
′
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
1
lim
2
lim
lim
lim
)
(
1
)
(
)
(
)
(
lim
lim
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Musimy obliczyć:
(
)
[
]
(
)
( )
0
1
1
lim
1
lim
1
lim
0
1
lim
=
∞
=
=
′
′
+
=
∞
∞
=
+
=
⋅
∞
=
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
−
+∞
→
T
T
T
T
T
T
T
T
e
e
T
e
T
e
T
Zatem
(
)
e
e
e
T
e
dx
e
x
T
T
x
2
0
2
1
lim
2
1
1
=
−
=
+
−
=
−
+∞
→
−
+∞
∫
.
Całka zbieżna, więc
∑
∞
=
1
n
n
e
n również zbieżny.
3. SZEREGI NAPRZEMIENNE
Def.12.6. (szereg naprzemienny)
Szeregiem naprzemiennym
nazywamy szereg postaci:
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
a
, gdzie
0
>
∈
∀
n
a
n
N
Uwaga
: W szeregu naprzemiennym każde dwa sąsiednie wyrazy różnią się znakiem.
Zbieżność szeregów naprzemiennych badamy za pomocą następującego twierdzenia:
Tw.12.5. (kryterium Leibniza)
Jeżeli wyrazy
n
a
szeregu naprzemiennego
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
a
,
0
>
n
a
, dążą monotonicznie do zera, to znaczy
spełniają warunki:
1)
0
lim
=
∞
→
n
n
a
2)
n
n
a
a
n
≤
∈
∀
+
1
N
to szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
a
jest zbieżny.
Def.12.7. (bezwzględna i warunkowa zbieżność szeregu)
Szereg o wyrazach dowolnych
∑
∞
=
1
n
n
a
nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
, natomiast zbieżny
∑
∞
=
1
n
n
a
nazywamy zbieżnym warunkowo, jeżeli
∑
∞
=
1
n
n
a
jest rozbieżny.
174
Tw.12.6. (kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów)
Niech
∑
∞
=
1
n
n
a
– szereg o wyrazach dowolnych,
∑
∞
=
1
n
n
a
– szereg utworzony z bezwzględnych wartości
wyrazów danego szeregu.
Jeżeli szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny to szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbieżny.
Przykład: Zbadać, które z podanych szeregów naprzemiennych są zbieżne, a które rozbieżne.
W przypadku zbieżności ocenić – czy jest to zbieżność bezwzględna, czy warunkowa.
a)
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
1
n
n
n
b)
( )
∑
∞
=
+
−
1
3
1
3
1
n
n
n
n
c)
( )
∑
∞
=
+
−
+
−
1
1
1
2
5
1
n
n
n
n
Rozwiązania:
a) Szereg
( )
...
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
+
−
+
−
=
−
∑
∞
=
+
n
n
n
nazywamy szeregiem anharmonicznym.
Stosujemy kryterium Leibniza. Sprawdzamy czy spełnione są warunki:
1)
0
1
lim
lim
=
=
∞
→
∞
→
n
a
n
n
n
2)
n
n
n
1
1
1
<
+
∈
∀
N
, czyli
n
n
a
a
n
≤
∈
∀
+
1
N
.
Zatem wyrazy szeregu monotonicznie dążą do 0. Założenia kryterium Leibniza są spełnione, więc szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
1
n
n
n
jest zbieżny.
Badamy teraz rodzaj zbieżności: badamy zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych wartości
wyrazów szeregu anharmonicznego, tzn.
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
1
n
n
n
.
Stąd
( )
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
−
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
, czyli jest to szereg harmoniczny, który jest szeregiem rozbieżnym.
Zatem szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
1
n
n
n
jest szeregiem zbieżnym warunkowo.
b) Badając zbieżność szeregu
( )
∑
∞
=
+
−
1
3
1
3
1
n
n
n
n rozpoczniemy od zbadania zbieżności szeregu utworzonego
z wartości bezwzględnych wyrazów danego szeregu.
W przypadku, gdy szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
3
1
3
1
n
n
n
n
okaże się zbieżny – dalsze badania są zbyteczne, ponieważ na
podstawie Tw.12.6. i Def.12.7. badany szereg o wyrazach dowolnych (a więc i naprzemienny) jest także
zbieżny i nazywa się zbieżnym bezwzględnie.
175
Stąd
( )
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
−
1
3
1
3
1
3
3
1
n
n
n
n
n
n
n
, otrzymaliśmy szereg o wyrazach dodatnich, zatem stosując np. kryterium
Cauchy’ego badamy jego zbieżność:
( )
1
3
1
3
lim
3
lim
3
3
<
=
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(szereg zbieżny)
Ostatecznie:
Szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
3
1
3
1
n
n
n
n
jest zbieżny to szereg
( )
∑
∞
=
+
−
1
3
1
3
1
n
n
n
n jest zbieżny bezwzględnie.
c) Badając szereg
( )
∑
∞
=
+
−
+
−
1
1
1
2
5
1
n
n
n
n
korzystamy z kryterium Leibniza.
Obliczamy
2
1
1
2
5
lim
lim
=
−
+
=
∞
→
∞
→
n
n
a
n
n
n
, czyli
0
lim
≠
∞
→
n
n
a
, zatem nie jest spełniony warunek konieczny
zbieżności każdego szeregu.
Badany szereg jest, więc szeregiem rozbieżnym.
176
NIERÓWNOŚCI I RÓWNOŚCI WYKORZYSTYWANE W ANALIZIE MATEMATYCZNEJ
I. Nierówności z funkcjami trygonometrycznymi:
1.
0
sin
>
∀
<
x
x
x
2.
∈
∀
≥
2
,
0
2
sin
π
π
x
x
x
3.
∈
∀
>
3
,
0
2
1
sin
π
x
x
x
4.
0
2
1
cos
2
>
∀
−
>
x
x
x
5.
1
,
0
,
1
cos
2
1
∈
∀
≤
≤
x
x
6.
∈
∀
>
2
,
0
tg
π
x
x
x
7.
(
1
,
0
2
tg
∈
∀
≤
x
x
x
8.
∈
∀
≤
4
,
0
4
tg
π
π
x
x
x
9.
(
)
4
,
0
tg
sin
π
∈
∀
≥
x
x
x
II. Nierówności z funkcjami wykładniczą i logarytmiczną:
1.
(
)
x
x
x
x
≤
+
≤
+
1
ln
1
(
)
+∞
−
∈
∀
,
1
x
2.
e
x
x
>
∀
>
1
ln
3.
R
∈
∀
+
≥
x
x
e
x
1
4.
0
1
>
∀
>
x
e
x
III. Nierówności z silnią:
1.
n
k
n ≥
!
, gdzie
R
∈
>
k
k
,
1
2.
N
∈
∀
<
<
n
n
e
n
n
n
n
2
!
3
3.
( )
( )
2
!
2
!
2
2
2
≥
∀
<
n
n
n
n
4.
N
∈
∀
+
≥
n
e
n
n
n
1
!
IV. Nierówność Bernoulliego:
1.
(
)
)
∞
+
−
∈
∀
∈
∀
+
≥
+
,
1
1
1
x
n
nx
x
n
N
V. Nierówności z funkcją entier:
1.
1
)
(
)
(
+
<
≤
x
E
x
x
E
2.
x
x
E
x
≤
<
−
)
(
1
VI. Nierówności z funkcjami cyklometrycznymi:
1.
R
∈
∀
<
<
−
x
x
2
arctg
2
π
π
2.
R
∈
∀
<
<
x
x
π
g
arcct
0
3.
1
,
1
2
arcsin
2
−
∈
∀
≤
≤
−
x
x
π
π
4.
1
,
1
arccos
0
−
∈
∀
≤
≤
x
x
π
VI. Inne równości i nierówności przydatne w rozwiązywaniu zadań:
1.
N
∈
≤
n
k
kn
n
k
,
ln
1
2.
(
)
2
ln
ln
n
n
n
>
dla dostatecznie dużych n
3.
α
α
α
α
α
tg
)
1
tg(
1
tg
)
1
tg(
tg
−
−
+
−
=
n
n
n
4.
n
n
e
n
n
n
π
2
! ≈
{wzór Stirlinga}
5.
2
cosh
x
x
e
e
x
−
+
=
{cosinus hiperboliczny}
6.
2
sinh
x
x
e
e
x
−
−
=
{sinus hiperboliczny}
7.
(
)
2
3
3
3
...
2
1
...
2
1
n
n
+
+
+
=
+
+
+
8.
(
)(
)
6
1
2
1
...
2
1
2
2
2
+
+
=
+
+
+
n
n
n
n
9.
n
n
>
+
+
+
+
1
...
3
1
2
1
1
,
2
≥
n
10.
n
n
1
2
1
...
3
1
2
1
1
2
2
2
−
>
+
+
+
+
11.
(
)(
)
3
2
1
)
1
(
...
3
2
2
1
+
+
=
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
n
n
n
n
n
12.
1
1
1
)
1
(
1
...
3
2
1
2
1
1
+
−
=
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
n
n
n
13.
)
2
(
...,
,
1
,
0
dla
...
...
3
2
1
3
2
1
≥
=
>
+
+
+
+
≤
⋅
⋅
⋅
⋅
n
n
i
x
n
x
x
x
x
x
x
x
x
i
n
n
n
14.
N
∈
∀
+
≤
n
n
n
n
2
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word WE L12 szeregi liczbowe
Microsoft Word WE L14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word WE L13 szeregi potęgowe
Microsoft Word WE W14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word WE W13 Szeregi funkcyjne i potegowe
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word (2) (1)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (11)
nowy dokument programu microsoft word RLKN2HZYOAUUDMOC2OMN5RCBSSHEHKGU4RH67MY
więcej podobnych podstron