background image

 

166 

WYKŁAD Nr 12 
 

SZEREGI LICZBOWE 

 
1. PODSTAWOWE POJĘCIA 
 
Def.12.1. (szereg liczbowy) 

 

Niech  będzie  dany  ciąg  liczbowy 

( )

n

a

.  Z  wyrazów  tego  ciągu  tworzymy  nowy  ciąg 

( )

n

S

  o  wyrazach 

=

=

n

k

k

n

a

S

1

, (tzn. 

...

,

...

...,

,

,

,

2

1

3

2

1

3

2

1

2

1

1

n

n

a

a

a

S

a

a

a

S

a

a

S

a

S

+

+

+

=

+

+

=

+

=

=

Ciąg 

( )

n

S

 nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy 

=

1

n

n

a

Liczbę 

n

a

 nazywamy n – tym wyrazem szeregu, natomiast 

n

S

 - n – tą sumą częściową tego szeregu

 

Przykład: Napisać 6 pierwszych wyrazów szeregu 

=

1

2

5

3

2

n

n

n

 

Rozwiązanie:  

W szeregu 

=

1

2

5

3

2

n

n

n

 n – ty wyraz ma postać 

5

3

2

2

=

n

n

a

n

, wstawiając kolejno za n 1,2, ...,6 otrzymamy 

kolejne 6 wyrazów tego szeregu.  

Zatem 

31

9

,

20

7

,

11

5

,

4

3

,

1

1

1

,

4

1

4

1

6

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

=

=

a

a

a

a

a

a

Stąd 

...

31

9

20

7

11

5

4

3

)

1

(

4

1

5

3

2

1

2

+

+

+

+

+

+

=

=

n

n

n

 

 

Przykład: Obliczyć 4 pierwsze sumy częściowe szeregu 

=

1

2

!

n

n

n

Rozwiązanie: 

W tym szeregu n – ty wyraz ma postać 

n

n

n

a

2

!

=

. Zatem zgodnie z definicją otrzymujemy: 

4

13

2

3

4

7

16

!

4

4

3

2

1

2

1

,

4

7

4

3

1

8

!

3

2

1

2

1

,

1

2

1

2

1

4

!

2

2

1

,

2

1

2

!

1

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1

2

1

1

=

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

+

=

+

+

=

+

+

=

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

a

a

a

a

S

a

a

a

S

a

a

S

a

S

 

 
Def.12.2. (szereg zbieżny i rozbieżny) 

Szereg 

=

1

n

n

a

 nazywamy szeregiem zbieżnym, gdy istnieje skończona  granica  ciągu sum  częściowych, 

tzn. 

S

S

n

n

=

lim

,  natomiast  rozbieżnym  w  przeciwnym  przypadku  (tj.  granica  jest  niewłaściwa  lub  nie 

istnieje). Liczbę S nazywamy sumą szeregu
 
Uwaga

: Szereg zbieżny ma sumę, rozbieżny nie ma sumy. 

background image

 

167 

Przykład: Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu 

(

)(

)

=

+

1

1

4

3

4

1

n

n

n

 

Rozwiązanie: 
W tym celu wyraz n – ty szeregu przekształcamy następująco:  

 

(

)(

)

1

4

3

4

1

4

3

4

1

+

+

=

+

n

B

n

A

n

n

 

 

)

3

4

(

)

1

4

(

1

+

+

n

B

n

A

 

(

)

(

)

B

A

n

B

A

3

4

4

1

+

+

 

 

=

=

+

1

3

0

4

4

B

A

B

A

 

 

Stąd 

4

1

,

4

1

=

=

B

A

. Zatem 

1

4

4

1

3

4

4

1

+

+

=

n

n

a

n

 

Tworzymy n – tą sumę częściową szeregu: 

 

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

1

4

1

1

4

1

1

4

1

3

4

1

...

13

1

9

1

9

1

5

1

5

1

1

4

1

1

4

1

3

4

1

4

1

1

4

4

1

3

4

4

1

1

1

1

n

n

n

k

k

k

k

a

S

n

k

n

k

n

k

k

n

 

 

Obliczamy granicę ciągu sum częściowych: 

4

1

1

4

1

1

4

1

lim

lim

=

+

=

n

S

n

n

n

 

Zatem szereg 

(

)(

)

=

+

1

1

4

3

4

1

n

n

n

 jest zbieżny. Suma tego szeregu 

4

1

=

S

 
Tw.12.1. (o zbieżności kombinacji liniowych szeregów) 

 

Jeżeli szeregi 

=

1

n

n

a

=

1

n

n

b

 są zbieżne, 

R

c

, to  1) 

(

)

=

=

=

±

=

±

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a

 

2) 

(

)

=

=

=

1

1

n

n

n

n

a

c

ca

 

 
Tw.12.2. (warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego

 

Jeśli szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny, to 

0

lim

=

n

n

a

 

 

Uwaga:

  Twierdzenie  odwrotne  nie  jest  prawdziwe.  W  szeregu  harmonicznym 

=

1

1

n

n

  mamy 

0

1

lim

lim

=

=

n

a

n

n

n

, natomiast szereg ten jest szeregiem rozbieżnym. (co zostanie pokazane później). 

background image

 

168 

Uwaga:

 Z Tw.12.2. wynika, że jeśli 

0

lim

n

n

a

lub 

n

n

a

lim

nie istnieje, to 

=

1

n

n

a

 jest rozbieżny. 

 
Przykład: Co można powiedzieć o zbieżności szeregów na podstawie warunku koniecznego. 

a) 

=

+

1

1

2

3

n

n

n

 

 

Rozwiązanie: 

Obliczamy 

2

1

1

2

3

lim

lim

=

+

=

n

n

a

n

n

n

. Ponieważ 

0

lim

n

n

a

, czyli warunek konieczny zbieżności szeregu 

nie jest spełniony, stąd 

=

+

1

1

2

3

n

n

n

 jest rozbieżny. 

 

b) 

=

+

+

1

3

2

2

n

n

n

n

 

 

Rozwiązanie: 

Obliczamy 

0

2

1

1

1

lim

2

lim

2

lim

lim

3

2

3

3

3

2

3

2

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

n

n

n

n

n

Warunek konieczny jest spełniony, a więc szereg 

=

+

+

1

3

2

2

n

n

n

n

 może ( ale nie musi) być zbieżny. 

 
Def.12.3. (szereg geometryczny) 

Szeregiem geometrycznym

 o ilorazie   nazywamy szereg postaci 

=

1

1

n

n

aq

 
Tw.12.3. (o zbieżności, rozbieżności szeregu geometrycznego) 

 

Jeżeli 

1

<

q

, to szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma S wyraża się wzorem: 

q

a

S

=

1

Jeżeli 

1

q

 oraz 

0

a

, to szereg geometryczny jest rozbieżny. 

 

Przykład: Wyznaczyć sumę szeregu 

=

1

5

4

n

n

 

Rozwiązanie: 

Szereg ten zapisujemy następująco: 

=

=

=

1

1

1

5

1

5

4

5

4

n

n

n

n

. Zatem mamy: 

5

1

,

5

4

=

=

q

a

Ponieważ 

1

5

1

<

 zatem szereg geometryczny 

=

1

5

4

n

n

 jest zbieżny i jego suma wynosi: 

1

4

4

5

1

1

5

4

=

=

=

S

 

Ostatecznie 

1

5

4

1

=

=

n

n

 

 

background image

 

169 

Def.12.4. (szereg Dirichleta rzędu 

α

, szereg harmoniczny) 

 

Szeregiem Dirichleta

 rzędu 

α

 nazywamy szereg postaci 

=

α

1

1

n

n

, gdzie 

R

α

W przypadku, gdy 

1

=

α

 tj. 

=

1

1

n

n

 szereg ten nazywamy szeregiem harmonicznym

 

Tw.12.4. (o zbieżności, rozbieżności szeregu Dirichleta) 

 

Szereg Dirichleta jest zbieżny dla 

1

>

α

, natomiast rozbieżny dla 

1

α

 
Przykład:  

a) Szereg 

=

1

1

n

n

n

 jest szeregiem zbieżnym, gdyż 

=

=

=

1

2

3

1

1

1

n

n

n

n

n

, czyli 

2

3

=

α

b) Szereg 

=

1

1

n

n

 jest szeregiem rozbieżnym, gdyż 

=

=

=

1

2

1

1

1

1

n

n

n

n

, czyli 

2

1

=

α

 

Def.12.5. (minoranta, majoranta szeregu liczbowego o wyrazach nieujemnych) 

 

Minorantą

 szeregu 

=

1

n

n

a

 o wyrazach nieujemnych nazywamy każdy szereg 

=

1

n

n

m

 o tej własności, że 

począwszy od pewnego wskaźnika n, (

N

) spełniona jest nierówność: 

n

n

a

<

0

Majorantą

  szeregu 

=

1

n

n

a

  o  wyrazach  nieujemnych  nazywamy  każdy  szereg 

=

1

n

n

M

,  którego  wyrazy 

spełniają nierówność: 

n

n

M

0

 dla 

N

 

Uwaga:

 Dla każdego szeregu istnieje nieskończenie wiele minorant, majorant. 

 

Przykład: Wyznaczyć kilka majorant szeregu 

=

+

1

3

2

1

n

n

n

 

 

Rozwiązanie: 
Korzystamy  z  faktu,  że  aby  powiększyć  ułamek,  należy  powiększyć  jego  licznik  lub  zmniejszyć 
mianownik. Zatem  

a) 

2

2

1

3

3

+

<

+

n

n

n

n

 dla każdego n. Stąd 

=

+

1

3

2

n

n

n

 jest majorantą danego szeregu. 

b) 

3

3

1

2

1

n

n

n

n

<

+

 dla 

1

>

n

. Stąd 

=

1

3

1

n

n

n

 jest majorantą danego szeregu. 

c) 

2

3

3

3

1

2

2

1

n

n

n

n

n

n

n

=

<

+

<

+

. Stąd 

=

1

2

1

n

n

 jest majorantą danego szeregu. 

 

Przykład: Wyznaczyć minorantę szeregu 

=

+

+

1

2

2

1

2

n

n

n

n

n

 

Rozwiązanie: 

Zmniejszając licznik, a zwiększając mianownik mamy: 

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

+

+

<

+

<

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

background image

 

170 

Czyli minorantą danego szeregu jest zarówno szereg 

=

+

1

2

2

n

n

n

n

, jak i szereg 

=

1

2

1

n

n

 

 
Zbieżność  szeregów  bada  się  za  pomocą  odpowiednich  twierdzeń  zwanych  kryteriami  zbieżności  lub 
rozbieżności. 

 

2. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (ROZBIEŻNOŚCI) SZEREGÓW 
 
Kryterium porównawcze 

Niech 

=

1

n

n

M

 jest majorantą szeregu liczbowego 

=

1

n

n

a

 o wyrazach dodatnich, natomiast 

=

1

n

n

m

 – jego 

minorantą. 

1)

  Jeżeli majoranta szeregu liczbowego 

=

1

n

n

a

 jest zbieżna, to dany szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny. 

2)

  Jeżeli minoranta szeregu 

=

1

n

n

a

 jest rozbieżna, to 

=

1

n

n

a

 jest rozbieżny. 

 

Przykład: Zbadać zbieżność szeregów: 

a) 

=

+

1

2

2

1

n

n

n

 

 

b) 

=

1

4

log

n

n

 

Rozwiązanie:  
a) Dla każdego 

N

n

 zachodzi: 

n

n

n

n

1

1

2

1

2

2

=

<

+

 

Szereg 

=

1

1

n

n

  jest  majorantą  szeregu 

=

+

1

2

2

1

n

n

n

.  Jest  to  jednak  szereg  rozbieżny  –  jako  szereg 

harmoniczny, więc o danym szeregu nic nie możemy wnioskować. 

 

Wyznaczmy minorantę tego szeregu: 

n

n

n

n

n

2

1

2

1

3

1

2

2

2

+

+

=

 

Stąd 

=

1

3

1

n

n

 jest minorantą szeregu 

=

+

1

2

2

1

n

n

n

Minorantę tę możemy zapisać następująco: 

=

=

=

1

1

1

3

1

3

1

n

n

n

n

, czyli jest to szereg rozbieżny. Zatem na 

podstawie kryterium porównawczego możemy stwierdzić, że: 

(minoranta 

=

+

1

2

2

1

n

n

n

 jest rozbieżna)  ⇒  (szereg 

=

+

1

2

2

1

n

n

n

 jest rozbieżny) 

 

b) Wiedząc, że 

n

n

n

<

log

N

 otrzymujemy: 

3

4

4

1

log

n

n

n

n

n

=

<

 

Majorantą szeregu 

=

1

4

log

n

n

 jest 

=

1

3

1

n

n

, który jest zbieżny (jako szereg Dirichleta rzędu 

3

=

α

). 

Zatem na podstawie kryterium porównawczego można stwierdzić: 

(majoranta 

=

1

4

log

n

n

 jest zbieżna) ⇒ (szereg 

=

1

4

log

n

n

 jest zbieżny) 

background image

 

171 

Kryterium porównawcze ilorazowe 

Jeżeli mamy dwa szeregi 

=

1

n

n

a

 i 

=

1

n

n

b

 o wyrazach dodatnich oraz istnieje skończona granica 

0

>

k

k

b

a

n

n

n

=

lim

 

to rozpatrywane szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. 

 

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu 

=

π

1

2

sin

n

n

 

Rozwiązanie: 

Przyjmujemy: 

=

=

π

=

1

1

2

sin

n

n

n

n

a

=

=

π

=

1

1

2

n

n

n

n

b

.  

Stąd 

n

n

n

n

b

a

2

,

2

sin

π

=

π

=

Obliczamy granicę: 

0

1

2

2

sin

lim

lim

>

=

π

π

=

n

n

n

n

n

n

b

a

, czyli 

1

=

k

Szereg 

=

π

1

2

n

n

 jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie 

2

1

=

q

, gdyż 

=

=

π

=

π

1

1

1

2

1

2

2

n

n

n

n

 

Zatem na podstawie kryterium porównawczego ilorazowego 

=

π

1

2

sin

n

n

 jest zbieżny. 

 
Kryterium Cauchy’ego 

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) 

g

a

n

n

n

=

lim

, to szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny dla 

1

<

g

natomiast rozbieżny dla 

1

>

g

 

Uwaga

: Dla 

1

=

g

 kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny. 

 

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu 

=

+

1

2

1

2

n

n

n

n

Rozwiązanie: 

Dla każdego 

N

n

 wyraz n – ty szeregu: 

n

n

n

n

a

+

=

1

2

2

 jest liczbą dodatnią, zatem w granicy możemy 

opuścić moduł.  
Stąd  

( )

2

1

1

2

lim

1

2

lim

lim

2

2

=

+

=

+

=

n

n

n

n

a

n

n

n

n

n

n

n

n

, przy czym 

1

lim

=

n

n

n

Ponieważ 

1

2

1

<

=

g

, więc na podstawie kryterium Cauchy’ego dany szereg jest zbieżny. 

 

background image

 

172 

Kryterium d’Alemberta 

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) 

g

a

a

n

n

n

=

+

1

lim

, to szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny dla 

1

<

g

natomiast rozbieżny dla 

1

>

g

 
Uwaga

: Dla 

1

=

g

 kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny. 

 

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu 

=

1

!

n

n

n

 

Rozwiązanie: 

W danym szeregu 

(

)

(

)

!

1

1

,

!

1

1

+

+

=

=

+

+

n

n

a

n

n

a

n

n

n

n

 

Jest to szereg o wyrazach dodatnich, zatem obliczamy: 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

=

+

=

=

 +

=

+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

1

1

lim

1

lim

1

lim

!

1

!

)

1

(

1

lim

!

!

1

1

lim

!

!

1

1

lim

lim

1

1

1

 

 

Ponieważ 

1

>

e

g

, więc na podstawie kryterium d’Alemberta dany szereg jest rozbieżny. 

 
Kryterium całkowe 

Jeżeli funkcja 

)

(x

f

 jest dodatnia i malejąca w przedziale 

)

+

,

1

 i jeżeli 

n

a

n

f

=

)

(

, to całka 

+∞

1

)

dx

x

f

 

oraz szereg 

=

1

)

(

n

n

f

 są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. 

 

Przykład: Na podstawie kryterium całkowego wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego 

=

1

1

n

n

 

Rozwiązanie: 

Ponieważ 

n

n

f

a

n

1

)

( =

=

,  więc  funkcja 

x

x

f

1

)

( = .  Funkcja  ta  spełnia  również  pozostałe  warunki 

kryterium, ponieważ przyjmuje wartości dodatnie i jest malejąca w przedziale 

)

+

,

1

Badamy zbieżność całki niewłaściwej 

+∞

1

1

dx

x

[

]

(

)

+∞

=

=

=

=

=

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

T

T

x

dx

x

dx

x

T

T

T

T

T

T

ln

lim

1

ln

ln

lim

ln

lim

1

lim

1

1

1

1

. Ponieważ 

+∞

1

1

dx

x

 jest rozbieżna, 

zatem szereg 

=

1

1

n

n

 jest także rozbieżny. 

 

background image

 

173 

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu 

=

1

n

n

e

 

Rozwiązanie: 

Funkcja 

x

e

x

x

f

=

)

(

  spełnia  założenia  kryterium  całkowego  w  przedziale 

)

+

,

1

  -  jest  dodatnia  oraz 

malejąca, gdyż 

)

+

,

1

x

 

x

e

x

x

f

=

1

)

(

 przyjmuje wartości ujemne.  

Zatem badamy zbieżność całki: 

 

(

)

[

]

(

)

T

T

T

T

T

T

x

T

T

T

x

T

x

T

T

x

x

T

x

T

x

T

x

e

T

e

e

e

e

Te

e

e

Te

dx

e

xe

e

x

g

x

f

e

x

g

x

x

f

dx

xe

dx

e

x

dx

e

x

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+

=

+

+

=





+

=

=



=

=

=

=

=

=

=

=

1

lim

2

lim

lim

lim

)

(

1

)

(

)

(

)

(

lim

lim

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

 

Musimy obliczyć: 

(

)

[

]

(

)

( )

0

1

1

lim

1

lim

1

lim

0

1

lim

=





=

=

+

=





=

+

=

=

+

+∞

+∞

+∞

+∞

T

T

T

T

T

T

T

T

e

e

T

e

T

e

T

 

Zatem 

(

)

e

e

e

T

e

dx

e

x

T

T

x

2

0

2

1

lim

2

1

1

=

=

+

=

+∞

+∞

.  

Całka zbieżna, więc 

=

1

n

n

e

 również zbieżny. 

 
3. SZEREGI NAPRZEMIENNE 
 
Def.12.6. (szereg naprzemienny) 

Szeregiem naprzemiennym 

nazywamy szereg postaci: 

( )

=

+

1

1

1

n

n

n

a

, gdzie 

0

>

n

a

n

N

 

 

Uwaga

: W szeregu naprzemiennym każde dwa sąsiednie wyrazy różnią się znakiem. 

 
Zbieżność szeregów naprzemiennych badamy za pomocą następującego twierdzenia: 
 
Tw.12.5. (kryterium Leibniza

Jeżeli wyrazy 

n

a

 szeregu naprzemiennego 

( )

=

+

1

1

1

n

n

n

a

0

>

n

a

, dążą monotonicznie do zera, to znaczy 

spełniają warunki: 

1) 

0

lim

=

n

n

a

 

2) 

n

n

a

a

n

+

1

N

 

to szereg 

( )

=

+

1

1

1

n

n

n

a

 jest zbieżny. 

 
Def.12.7. (bezwzględna i warunkowa zbieżność szeregu) 

Szereg  o  wyrazach  dowolnych 

=

1

n

n

a

  nazywamy  bezwzględnie  zbieżnym,  jeżeli  zbieżny  jest  szereg 

=

1

n

n

a

, natomiast zbieżny 

=

1

n

n

a

 nazywamy zbieżnym warunkowo, jeżeli 

=

1

n

n

a

 jest rozbieżny. 

 

background image

 

174 

Tw.12.6. (kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów) 

 

Niech 

=

1

n

n

a

  –  szereg  o  wyrazach  dowolnych, 

=

1

n

n

a

  –  szereg  utworzony  z  bezwzględnych  wartości 

wyrazów danego szeregu.  

 

Jeżeli szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny to szereg 

=

1

n

n

a

 jest zbieżny. 

 
Przykład:  Zbadać,  które  z  podanych  szeregów  naprzemiennych  są  zbieżne,  a  które  rozbieżne.  
                  W przypadku zbieżności ocenić – czy jest to zbieżność bezwzględna, czy warunkowa. 

 

a) 

( )

=

+

1

1

1

1

n

n

n

 

 

 

b) 

( )

=

+

1

3

1

3

1

n

n

n

 

 

 

c) 

( )

=

+

+

1

1

1

2

5

1

n

n

n

n

 

 
Rozwiązania: 

 

a) Szereg 

( )

...

4

1

3

1

2

1

1

1

1

1

1

+

+

=

=

+

n

n

n

 nazywamy szeregiem anharmonicznym

 

Stosujemy kryterium Leibniza. Sprawdzamy czy spełnione są warunki: 

1) 

0

1

lim

lim

=

=

n

a

n

n

n

 

2) 

n

n

n

1

1

1

<

+

N

, czyli 

n

n

a

a

n

+

1

N

 

Zatem wyrazy szeregu monotonicznie dążą do 0. Założenia kryterium Leibniza są spełnione, więc szereg 

( )

=

+

1

1

1

1

n

n

n

 jest zbieżny.  

 

Badamy  teraz  rodzaj  zbieżności:  badamy  zbieżność  szeregu  utworzonego  z  bezwzględnych  wartości 

wyrazów szeregu anharmonicznego, tzn. 

( )

=

+

1

1

1

1

n

n

n

Stąd  

 

( )

=

=

+

=

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

, czyli jest to szereg harmoniczny, który jest szeregiem rozbieżnym.  

 

Zatem szereg 

( )

=

+

1

1

1

1

n

n

n

 jest szeregiem zbieżnym warunkowo. 

 

b) Badając zbieżność szeregu 

( )

=

+

1

3

1

3

1

n

n

n

 rozpoczniemy od zbadania zbieżności szeregu utworzonego 

z wartości bezwzględnych wyrazów danego szeregu.  

 

W przypadku, gdy szereg 

( )

=

+

1

3

1

3

1

n

n

n

n

 okaże się zbieżny – dalsze badania są zbyteczne, ponieważ na 

podstawie Tw.12.6. i Def.12.7. badany szereg o wyrazach dowolnych (a więc i naprzemienny) jest także 
zbieżny i nazywa się zbieżnym bezwzględnie. 

 

 

background image

 

175 

Stąd

 

 

( )

=

=

+

=

1

3

1

3

1

3

3

1

n

n

n

n

n

n

n

,  otrzymaliśmy  szereg  o  wyrazach  dodatnich,  zatem  stosując  np.  kryterium 

Cauchy’ego badamy jego zbieżność: 

( )

1

3

1

3

lim

3

lim

3

3

<

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 (szereg zbieżny)  

Ostatecznie: 

 

Szereg 

( )

=

+

1

3

1

3

1

n

n

n

n

 jest zbieżny to szereg 

( )

=

+

1

3

1

3

1

n

n

n

jest zbieżny bezwzględnie. 

 

c) Badając szereg 

( )

=

+

+

1

1

1

2

5

1

n

n

n

n

 korzystamy z kryterium Leibniza. 

Obliczamy 

2

1

1

2

5

lim

lim

=

+

=

n

n

a

n

n

n

,  czyli 

0

lim

n

n

a

,  zatem  nie  jest  spełniony  warunek  konieczny 

zbieżności każdego szeregu.  

 

Badany szereg jest, więc szeregiem rozbieżnym. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

176 

 

NIERÓWNOŚCI I RÓWNOŚCI WYKORZYSTYWANE W ANALIZIE MATEMATYCZNEJ  

 

I. Nierówności z funkcjami trygonometrycznymi: 

1. 

0

 

sin

>

<

x

x

x

 

 

2. 



2

,

0

2

sin

π

π

x

x

x

   

3. 

>

3

,

0

2

1

sin

π

x

x

x

 

4. 

0

2

1

cos

2

>

>

x

x

x

 

 

5. 

1

,

0

,

1

cos

2

1

x

x

 

 

6. 

>

2

,

0

tg

π

x

x

x

 

7. 

(

1

,

0

2

tg

x

x

x

   

8. 



4

,

0

4

tg

π

π

x

x

x

  

9. 

(

)

4

,

0

   

tg

sin

π

x

x

x

 

 

II. Nierówności z funkcjami wykładniczą i logarytmiczną: 

1. 

(

)

x

x

x

x

+

+

1

ln

1

  

(

)

+∞

,

1

x

   

 

 

 

2. 

e

x

x

>

>

1

ln

 

 

3. 

R

+

x

x

e

x

  

1

  

 

 

 

 

 

4. 

0

  

1

>

>

x

e

x

 

 

III. Nierówności z silnią: 

1. 

n

k

!

 , gdzie 

R

>

k

k

,

1

  

 

 

 

 

2. 

N

<

<

n

n

e

n

n

n

n

2

!

3

 

3. 

( )

( )

2

!

2

!

2

2

2

<

n

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

4. 

N

+

n

e

n

n

n

1

!

 

 

IV. Nierówność Bernoulliego: 

 

1. 

(

)

)

+

+

+

,

1

1

1

x

n

nx

x

n

N

 

 

V. Nierówności z funkcją entier: 

 

1. 

1

)

(

)

(

+

<

x

E

x

x

E

   

 

 

 

 

 

2. 

x

x

E

x

<

)

(

1

 

 

VI. Nierówności z funkcjami cyklometrycznymi: 

1. 

R

<

<

x

x

2

arctg

2

π

π

   

 

 

 

 

2. 

R

<

<

x

x

π

g

arcct

0

 

3. 

1

,

1

2

arcsin

2

x

x

π

π

 

 

 

 

 

4. 

1

,

1

arccos

0

x

x

π

 

 

VI. Inne równości i nierówności przydatne w rozwiązywaniu zadań: 

1. 

N

n

k

kn

n

k

,

ln

1

  

 

 

 

 

2. 

(

)

2

ln

ln

n

n

n

>

 dla dostatecznie dużych n  

3. 

α

α

α

α

α

tg

)

1

tg(

1

tg

)

1

tg(

tg

+

=

n

n

n

   

 

 

 

4. 

n

n

e

n

n

n

π

2

! ≈

 

{wzór Stirlinga

5. 

2

cosh

x

x

e

e

x

+

=

  {cosinus hiperboliczny}  

 

6. 

2

sinh

x

x

e

e

x

=

 

{sinus hiperboliczny

7. 

(

)

2

3

3

3

...

2

1

...

2

1

n

n

+

+

+

=

+

+

+

 

 

 

 

8. 

(

)(

)

6

1

2

1

...

2

1

2

2

2

+

+

=

+

+

+

n

n

n

n

 

9. 

n

n

>

+

+

+

+

1

...

3

1

2

1

1

2

n

   

 

 

10. 

n

n

1

2

1

...

3

1

2

1

1

2

2

2

>

+

+

+

+

 

11. 

(

)(

)

3

2

1

)

1

(

...

3

2

2

1

+

+

=

+

+

+

+

n

n

n

n

n

   

 

12. 

1

1

1

)

1

(

1

...

3

2

1

2

1

1

+

=

+

+

+

+

n

n

n

 

13. 

)

2

(

...,

,

1

,

0

dla

...

...

3

2

1

3

2

1

=

>

+

+

+

+

n

n

i

x

n

x

x

x

x

x

x

x

x

i

n

n

n

  14. 

N

+

n

n

n

n

2

1