1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne

Semestr II

ELEKTROTECHNIKA

Lista zadań nr 11

CAŁKI OZNACZONE I ICH ZASTOSOWANIA

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

Zad.1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

∫

π

4

0

tg xdx

b)

∫

−

+

−

−

1

0

2

4

5

4

dx

x

x

x

c)

∫

+

a

dx

x

x

0

1

0

>

a

d)

∫

+

4

0

2

1

dx

x

e)

∫

+

2

1

2

)

1

( x

x

dx

f)

∫

π

+

2

0

cos

5

3

4

x

dx

g)

∫

+

+

3

1

2

1

5x

x

x

dx

h)

∫

2

1

2

ln xdx

i)*

dx

x

x

x

e

)

1

(

4

1

2

∫

+

j)

∫

1

0

arctg xdx

k)

∫

−

a

a

dx

b

x

x

cos

0

, >

b

a

l)

∫

+

e

dx

x

x

1

4

ln

1

Zad.2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

a)

8

,

2

1

,

1

=

=

+

=

y

y

x

y

x

b)

3

,

1

,

e

=

+

−

=

=

x

x

y

y

x

i osią OX

c)

6

4

,

8

4

2

+

=

−

=

x

y

x

x

y

d)

x

y

x

y

8

,

8

2

2

=

=

e)

14

5

,

6

2

2

+

+

−

=

−

−

=

x

x

y

x

x

y

f)

x

y

x

y

4

,

3

=

=

g)

2

1

0

przedziale

w

OX

osi

odcinkiem

,

e

2

≤

≤

=

−

x

y

x

i rzędną w punkcie

2

1

=

x

h)

16

,

log

,

log

2

1

4

=

=

=

x

x

y

x

y

i)

0

,

0

dla

sin

=

π

≤

≤

=

y

x

x

y

j)

1

,

1

,

arcsin

=

−

=

=

x

x

x

y

k)

4

,

1

,

ln

=

=

=

x

x

x

x

y

Zad.3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:

a)

π

≤

≤

=

=

2

0

,

sin

,

cos

t

t

a

y

t

a

x

(okrąg)

b)

π

≤

≤

=

=

2

0

,

sin

,

cos

t

t

b

y

t

a

x

(elipsa)

c)

π

≤

≤

=

=

2

0

,

sin

,

cos

3

3

t

t

y

t

x

(asteroida)

d)

π

≤

≤

−

=

−

=

2

0

,

cos

1

,

sin

t

t

y

t

t

x

(łuk cykloidy)

e)

2

1

,

1

,

≤

≤

=

=

t

t

y

t

x

(łuk hiperboli)

Zad.4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą w postaci biegunowej: (

0

>

a

)

a)

π

≤

ϕ

≤

π

−

ϕ

+

=

,

)

cos

1

(

a

r

(kardioida)

b)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

0

,

sin

a

r

(okrąg)

c)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

2

0

,

2

sin

a

r

(krzywa czterolistna)

d)

π

≤

ϕ

≤

=

ϕ

2

0

,

e

m

a

r

(część spirali logarytmicznej)

e)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

2

0

,

a

r

(część spirali Archimedesa)

2

Zad.5.Obliczyć długość łuku krzywej określonej równaniem:

a)

2

2

3

,

ln

≤

≤

=

x

x

y

b)

5

4

8

1

,

2

≤

≤

=

x

x

y

c)*

1

0

,

e

≤

≤

=

x

y

x

d)

2

1

,

)

1

ln(

)

(

2

≤

−

=

x

x

x

f

e)

r

x

r

x

r

y

≤

≤

−

−

=

,

2

2

f)

2

1

2

1

,

1

arcsin

2

≤

≤

−

−

+

=

x

x

x

y

Zad.6. Obliczyć długość łuku krzywej określonej równaniami: ( a>0 )

a)

3

0

,

3

1

,

3

2

≤

≤

=

=

t

t

y

t

x

b)

2

0

,

sin

,

cos

3

3

π

≤

≤

=

=

t

t

a

y

t

a

x

c)

π

≤

≤

−

=

−

=

2

0

,

)

cos

1

(

,

)

sin

(

t

t

a

y

t

t

a

x

d)

π

≤

≤

=

=

2

0

,

sin

2

,

cos

2

t

t

y

t

x

d)

2

0

,

cos

sin

,

sin

cos

≤

≤

−

=

+

=

t

t

t

t

y

t

t

t

x

Zad.7. Obliczyć długość łuku krzywej określonej równaniem biegunowym: ( a > 0 )

a)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

2

0

,

a

r

b)

π

≤

ϕ

≤

π

−

ϕ

+

=

,

)

cos

1

(

a

r

c)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

0

,

sin

a

r

d)

2

2

1

,

1

≤

ϕ

≤

ϕ

=

r

e)

π

≤

ϕ

≤

=

ϕ

2

0

,

e

m

a

r

f)

π

≤

ϕ

≤

ϕ

=

3

0

,

3

sin

3

a

r

Zad.8. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dokoła osi OX obszaru
ograniczonego liniami:

a)

0

,

,

0

,

>

≤

≤

=

h

a

h

x

x

h

a

y

b)

π

≤

≤

=

x

x

x

f

0

,

sin

)

(

c)

1

0

,

e

≤

≤

=

x

y

x

d)

25

2

2

=

+ y

x

e)

2

3

3

,

9

2

2

≤

≤

=

−

x

y

x

f)

a

x

p

px

y

≤

≤

>

=

0

,

0

,

2

2

Zad.9. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dokoła osi OX obszaru
ograniczonego krzywymi:

a)

π

≤

≤

>

=

=

t

a

t

a

y

t

a

x

0

,

0

,

sin

,

cos

3

3

b)

3

0

,

3

1

,

3

2

≤

≤

=

=

t

t

y

t

x

c)

0

,

2

0

,

)

cos

1

(

,

)

sin

(

>

π

≤

≤

−

=

−

=

a

t

t

a

y

t

t

a

x

Zad.10. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:

a)

∫

∞

−

0

2

e

dx

x

x

b)

∫

∞

1

2

arctg

dx

x

x

c)

∫

−

2

0

2

1

x

dx

d)

∫

e

x

x

dx

1

ln

e)

∫

∞

∞

−

+

+

2

2

2

x

x

dx

f)

∫

−

6

2

3

2

)

4

(

x

dx

g)

∫

+

−

3

1

2

8

6x

x

dx

h)

∫

−

∞

−

−

1

1

2

e

1

dx

x

x