242
WYKŁAD Nr 19
CAŁKA PODWÓJNA
A) CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Niech będzie dany prostokąt P, określony na płaszczyźnie XOY następująco:
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
oraz funkcja
)
,
( y
x
f
określona i ograniczona w prostokącie P.
Przypomnienie:
Funkcja
)
,
( y
x
f
jest ograniczona w zbiorze Z, jeśli
M
y
x
f
Z
y
x
M
≤
∈
∀
∈
∃
)
,
(
)
,
(
R
Prostokąt P dzielimy na n prostokątów
k
P
o polach
n
k
S
k
,
...
,
2
,
1
,
=
∆
.
Podział ten oznaczamy
n
∆ (Rys.1).
Rys.1. Podział prostokąta P
W każdym prostokącie
k
P
wybieramy dowolny punkt
(
)
k
k
k
y
x
A
,
, a następnie obliczamy wartość funkcji
w tym punkcie, tzn.
(
)
k
k
y
x
f
,
.
Tworzymy sumę
(
)
∑
=
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
n
S
y
x
f
S
1
,
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P.
Uwaga
: Punkt
k
A
leżący wewnątrz prostokąta możemy wybierać (dla dowolnego podziału
n
∆ ) na wiele
różnych sposobów, a wówczas za każdym razem otrzymamy inną sumę całkową.
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie P i
0
)
,
(
≥
y
x
f
to suma całkowa jest równa sumie
objętości prostopadłościanów o podstawach
k
S
∆
i wysokościach
( )
k
A
f
. (Rys.2)
y
d
k
P
k
S
∆
c
a
b
x
243
Rys.2. Suma całkowa jako suma objętości prostopadłościanów
Niech
k
d
oznacza długość przekątnej prostokąta
k
P
.
Liczbę
k
n
k
n
d
≤
≤
=
δ
1
max
nazywamy średnicą podziału
n
∆ . Dla danego podziału
n
∆ prostokąta P średnica
n
δ jest określona jednoznacznie.
Rozważamy ciąg podziałów
( )
n
∆
prostokąta P. Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeśli
odpowiadający mu ciąg średnic
( )
n
δ
dąży do zera (tj.
0
→
δ
n
gdy
∞
→
n
).
Def.1.1. (całka podwójna w prostokącie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P odpowiadający mu ciąg sum całkowych
( )
n
S
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnie od wyboru punktów pośrednich
k
A
, to tą
granicę nazywamy całką podwójną funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P
, a oznaczamy następująco:
∫∫
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:
(
)
k
n
k
k
k
P
S
y
x
f
dxdy
y
x
f
n
∆
⋅
=
∑
∫∫
=
→
δ
1
0
,
lim
)
,
(
Uwaga
: Jeśli
∫∫
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
istnieje, to mówimy, że funkcja
)
,
( y
x
f
jest całkowalna (w sensie
Riemanna) w prostokącie P.
Tw.1.1. (o całkowalności funkcji ciągłych)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ograniczona i ciągła w prostokącie P to jest ona w nim całkowalna.
z
)
(
k
A
f
k
A
y
x
244
Tw.1.2. (o liniowości całki)
Jeżeli funkcje
)
,
( y
x
f
i
)
,
( y
x
g
są całkowalne w prostokącie P, to
1.
∫∫
∫∫
=
⋅
P
P
dxdy
y
x
f
a
dxdy
y
x
f
a
)
,
(
)
,
(
, gdzie
R
∈
a
2.
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
±
=
±
P
P
P
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Tw.1.3. (o addytywności całki względem obszaru całkowania)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest całkowalna w prostokącie
2
1
P
P
P
∪
=
, to jest ona całkowalna również w
prostokątach
2
1
, P
P
, przy czym
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
P
P
P
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
Def.1.2. (wartość średnia)
Niech
σ
oznacza pole prostokąta P,
dxdy
d
=
σ
jest elementem pola.
Liczbę
σ
σ
=
µ
∫∫
P
d
y
x
f
)
,
(
nazywamy wartością średnią funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P.
Tw.1.4. (twierdzenie całkowe o wartości średniej)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie P, to istnieje taki punkt
P
A
∈ , że
σ
⋅
=
∫∫
)
(
)
,
(
A
f
dxdy
y
x
f
P
Uwaga
: Porównując z Def.1.2. możemy zauważyć, że
)
(A
f
=
µ
Tw.1.5. (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
, to
∫ ∫
∫∫
=
d
c
b
a
P
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
oraz
∫ ∫
∫∫
=
b
a
d
c
P
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
Uwaga
: Całki występujące po prawej stronie równości nazywamy całkami iterowanymi.
Przykład: Obliczyć podane całki po wskazanych prostokątach:
a)
∫∫
P
dxdy
y
x
2
6
4
,
2
1
:
≤
≤
≤
≤
y
x
P
b)
∫∫
+
P
dxdy
y
x
2
2
1
1
0
,
1
0
:
≤
≤
≤
≤
y
x
P
c)
∫∫
P
x
dxdy
e
y
2
3
1
,
1
2
,
0
−
×
=
P
245
Rozwiązania:
a)
=
=
=
+
−
=
−
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
2
1
2
2
1
2
1
2
1
6
4
2
1
6
4
2
2
2
12
1
12
1
4
6
1
1
x
dx
x
dx
x
x
dx
y
x
dx
dy
y
x
dxdy
y
x
P
8
1
2
1
2
4
12
1
=
−
=
b)
(
)
=
=
+
=
⋅
+
=
+
=
+
∫
∫
∫ ∫
∫∫
1
0
1
0
2
1
0
1
0
3
2
1
0
1
0
2
2
2
2
arctg
3
1
1
1
3
1
3
1
1
1
1
y
dy
y
dy
x
y
dy
dx
y
x
dxdy
y
x
P
12
0
4
3
1
π
=
−
π
=
c)
0
0
4
1
4
1
4
2
0
2
0
2
0
1
1
4
2
0
1
1
3
3
2
2
2
2
=
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
−
−
dx
dx
e
dx
y
e
dx
dy
e
y
dxdy
e
y
x
x
x
P
x
Uwaga
: Na przykładzie c) widać jak ważna jest kolejność całkowania przy zamianie całki podwójnej na
całkę iterowaną. W przypadku odwrotnej kolejności mielibyśmy:
∫
∫
∫ ∫
∫∫
−
−
=
=
1
1
2
0
3
1
1
2
0
3
3
2
2
2
dy
dx
e
y
dy
dx
e
y
dxdy
e
y
x
x
P
x
Zatem musielibyśmy w pierwszej kolejności obliczyć całkę
∫
dx
e
x
2
, co stanowi problem, gdyż funkcja
nie jest ona funkcją elementarną.
UWAGA
: Jeżeli funkcja podcałkowa
)
,
( y
x
f
jest funkcją o zmiennych rozdzielonych
tzn.
)
(
)
(
)
,
(
y
h
x
g
y
x
f
⋅
=
, gdzie funkcje g i h są funkcjami ciągłymi odpowiednio na przedziałach
b
a
,
,
d
c
,
to
⋅
=
∫
∫
∫∫
d
c
b
a
P
dy
y
h
dx
x
g
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
)
,
(
gdzie
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
.
Przykład: Obliczyć
(
)
2
,
1
3
,
1
,
2
2
−
×
−
=
+
∫∫
P
dx
x
y
x
P
.
Rozwiązanie:
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
=
+
−
−
−
−
∫
∫
∫∫
∫∫
2
1
2
3
1
3
2
1
3
1
2
2
2
2
2
3
1
1
y
y
x
dy
y
dx
x
dx
y
x
dx
x
y
x
P
P
42
2
9
3
28
1
2
1
2
2
4
3
1
3
27
=
⋅
=
+
−
+
⋅
+
=
246
B) CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM I REGULARNYM
Def.1.3. (obszar normalny względem osi OX )
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli jest on określony
nierównościami:
)
(
)
(
,
x
y
x
b
x
a
ψ
≤
≤
ϕ
≤
≤
,
gdzie
)
(
),
(
x
x
ψ
ϕ
– funkcje ciągłe na przedziale
b
a
,
oraz
)
(
)
(
x
x
ψ
≤
ϕ
dla
b
a
x
,
∈
(Rys.3)
Rys.3. Obszar normalny względem osi OX
Def.1.4. (obszar normalny względem osi OY )
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli jest on określony
nierównościami:
)
(
)
(
,
y
x
y
d
y
c
β
≤
≤
α
≤
≤
,
gdzie
)
(
),
(
y
y
β
α
– funkcje ciągłe na przedziale
d
c
,
oraz
)
(
)
(
y
y
β
≤
α
dla
d
c
y
,
∈
(Rys.4)
Rys.4. Obszar normalny względem osi OY
x
a
b
y
)
(x
y
ϕ
=
)
(x
y
ψ
=
D
x
c
d
y
)
( y
x
β
=
)
( y
x
α
=
D
247
Przykład: Obszar ograniczony liniami:
x
e
y
y
x
=
=
=
,
2
,
0
(Rys.5) jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY, ponieważ można opisać go następującymi nierównościami:
(
)
{
}
2
,
2
ln
0
:
,
≤
≤
≤
≤
∈
=
y
e
x
y
x
D
x
2
R
{obszar normalny względem osi OX }
(
)
{
}
y
x
y
y
x
D
ln
0
,
2
1
:
,
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
R
{obszar normalny względem osi OY }
Rys.5.
Def.1.5. (obszar regularny)
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest on sumą obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY), które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Przykład: Obszar domknięty
2
R
⊂
D
ograniczony liniami
1
i
2
2
+
=
=
x
y
x
y
(patrz Rys.6) jest
obszarem regularnym jako suma dwóch obszarów normalnych względem osi OX :
2
1
D
D
D
∪
=
, gdzie
(
)
{
}
1
2
,
0
1
:
,
2
1
+
−
≤
≤
≤
≤
−
∈
=
x
y
x
x
y
x
D
2
R
(
)
{
}
1
2
,
1
0
:
,
2
2
+
≤
≤
≤
≤
∈
=
x
y
x
x
y
x
D
2
R
Rys.6.
-1
1
x
1
2
1
+
= x
y
2
2x
y
=
y
1
D
2
D
x
0
1
2
y
x
e
y
=
2
=
y
2
ln
248
Def.1.6. (całka podwójna w obszarze normalnym)
Niech
)
,
( y
x
f
będzie funkcją ciągłą i ograniczoną w obszarze domkniętym
2
R
⊂
D
oraz niech P będzie
dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Rozważmy funkcję
)
,
(
*
y
x
f
będącą rozszerzeniem
funkcji
)
,
( y
x
f
na prostokąt P:
∈
∈
=
D
P
y
x
D
y
x
y
x
f
y
x
f
\
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*
Całkę podwójną funkcji f po obszarze normalnym D
definiujemy jako:
∫∫
∫∫
=
P
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
*
)
,
(
df
o ile całka po prawej stronie równości istnieje.
Mówimy wówczas, że funkcja f jest całkowalna w obszarze normalnym D.
CAŁKI ITEROWANE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OX, gdzie
{
}
)
(
)
(
,
:
)
,
(
x
y
x
b
x
a
y
x
D
ψ
ϕ
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
R
to
dx
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b
a
x
x
b
a
d
c
P
D
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
=
=
=
ψ
ϕ
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
*
)
,
(
Ostatecznie
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b
a
x
x
D
∫ ∫
∫∫
=
ψ
ϕ
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
Analogicznie:
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OY, gdzie
{
}
)
(
)
(
,
:
)
,
(
y
x
y
d
y
c
y
x
D
β
≤
≤
α
≤
≤
∈
=
2
R
to
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
y
d
c
b
a
P
D
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
=
=
=
β
α
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
*
)
,
(
Ostatecznie
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
y
D
∫ ∫
∫∫
=
β
α
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
249
CAŁKA PODWÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech D będzie obszarem regularnym, tzn.
n
D
D
D
D
∪
∪
∪
=
...
2
1
, gdzie
n
D
D
D
,
...
,
,
2
1
są obszarami
normalnymi (względem osi OX lub OY) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja
)
,
( y
x
f
będzie
całkowalna na tym obszarze.
Wówczas
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
+
+
+
=
n
D
D
D
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
Uwaga
: Całki po obszarach normalnych i regularnych mają te same własności, co całki po prostokątach
(liniowość oraz addytywność względem obszaru całkowania)
→
Patrz Tw.1.2., Tw.1.3.
Przykład: Obliczyć
∫∫
D
dxdy
x
, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami:
2
,
−
=
=
x
x
y
,
2
=
+ y
x
.
Obszar D przedstawia Rys.7.
Rys.7.
Rozwiązanie:
Obszar
2
1
D
D
D
∪
=
jest obszarem regularnym, gdzie
2
1
, D
D
obszary normalne względem osi OX
(
)
{
}
x
y
x
x
y
x
D
−
≤
≤
−
≤
≤
−
∈
=
2
,
0
2
:
,
1
2
R
(
)
{
}
x
y
x
x
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
,
1
0
:
,
2
2
R
[
]
[
]
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
−
−
−
−
−
−
−
dx
y
x
dx
y
x
dx
dy
x
dx
dy
x
dxdy
x
dxdy
x
dxdy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
D
D
1
0
2
0
2
2
1
0
2
0
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
=
−
+
=
−
+
=
−
−
+
+
−
=
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1
0
3
2
0
2
2
1
0
2
0
2
1
0
0
2
3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
3
11
3
1
4
3
2
1
4
−
=
+
−
=
−
+
−
=
-2
1
D
2
D
x
y
=
x
y
−
= 2
1
2
2
−
=
x
4
x
y
250
C) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE PODWÓJNEJ
W wielu przypadkach obliczanie całki podwójnej możemy uprościć wprowadzając nowe zmienne.
Niech
(*)
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
będą funkcjami określonymi w pewnym obszarze płaskim ∆.
Równania te ustalają pewne przyporządkowanie pomiędzy punktami
∆
∈
)
,
( v
u
, a punktami
D
y
x
∈
)
,
(
.
Niech
D
F
→
∆
:
będzie przekształceniem obszaru ∆ w obszar D określonym następująco:
∆
∈
=
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
v
u
y
x
v
u
F
Jeśli przekształcenie F jest ciągłe (tzn. funkcje
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
są ciągłe w obszarze ∆) oraz
wzajemnie jednoznaczne (tzn. różnym punktom obszaru ∆ odpowiadają różne punkty obszaru D), to
wtedy obszar D jest obrazem zbioru ∆ przy przekształceniu F .
Zatem
{
}
∆
∈
=
=
=
∆
=
)
,
(
,
)
,
(
),
,
(
:
)
,
(
)
(
df
v
u
v
u
y
y
v
u
x
x
y
x
F
D
Def.1.7. (jakobian przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia
(
)
)
,
(
),
,
(
)
,
(
v
u
y
v
u
x
v
u
F
=
nazywamy funkcję określoną następująco:
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)
,
(
Uwaga
: Jakobian przekształcenia (*) oznaczamy również przez
)
,
(
)
,
(
v
u
D
y
x
D
.
Tw.1.6. (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Jeżeli
1.
odwzorowanie
=
=
)
,
(
)
,
(
:
v
u
y
y
v
u
x
x
F
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
∆ na wnętrze obszaru regularnego D,
2.
funkcje
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
są klasy C
1
(tzn. mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
w pewnym otwartym zbiorze Ω zawierającym obszar ∆ (
Ω
⊂
∆
),
3.
funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła na obszarze D,
4.
jakobian przekształcenia
0
)
,
(
≠
v
u
J
wewnątrz obszaru ∆
to
[
]
∫∫
∫∫
∆
⋅
=
dudv
v
u
J
v
u
y
v
u
x
f
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
251
WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE
Def.1.8. ( współrzędne biegunowe)
Współrzędnymi biegunowymi
punktu płaszczyzny P nazywamy parę liczb
(
)
ϕ
,
r
, gdzie r – oznacza
długość promienia wodzącego (tj. odległość punktu P od początku układu współrzędnych,
∞
<
≤ r
0
),
natomiast ϕ – jest miarą kąta jaki tworzy promień wodzący z dodatnią półosią osi OX (
π
<
ϕ
≤
2
0
lub
π
≤
ϕ
<
π
−
).
Rys.8
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I BIEGUNOWYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
( y
x
punktu płaszczyzny P danego we współrzędnych biegunowych
(
)
ϕ
,
r
określone są następująco:
ϕ
=
ϕ
=
sin
,
cos
r
y
r
x
JAKOBIAN PRZEKSZTAŁCENIA BIEGUNOWEGO:
r
r
r
r
r
y
r
y
x
r
x
r
J
=
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
ϕ
2
2
sin
cos
cos
sin
sin
cos
)
,
(
Przykład: Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć następującą całkę
(
)
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
1
, gdzie
{
}
0
,
:
)
,
(
2
2
2
>
≤
+
=
R
R
y
x
y
x
D
.
Rozwiązanie:
Obszar całkowania D jest kołem o promieniu R. Zastosowaie współrzędnych begunowych pozwoli
przekształcić go na obszar ∆ (prostokąt) Rys.9.
⇒
r
r
J
r
y
r
x
=
=
=
)
,
(
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
Rys.9.
x
P
r
y
ϕ
0
D
x
y
R
r
ϕ
R
π
2
∆
252
Na podstawie Tw.1.6. i zależności między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi otrzymujemy:
∫∫
∫∫
∆
⋅
=
D
drd
r
r
r
f
dxdy
y
x
f
ϕ
ϕ
ϕ
)
sin
,
cos
(
)
,
(
Zatem w naszym przypadku mamy:
(
)
(
)
(
)
=
+
+
=
⋅
+
+
=
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
∆
∆
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
drd
r
r
r
drd
r
r
r
dxdy
y
x
D
sin
cos
sin
cos
1
1
2
2
gdzie
{
}
R
r
r
≤
≤
≤
≤
=
∆
0
,
2
0
:
)
,
(
π
ϕ
ϕ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
3
2
3
2
3
2
2
0
3
2
2
0
3
2
2
0
0
3
3
2
2
0
0
2
2
3
3
0
cos
0
sin
3
0
2
2
cos
2
sin
3
2
2
cos
sin
3
2
sin
cos
3
2
sin
3
cos
3
2
sin
cos
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
d
R
R
d
r
r
r
d
dr
r
r
r
R
R
π
π
π
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
π
=
+
−
=
−
−
⋅
−
−
+
⋅
=
=
−
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
Uwaga
: W przypadku, gdy obszar całkowania jest elipsą
0
,
,
1
2
2
2
2
>
=
+
b
a
b
y
a
x
lub jej częścią stosujemy
tzw. uogólnione współrzędne biegunowe:
abr
r
J
r
b
y
r
a
x
=
=
=
)
,
(
,
sin
,
cos
ϕ
ϕ
ϕ