242
WYKŁAD Nr 19
CAŁKA PODWÓJNA
A) CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Niech będzie dany prostokąt P, określony na płaszczyźnie XOY następująco:
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
oraz funkcja
)
,
( y
x
f
określona i ograniczona w prostokącie P.
Przypomnienie:
Funkcja
)
,
( y
x
f
jest ograniczona w zbiorze Z, jeśli
M
y
x
f
Z
y
x
M
≤
∈
∀
∈
∃
)
,
(
)
,
(
R
Prostokąt P dzielimy na n prostokątów
k
P
o polach
n
k
S
k
,
...
,
2
,
1
,
=
∆
.
Podział ten oznaczamy
n
∆ (Rys.1).
Rys.1. Podział prostokąta P
W każdym prostokącie
k
P
wybieramy dowolny punkt
(
)
k
k
k
y
x
A
,
, a następnie obliczamy wartość funkcji
w tym punkcie, tzn.
(
)
k
k
y
x
f
,
.
Tworzymy sumę
(
)
∑
=
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
n
S
y
x
f
S
1
,
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P.
Uwaga
: Punkt
k
A
leżący wewnątrz prostokąta możemy wybierać (dla dowolnego podziału
n
∆ ) na wiele
różnych sposobów, a wówczas za każdym razem otrzymamy inną sumę całkową.
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie P i
0
)
,
(
≥
y
x
f
to suma całkowa jest równa sumie
objętości prostopadłościanów o podstawach
k
S
∆
i wysokościach
( )
k
A
f
. (Rys.2)
y
d
k
P
k
S
∆
c
a
b
x
243
Rys.2. Suma całkowa jako suma objętości prostopadłościanów
Niech
k
d
oznacza długość przekątnej prostokąta
k
P
.
Liczbę
k
n
k
n
d
≤
≤
=
δ
1
max
nazywamy średnicą podziału
n
∆ . Dla danego podziału
n
∆ prostokąta P średnica
n
δ jest określona jednoznacznie.
Rozważamy ciąg podziałów
( )
n
∆
prostokąta P. Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeśli
odpowiadający mu ciąg średnic
( )
n
δ
dąży do zera (tj.
0
→
δ
n
gdy
∞
→
n
).
Def.1.1. (całka podwójna w prostokącie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P odpowiadający mu ciąg sum całkowych
( )
n
S
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnie od wyboru punktów pośrednich
k
A
, to tą
granicę nazywamy całką podwójną funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P
, a oznaczamy następująco:
∫∫
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:
(
)
k
n
k
k
k
P
S
y
x
f
dxdy
y
x
f
n
∆
⋅
=
∑
∫∫
=
→
δ
1
0
,
lim
)
,
(
Uwaga
: Jeśli
∫∫
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
istnieje, to mówimy, że funkcja
)
,
( y
x
f
jest całkowalna (w sensie
Riemanna) w prostokącie P.
Tw.1.1. (o całkowalności funkcji ciągłych)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ograniczona i ciągła w prostokącie P to jest ona w nim całkowalna.
z
)
(
k
A
f
k
A
y
x
244
Tw.1.2. (o liniowości całki)
Jeżeli funkcje
)
,
( y
x
f
i
)
,
( y
x
g
są całkowalne w prostokącie P, to
1.
∫∫
∫∫
=
⋅
P
P
dxdy
y
x
f
a
dxdy
y
x
f
a
)
,
(
)
,
(
, gdzie
R
∈
a
2.
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
±
=
±
P
P
P
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Tw.1.3. (o addytywności całki względem obszaru całkowania)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest całkowalna w prostokącie
2
1
P
P
P
∪
=
, to jest ona całkowalna również w
prostokątach
2
1
, P
P
, przy czym
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
P
P
P
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
Def.1.2. (wartość średnia)
Niech
σ
oznacza pole prostokąta P,
dxdy
d
=
σ
jest elementem pola.
Liczbę
σ
σ
=
µ
∫∫
P
d
y
x
f
)
,
(
nazywamy wartością średnią funkcji
)
,
( y
x
f
w prostokącie P.
Tw.1.4. (twierdzenie całkowe o wartości średniej)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie P, to istnieje taki punkt
P
A
∈ , że
σ
⋅
=
∫∫
)
(
)
,
(
A
f
dxdy
y
x
f
P
Uwaga
: Porównując z Def.1.2. możemy zauważyć, że
)
(A
f
=
µ
Tw.1.5. (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w prostokącie
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
, to
∫ ∫
∫∫
=
d
c
b
a
P
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
oraz
∫ ∫
∫∫
=
b
a
d
c
P
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
Uwaga
: Całki występujące po prawej stronie równości nazywamy całkami iterowanymi.
Przykład: Obliczyć podane całki po wskazanych prostokątach:
a)
∫∫
P
dxdy
y
x
2
6
4
,
2
1
:
≤
≤
≤
≤
y
x
P
b)
∫∫
+
P
dxdy
y
x
2
2
1
1
0
,
1
0
:
≤
≤
≤
≤
y
x
P
c)
∫∫
P
x
dxdy
e
y
2
3
1
,
1
2
,
0
−
×
=
P
245
Rozwiązania:
a)
=
=
=
+
−
=
−
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
2
1
2
2
1
2
1
2
1
6
4
2
1
6
4
2
2
2
12
1
12
1
4
6
1
1
x
dx
x
dx
x
x
dx
y
x
dx
dy
y
x
dxdy
y
x
P
8
1
2
1
2
4
12
1
=
−
=
b)
(
)
=
=
+
=
⋅
+
=
+
=
+
∫
∫
∫ ∫
∫∫
1
0
1
0
2
1
0
1
0
3
2
1
0
1
0
2
2
2
2
arctg
3
1
1
1
3
1
3
1
1
1
1
y
dy
y
dy
x
y
dy
dx
y
x
dxdy
y
x
P
12
0
4
3
1
π
=
−
π
=
c)
0
0
4
1
4
1
4
2
0
2
0
2
0
1
1
4
2
0
1
1
3
3
2
2
2
2
=
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
−
−
dx
dx
e
dx
y
e
dx
dy
e
y
dxdy
e
y
x
x
x
P
x
Uwaga
: Na przykładzie c) widać jak ważna jest kolejność całkowania przy zamianie całki podwójnej na
całkę iterowaną. W przypadku odwrotnej kolejności mielibyśmy:
∫
∫
∫ ∫
∫∫
−
−
=
=
1
1
2
0
3
1
1
2
0
3
3
2
2
2
dy
dx
e
y
dy
dx
e
y
dxdy
e
y
x
x
P
x
Zatem musielibyśmy w pierwszej kolejności obliczyć całkę
∫
dx
e
x
2
, co stanowi problem, gdyż funkcja
nie jest ona funkcją elementarną.
UWAGA
: Jeżeli funkcja podcałkowa
)
,
( y
x
f
jest funkcją o zmiennych rozdzielonych
tzn.
)
(
)
(
)
,
(
y
h
x
g
y
x
f
⋅
=
, gdzie funkcje g i h są funkcjami ciągłymi odpowiednio na przedziałach
b
a
,
,
d
c
,
to
⋅
=
∫
∫
∫∫
d
c
b
a
P
dy
y
h
dx
x
g
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
)
,
(
gdzie
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
,
:
.
Przykład: Obliczyć
(
)
2
,
1
3
,
1
,
2
2
−
×
−
=
+
∫∫
P
dx
x
y
x
P
.
Rozwiązanie:
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
=
+
−
−
−
−
∫
∫
∫∫
∫∫
2
1
2
3
1
3
2
1
3
1
2
2
2
2
2
3
1
1
y
y
x
dy
y
dx
x
dx
y
x
dx
x
y
x
P
P
42
2
9
3
28
1
2
1
2
2
4
3
1
3
27
=
⋅
=
+
−
+
⋅
+
=
246
B) CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM I REGULARNYM
Def.1.3. (obszar normalny względem osi OX )
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli jest on określony
nierównościami:
)
(
)
(
,
x
y
x
b
x
a
ψ
≤
≤
ϕ
≤
≤
,
gdzie
)
(
),
(
x
x
ψ
ϕ
– funkcje ciągłe na przedziale
b
a
,
oraz
)
(
)
(
x
x
ψ
≤
ϕ
dla
b
a
x
,
∈
(Rys.3)
Rys.3. Obszar normalny względem osi OX
Def.1.4. (obszar normalny względem osi OY )
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli jest on określony
nierównościami:
)
(
)
(
,
y
x
y
d
y
c
β
≤
≤
α
≤
≤
,
gdzie
)
(
),
(
y
y
β
α
– funkcje ciągłe na przedziale
d
c
,
oraz
)
(
)
(
y
y
β
≤
α
dla
d
c
y
,
∈
(Rys.4)
Rys.4. Obszar normalny względem osi OY
x
a
b
y
)
(x
y
ϕ
=
)
(x
y
ψ
=
D
x
c
d
y
)
( y
x
β
=
)
( y
x
α
=
D
247
Przykład: Obszar ograniczony liniami:
x
e
y
y
x
=
=
=
,
2
,
0
(Rys.5) jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY, ponieważ można opisać go następującymi nierównościami:
(
)
{
}
2
,
2
ln
0
:
,
≤
≤
≤
≤
∈
=
y
e
x
y
x
D
x
2
R
{obszar normalny względem osi OX }
(
)
{
}
y
x
y
y
x
D
ln
0
,
2
1
:
,
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
R
{obszar normalny względem osi OY }
Rys.5.
Def.1.5. (obszar regularny)
Obszar domknięty
2
R
⊂
D
nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest on sumą obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY), które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Przykład: Obszar domknięty
2
R
⊂
D
ograniczony liniami
1
i
2
2
+
=
=
x
y
x
y
(patrz Rys.6) jest
obszarem regularnym jako suma dwóch obszarów normalnych względem osi OX :
2
1
D
D
D
∪
=
, gdzie
(
)
{
}
1
2
,
0
1
:
,
2
1
+
−
≤
≤
≤
≤
−
∈
=
x
y
x
x
y
x
D
2
R
(
)
{
}
1
2
,
1
0
:
,
2
2
+
≤
≤
≤
≤
∈
=
x
y
x
x
y
x
D
2
R
Rys.6.
-1
1
x
1
2
1
+
= x
y
2
2x
y
=
y
1
D
2
D
x
0
1
2
y
x
e
y
=
2
=
y
2
ln
248
Def.1.6. (całka podwójna w obszarze normalnym)
Niech
)
,
( y
x
f
będzie funkcją ciągłą i ograniczoną w obszarze domkniętym
2
R
⊂
D
oraz niech P będzie
dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Rozważmy funkcję
)
,
(
*
y
x
f
będącą rozszerzeniem
funkcji
)
,
( y
x
f
na prostokąt P:
∈
∈
=
D
P
y
x
D
y
x
y
x
f
y
x
f
\
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*
Całkę podwójną funkcji f po obszarze normalnym D
definiujemy jako:
∫∫
∫∫
=
P
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
*
)
,
(
df
o ile całka po prawej stronie równości istnieje.
Mówimy wówczas, że funkcja f jest całkowalna w obszarze normalnym D.
CAŁKI ITEROWANE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OX, gdzie
{
}
)
(
)
(
,
:
)
,
(
x
y
x
b
x
a
y
x
D
ψ
ϕ
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
R
to
dx
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b
a
x
x
b
a
d
c
P
D
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
=
=
=
ψ
ϕ
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
*
)
,
(
Ostatecznie
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b
a
x
x
D
∫ ∫
∫∫
=
ψ
ϕ
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
Analogicznie:
Jeśli funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OY, gdzie
{
}
)
(
)
(
,
:
)
,
(
y
x
y
d
y
c
y
x
D
β
≤
≤
α
≤
≤
∈
=
2
R
to
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
y
d
c
b
a
P
D
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
=
=
=
β
α
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
*
)
,
(
Ostatecznie
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
y
D
∫ ∫
∫∫
=
β
α
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
249
CAŁKA PODWÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech D będzie obszarem regularnym, tzn.
n
D
D
D
D
∪
∪
∪
=
...
2
1
, gdzie
n
D
D
D
,
...
,
,
2
1
są obszarami
normalnymi (względem osi OX lub OY) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja
)
,
( y
x
f
będzie
całkowalna na tym obszarze.
Wówczas
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
+
+
+
=
n
D
D
D
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
Uwaga
: Całki po obszarach normalnych i regularnych mają te same własności, co całki po prostokątach
(liniowość oraz addytywność względem obszaru całkowania)
→
Patrz Tw.1.2., Tw.1.3.
Przykład: Obliczyć
∫∫
D
dxdy
x
, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami:
2
,
−
=
=
x
x
y
,
2
=
+ y
x
.
Obszar D przedstawia Rys.7.
Rys.7.
Rozwiązanie:
Obszar
2
1
D
D
D
∪
=
jest obszarem regularnym, gdzie
2
1
, D
D
obszary normalne względem osi OX
(
)
{
}
x
y
x
x
y
x
D
−
≤
≤
−
≤
≤
−
∈
=
2
,
0
2
:
,
1
2
R
(
)
{
}
x
y
x
x
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
∈
=
2
,
1
0
:
,
2
2
R
[
]
[
]
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
−
−
−
−
−
−
−
dx
y
x
dx
y
x
dx
dy
x
dx
dy
x
dxdy
x
dxdy
x
dxdy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
D
D
1
0
2
0
2
2
1
0
2
0
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
=
−
+
=
−
+
=
−
−
+
+
−
=
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1
0
3
2
0
2
2
1
0
2
0
2
1
0
0
2
3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
3
11
3
1
4
3
2
1
4
−
=
+
−
=
−
+
−
=
-2
1
D
2
D
x
y
=
x
y
−
= 2
1
2
2
−
=
x
4
x
y
250
C) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE PODWÓJNEJ
W wielu przypadkach obliczanie całki podwójnej możemy uprościć wprowadzając nowe zmienne.
Niech
(*)
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
będą funkcjami określonymi w pewnym obszarze płaskim ∆.
Równania te ustalają pewne przyporządkowanie pomiędzy punktami
∆
∈
)
,
( v
u
, a punktami
D
y
x
∈
)
,
(
.
Niech
D
F
→
∆
:
będzie przekształceniem obszaru ∆ w obszar D określonym następująco:
∆
∈
=
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
v
u
y
x
v
u
F
Jeśli przekształcenie F jest ciągłe (tzn. funkcje
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
są ciągłe w obszarze ∆) oraz
wzajemnie jednoznaczne (tzn. różnym punktom obszaru ∆ odpowiadają różne punkty obszaru D), to
wtedy obszar D jest obrazem zbioru ∆ przy przekształceniu F .
Zatem
{
}
∆
∈
=
=
=
∆
=
)
,
(
,
)
,
(
),
,
(
:
)
,
(
)
(
df
v
u
v
u
y
y
v
u
x
x
y
x
F
D
Def.1.7. (jakobian przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia
(
)
)
,
(
),
,
(
)
,
(
v
u
y
v
u
x
v
u
F
=
nazywamy funkcję określoną następująco:
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)
,
(
Uwaga
: Jakobian przekształcenia (*) oznaczamy również przez
)
,
(
)
,
(
v
u
D
y
x
D
.
Tw.1.6. (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Jeżeli
1.
odwzorowanie
=
=
)
,
(
)
,
(
:
v
u
y
y
v
u
x
x
F
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
∆ na wnętrze obszaru regularnego D,
2.
funkcje
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
y
v
u
x
x
=
=
są klasy C
1
(tzn. mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
w pewnym otwartym zbiorze Ω zawierającym obszar ∆ (
Ω
⊂
∆
),
3.
funkcja
)
,
( y
x
f
jest ciągła na obszarze D,
4.
jakobian przekształcenia
0
)
,
(
≠
v
u
J
wewnątrz obszaru ∆
to
[
]
∫∫
∫∫
∆
⋅
=
dudv
v
u
J
v
u
y
v
u
x
f
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
251
WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE
Def.1.8. ( współrzędne biegunowe)
Współrzędnymi biegunowymi
punktu płaszczyzny P nazywamy parę liczb
(
)
ϕ
,
r
, gdzie r – oznacza
długość promienia wodzącego (tj. odległość punktu P od początku układu współrzędnych,
∞
<
≤ r
0
),
natomiast ϕ – jest miarą kąta jaki tworzy promień wodzący z dodatnią półosią osi OX (
π
<
ϕ
≤
2
0
lub
π
≤
ϕ
<
π
−
).
Rys.8
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I BIEGUNOWYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
( y
x
punktu płaszczyzny P danego we współrzędnych biegunowych
(
)
ϕ
,
r
określone są następująco:
ϕ
=
ϕ
=
sin
,
cos
r
y
r
x
JAKOBIAN PRZEKSZTAŁCENIA BIEGUNOWEGO:
r
r
r
r
r
y
r
y
x
r
x
r
J
=
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
ϕ
2
2
sin
cos
cos
sin
sin
cos
)
,
(
Przykład: Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć następującą całkę
(
)
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
1
, gdzie
{
}
0
,
:
)
,
(
2
2
2
>
≤
+
=
R
R
y
x
y
x
D
.
Rozwiązanie:
Obszar całkowania D jest kołem o promieniu R. Zastosowaie współrzędnych begunowych pozwoli
przekształcić go na obszar ∆ (prostokąt) Rys.9.
⇒
r
r
J
r
y
r
x
=
=
=
)
,
(
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
Rys.9.
x
P
r
y
ϕ
0
D
x
y
R
r
ϕ
R
π
2
∆
252
Na podstawie Tw.1.6. i zależności między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi otrzymujemy:
∫∫
∫∫
∆
⋅
=
D
drd
r
r
r
f
dxdy
y
x
f
ϕ
ϕ
ϕ
)
sin
,
cos
(
)
,
(
Zatem w naszym przypadku mamy:
(
)
(
)
(
)
=
+
+
=
⋅
+
+
=
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
∆
∆
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
drd
r
r
r
drd
r
r
r
dxdy
y
x
D
sin
cos
sin
cos
1
1
2
2
gdzie
{
}
R
r
r
≤
≤
≤
≤
=
∆
0
,
2
0
:
)
,
(
π
ϕ
ϕ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
3
2
3
2
3
2
2
0
3
2
2
0
3
2
2
0
0
3
3
2
2
0
0
2
2
3
3
0
cos
0
sin
3
0
2
2
cos
2
sin
3
2
2
cos
sin
3
2
sin
cos
3
2
sin
3
cos
3
2
sin
cos
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
d
R
R
d
r
r
r
d
dr
r
r
r
R
R
π
π
π
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
π
=
+
−
=
−
−
⋅
−
−
+
⋅
=
=
−
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
Uwaga
: W przypadku, gdy obszar całkowania jest elipsą
0
,
,
1
2
2
2
2
>
=
+
b
a
b
y
a
x
lub jej częścią stosujemy
tzw. uogólnione współrzędne biegunowe:
abr
r
J
r
b
y
r
a
x
=
=
=
)
,
(
,
sin
,
cos
ϕ
ϕ
ϕ
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word L19 Calka podwojna
Microsoft Word W21 Calka krzywoliniowa
Microsoft Word W20 Calka potrojna
Microsoft Word L20 calka potrojna
Microsoft Word L21 calka krzywolniowa
Microsoft Word WE W9 Calka przez czesci, podst i wymierna
Microsoft Word WE W11 Calka oznaczona
Microsoft Word WE L11 Calka oznaczona i zastosowanie
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
więcej podobnych podstron