1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Semestr III Studia Niestacjonarne

Elektrotechnika

Lista Nr 20

CAŁKA POTRÓJNA

Zad.1. Całkę potrójną

∫∫∫

V

dxdydz

z

y

x

f

)

,

,

(

zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V jest ograniczony

powierzchniami o równaniach:

a)

12

4

3

2

,

0

,

0

,

0

=

+

+

=

=

=

z

y

x

z

y

x

b)

2

,

1

,

3

2

2

=

−

=

=

+

z

z

y

x

c)

6

,

2

2

2

=

+

=

z

y

x

z

d)

4

,

25

2

2

2

=

=

+

+

z

z

y

x

e)

4

,

2

2

2

2

2

=

+

+

+

=

z

y

x

y

x

z

f)

2

2

2

2

8

,

z

x

y

z

x

y

−

−

=

+

=

Zad.2. Obliczyć

∫∫∫

V

dxdydz

z

y

x

f

)

,

,

(

, jeżeli:

a)

xy

z

y

x

x

y

V

xyz

z

y

x

f

≤

≤

≥

≥

=

0

,

,

:

,

)

,

,

(

2

2

b)

x

z

y

x

x

V

e

z

y

x

f

z

y

x

−

≤

≤

≤

≤

−

≤

=

+

+

0

,

1

,

0

:

,

)

,

,

(

c)

x

z

x

y

x

V

y

x

z

y

x

f

−

≤

≤

−

≤

+

+

=

2

1

,

4

:

,

)

,

,

(

2

2

2

2

d)

(

)

y

x

z

z

y

x

V

z

y

x

z

y

x

f

−

−

≤

≥

≥

≥

+

+

+

=

1

,

0

,

0

,

0

:

,

1

2

3

1

)

,

,

(

4

e)

0

,

9

:

,

)

,

,

(

2

2

2

≥

−

−

≤

=

z

y

x

z

V

x

z

y

x

f

f)

,

)

,

,

(

2

2

y

x

z

z

y

x

f

+

=

V obszar ograniczony powierzchniami:

2

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

2

2

2

z

y

x

=

+

dla

0

≥

z

położony na zewnątrz walca

4

1

2

2

=

+ y

x

Zad.3. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

a)

0

,

0

,

4

2

3

,

2

3

,

2

=

=

=

+

=

+

=

+

+

z

y

y

x

y

x

z

y

x

b)

2

2

2

,

,

0

,

1

y

x

z

x

y

z

y

+

=

=

=

=

c)

2

2

2

2

2

2

,

y

x

z

y

x

z

−

−

=

+

=

d)

1

,

0

,

2

2

2

=

+

=

=

+

y

z

z

y

y

x

e)

1

,

4

3

12

,

1

4

2

2

=

−

−

=

=

+

z

y

x

z

y

x

f)

y

x

z

z

y

y

x

x

y

x

2

,

0

,

2

,

2

2

2

2

2

+

=

=

=

+

=

+

g)

0

,

0

,

4

,

2

=

=

=

+

=

z

x

z

y

x

y

h)

)

0

,

,

(

0

,

0

,

0

,

,

16

,

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≥

=

=

=

+

=

=

+

+

=

+

+

z

y

x

z

y

x

y

x

z

z

y

x

z

y

x

i)

0

,

,

2

2

2

2

2

2

2

>

+

≤

=

+

+

a

y

x

z

a

z

y

x

j)

2

2

2

2

2

,

9

y

x

z

z

y

x

+

=

=

+

+

k)

x

y

x

z

y

x

4

,

16

2

2

2

2

2

=

+

=

+

+

l)

2

2

2

2

8

,

y

x

z

y

x

z

−

−

=

+

=

m)

2

2

2

2

6

,

y

x

z

y

x

z

+

−

=

+

=

Uwaga: Objętość obszaru

3

R

⊂

V

wyraża się wzorem:

∫∫∫

=

V

dV

V

,

gdzie

dxdydz

dV =

jest

elementem objętości

.

2

Zad.4. Obliczyć objętość bryły zawartej między walcem

2

2

2

a

y

x

=

+

i powierzchnią

0

,

2

2

2

2

>

−

=

−

+

a

a

z

y

x

.

Zad.5. Obliczyć objętość bryły będącej częścią wspólną kul:

0

4

2

2

2

≤

−

+

+

az

z

y

x

oraz

0

3

2

2

2

2

2

≤

−

−

+

+

a

az

z

y

x

.

Zad.6. Powierzchnia

4

2

2

=

+

+

z

y

x

dzieli bryłę ograniczoną powierzchnią kulistą

z

z

y

x

4

2

2

2

=

+

+

na

dwie części. Obliczyć stosunek objętości obu tych części.

Zad.7. Obliczyć

dxdydz

z

y

x

∫∫∫

Ω

+

+

2

2

2

, gdzie Ω obszar ograniczony powierzchnią kulistą o

równaniu:

z

z

y

x

=

+

+

2

2

2

.

Zad.8. Obliczyć

dxdydz

z

y

x

z

∫∫∫

Ω

+

+

2

2

2

2

, gdzie Ω obszar ograniczony powierzchniami:

0

=

z

,

2

2

4

y

x

z

−

−

=

.

Zad.9. Obliczyć

∫∫∫

Ω

+

+

2

2

2

z

y

x

dxdydz

, gdzie Ω obszar ograniczony powierzchniami:

4

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

16

2

2

2

=

+

+

z

y

x

.

Zad.10. Obliczyć

∫∫∫

Ω

+

+

2

2

2

z

y

x

dxdydz

, gdzie

Ω

obszar ograniczony powierzchniami:

2

1

=

z

,

2

2

1

y

x

z

−

−

=

.