1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Elektrotechnika
Studia Niestacjonarne

Semestr IV

Lista Zadań Nr 19

CAŁKA PODWÓJNA

Zad.1 Wyznaczyć granice całkowania w całce

∫∫

D

dxdy

y

x

f

)

,

(

, jeśli:

a)

D jest trójkątem o wierzchołkach:

)

4

,

2

(

),

1

,

1

(

,

)

3

,

1

(

−

−

−

C

B

A

b)

D jest ograniczony krzywymi:

7

,

6

=

+

=

y

x

xy

c)

D jest ograniczony krzywymi:

(

)

0

,

,

0

,

4

,

2

2

2

2

≥

=

=

+

−

=

y

x

x

y

x

x

x

y

d)

D jest ograniczony krzywą:

0

60

6

4

2

2

=

−

+

−

+

y

x

y

x

e)

D jest ograniczony parabolą

x

y

2

2

=

i prostą

0

4 =

−

−

y

x

f)

D jest ograniczony krzywymi:

π

=

=

=

+

=

2

,

0

,

0

,

sin

2

y

y

x

y

x

g)

D jest ograniczony krzywymi:

1

,

,

=

=

=

−

x

e

y

e

y

x

x

h)

D jest ograniczony liniami:

2

2

,

2

x

x

y

x

y

−

=

−

=

i)

D jest ograniczony liniami:

2

2

1

,

1

x

y

x

y

−

−

=

−

=

Zad.2 W podanych całkach iterowanych zmienić granice całkowania:

a)

dy

dx

y

x

f

y

y

∫ ∫

−

−

−

























2

6

2

1

4

2

)

,

(

b)

∫

∫

π

2

sin

0

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

c)

∫

∫

−

−

2

2

2

1

1

2

2

)

,

(

y

y

dx

y

x

f

dy

d)

∫

∫

−

x

dy

y

x

f

dx

0

1

1

)

,

(

e)

dx

dy

y

x

f

a

x

ax

x

∫

∫

















−

0

2

2

)

,

(

f)

∫

∫

−

x

x

x

dy

y

x

f

dx

2

4

4

0

2

)

,

(

g)

∫

∫

−

−

−

0

1

1

1

2

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

h)

dx

dy

y

x

f

x

x

∫ ∫

















−

2

0

2

2

2

)

,

(

i)

∫

∫

x

x

dy

y

x

f

dx

2

2

0

)

,

(

Zad.3 Obliczyć następujące całki:

a)

∫∫

D

dxdy

y

x

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

2

,

1

,

4

,

2

x

y

y

x

x

=

=

=

=

b)

∫∫

D

dxdy

y

x

2

2

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

2

,

0

,

4

,

3

=

=

=

=

y

y

x

x

oraz hiperbolą

x

y

1

=

c)

∫∫

D

dxdy

x

2

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

y

x

y

y

x

sin

2

,

2

,

0

,

0

+

=

π

=

=

=

d)

∫∫

+

D

y

x

dxdy

e

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

1

,

0

,

1

,

0

=

=

=

=

y

y

x

x

2

e)

∫∫

D

dxdy

x

2

, gdzie D – obszar spełniający nierówność:

1

≤

+

y

x

f)

(

)

∫∫

+

D

y

x

dxdy

2

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

2

,

1

,

4

,

3

=

=

=

=

y

y

x

x

g)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

x

2

2

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

x

y

x

y

=

=

,

2

2

h)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

)

sin(

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

2

,

,

0

π

=

+

=

=

y

x

x

y

y

i)

∫∫

−

D

dxdy

x

y

x

)

(

2

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

2

2

,

x

y

y

x

=

=

Zad.4 Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:

a)

∫∫

D

dxdy

y

x

2

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

2

2

,

0

x

ax

y

y

−

=

=

b)

∫∫

D

dxdy

y

x

arctg

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

0

,

0

=

=

y

x

i okręgiem o równaniu

1

2

2

=

+

y

x

, przy czym

0

,

0

≥

≥

y

x

c)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

2

2

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

x

y

x

y

3

,

=

=

i okręgiem o równaniu

1

2

2

=

+

y

x

d)

∫∫

D

dxdy

xy

, gdzie D – jest ćwiartką koła

(

)

0

,

0

,

1

2

2

≥

≥

≤

+

y

x

y

x

e)

∫∫

D

dxdy

y

x

2

na obszarze













≤

+

≥

≥

=

1

,

0

,

0

:

)

,

(

2

2

2

2

b

y

a

x

y

x

y

x

D

f)

(

)

∫∫

+

+

D

dxdy

y

x

2

2

1

ln

, gdzie

{

}

x

y

y

x

y

x

y

x

D

≥

≥

+

≤

+

=

,

1

,

4

:

)

,

(

2

2

2

2

g)

∫∫

−

−

D

dxdy

y

x

2

2

4

, gdzie D :

x

y

x

2

2

2

≤

+

h)

(

)

∫∫

+

+

D

dxdy

y

x

y

x

2

2

2

2

ln

, gdzie

{

}

2

2

2

1

:

)

,

(

e

y

x

y

x

D

≤

+

≤

=

i)

(

)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

2

2

, gdzie

{

}

0

,

:

)

,

(

2

2

≥

≤

+

≤

=

y

x

y

x

y

y

x

D

j)

(

)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

2

2

, gdzie obszar D jest ograniczony okręgiem o równaniu

ay

y

x

2

2

2

=

+

k)

∫∫

+

D

dxdy

y

x

2

2

cos

, gdzie D – obszar ograniczony okręgami:

2

2

2

4

1

π

=

+

y

x

oraz

2

2

2

π

=

+

y

x

3

l)

∫∫

−

−

D

y

x

dxdy

e

2

2

, gdzie D obszar ograniczony okręgiem

2

2

2

a

y

x

=

+

Zad.5 Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:

a)

x

y

x

x

y

=

−

=

,

2

b)

0

,

3

,

4

2

=

=

+

=

y

y

x

x

y

c)

0

4

,

2

2

2

2

2

=

−

+

=

+

y

y

x

y

y

x

d)

5

3

,

0

3

,

8

,

4

=

−

=

−

=

+

=

+

y

x

y

x

y

x

y

x

e)

4

,

2

,

2

2

=

=

=

−

y

y

y

x

x

f)

5

,

4

=

+

=

y

x

xy

g)

x

y

y

x

9

5

,

25

3

2

2

=

=

h)

0

2

,

,

0

2

2

=

−

+

=

=

x

y

x

x

y

y

i)

1

,

,

2

=

=

=

x

e

y

e

y

x

x

j)

0

2

,

,

1

2

2

=

+

+

−

=

−

=

y

y

x

x

y

y

k)

1

,

2

3

+

+

−

=

=

x

x

y

x

y

l)

x

y

x

x

y

e

y

x

−

=

=

=

=

1

,

2

,

ln

,

m)

0

,

2

,

=

=

+

=

y

y

x

x

y

n)

2

,

1

,

=

=

=

y

x

y

x

y

UWAGA: Pole

D

obszaru regularnego D leżącego w płaszczyźnie XOY wyraża się wzorem:

∫∫

=

D

dxdy

D

Zad.6 Prosta

25

=

y

dzieli obszar ograniczony krzywymi:

x

y

x

y

12

,

3

2

=

=

na dwie części. Obliczyć

stosunek pól obu części.