1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Semestr III

Studia Niestacjonarne

Elektotechnika

Lista Nr 21

CAŁKI KRZYWOLINIOWE

Zad.1. Obliczyć

∫

K

dl

y

x

f

)

,

(

jeśli:

a)

y

x

y

x

f

=

)

,

(

K

– łuk paraboli

2

2

y

x =

leżący między punktami

(

)

2

,

1

,

(

)

2

,

2

b)

xy

y

x

f

=

)

,

(

K

:

1

,

0

sinh

)

(

,

cosh

)

(

∈

=

=

t

t

t

y

t

t

x

c)

y

x

y

x

f

−

=

1

)

,

(

{

}

4

0

4

2

:

)

,

(

≤

≤

=

−

=

x

y

x

y

x

K

d)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

π

≤

≤

−

=

+

=

2

0

cos

sin

)

(

,

sin

cos

)

(

:

t

t

t

t

t

y

t

t

t

t

x

K

e)

xy

y

x

f

=

)

,

(

K

– łuk elipsy

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

leżący w I – szej ćwiartce układu współrzędnych

f)

y

y

x

f

=

)

,

(

K

– łuk paraboli

px

y

2

2

=

leżący między punktami

(

)

0

,

0

,

(

)

0

0

, y

x

g)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

K

– prostoliniowy odcinek łączący punkty

(

) (

)

b

a

b

b

a

a

<

,

,

,

h)

x

e

y

y

x

f

−

⋅

=

)

,

(

K

– łuk krzywej

(

)

3

arctg

2

,

1

ln

2

+

−

=

+

=

t

t

y

t

x

pomiędzy punktami

0

=

t

i

1

=

t

i)

2

)

,

(

y

y

x

f

=

(

)

(

)

0

,

2

0

cos

1

)

(

,

sin

)

(

:

>

π

≤

≤

−

=

−

=

a

t

t

a

t

y

t

t

a

t

x

K

j)

4

1

)

,

(

2

2

+

+

=

y

x

y

x

f

{

}

1

0

2

:

)

,

(

≤

≤

=

=

x

x

y

y

x

K

k)

xy

y

x

f

=

)

,

(

K

jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach:

)

2

,

0

(

,

)

2

,

4

(

,

)

0

,

4

(

,

)

0

,

0

(

l)

xy

y

x

f

=

)

,

(

K

jest brzegiem kwadratu:

0

>

=

+

a

a

y

x

ł)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

K

jest okręgiem o równaniu:

ϕ

= sin

a

r

m)

y

x

y

x

f

3

4

)

,

(

3

−

=

K

jest łukiem asteroidy:

π

≤

≤

π

=

=

t

t

y

t

x

2

sin

,

cos

3

3

n)

(

)

2

2

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

y

x

f

+

+

=

K jest łukiem spirali hiperbolicznej:

ϕ

=

1

r

,

2

2

,

3

∈

ϕ

Zad.2.* Wyprowadzić wzór na obliczenie

∫

K

dl

y

x

f

)

,

(

w przypadku, gdy krzywa K dana jest we

współrzędnych biegunowych :

2

1

),

(

ϕ

≤

ϕ

≤

ϕ

ϕ

= r

r

.

Zad.3. Obliczyć następujące całki krzywoliniowe nieskierowane w przestrzeni:

a)

∫

K

dl

xyz

K

łuk krzywej

1

,

0

2

1

,

8

3

1

,

2

3

∈

=

=

=

t

t

z

t

y

t

x

b)

(

)

ds

y

x

z

L

∫

+

−

2

2

2

{

}

π

≤

≤

=

=

=

=

2

0

,

sin

,

cos

:

)

,

,

(

t

t

z

t

t

y

t

t

x

z

y

x

L

c)

(

)

dl

z

y

x

K

∫

+

+

2

2

2

K

– krzywa zamknięta

4

3

2

1

P

P

P

P

przy czym:

2

1

P

P

– łuk okręgu

0

,

2

2

2

=

=

+

z

a

y

x

3

2

P

P

– odcinek prostej

0

,

=

=

+

x

a

z

y

4

3

P

P

– łuk okręgu

0

,

2

2

2

=

=

+

y

a

z

x

2

d)

(

)

dl

cz

by

ax

K

∫

+

+

2

2

2

K

– odcinek łączący punkty

)

,

,

(

,

)

0

,

0

,

0

(

c

b

a

A

O

e)

ds

a

y

∫

Γ

2













≤

≤

=

=

=

=

Γ

1

0

3

,

2

,

:

)

,

,

(

3

2

t

t

a

z

t

a

y

at

x

z

y

x

f)

(

)

dl

x

y

K

∫

−

K – krzywa zamknięta

4

3

2

1

P

P

P

P

przy czym:

2

1

P

P

– odcinek łączący punkty

(

)

)

0

,

0

,

2

(

,

0

,

0

,

0

3

2

P

P

– łuk okręgu

0

,

2

2

2

=

=

+

z

y

x

4

3

P

P

– łuk paraboli

(

)

1

,

1

2

=

−

=

y

x

z

1

4

P

P

– odcinek łączący punkty

(

)

)

0

,

0

,

0

(

,

0

,

1

,

1

Zad.4. Obliczyć długość łuku krzywej K jeśli:

a)

K :

1

0

2

,

3

,

3

3

2

≤

≤

=

=

=

t

t

z

t

y

t

x

b)

K :

0

2

0

),

cos

1

(

),

sin

(

>

π

≤

≤

−

=

−

=

a

t

t

a

y

t

t

a

x

c)

K :

∞

<

≤

=

=

=

−

−

−

t

e

z

t

e

y

t

e

x

t

t

t

0

,

sin

,

cos

Zad.5. Wyznaczyć pole powierzchni :

a)

bocznej walca

2

2

2

R

y

x

=

+

ograniczonej płaszczyzną OXY oraz powierzchnią

R

y

R

z

2

+

=

b)

bocznej walca

1

2

2

=

+ y

x

ograniczonej płaszczyznami:

y

z

x

z

+

=

−

=

5

,

c)

walcowej o równaniach:

4

0

sin

,

cos

π

≤

≤

=

=

t

t

e

y

t

e

x

t

t

zawartej między płaszczyzną OXY oraz

powierzchnią

1

2

2

+

+

=

y

x

z

Zad.6. Obliczyć następujące całki krzywoliniowe skierowane:

a)

(

)

∫

+

−

K

xdy

dx

xy

y

2

, gdzie K jest łukiem określonym równaniem:

1

0

,

≤

≤

=

x

x

y

b)

(

)

(

)

∫

−

+

−

K

dy

xy

y

dx

xy

x

2

2

2

2

wzdłuż krzywej K, którą jest łuk paraboli

2

x

y =

od punktu

)

9

,

3

(−

A

do

punktu

)

4

,

2

(

B

c)

∫

−

K

dy

x

xydx

2

2

, gdzie K łamana od punktu

)

0

,

0

(

O

przez punkt

)

0

,

2

(

A

do punktu

)

1

,

2

(

B

d)

(

)

∫

+

−

K

xdy

dx

y

4

, gdzie

(

)

(

)

{

}

π

≤

≤

−

=

−

=

=

2

0

,

cos

1

2

,

sin

2

:

)

,

(

t

t

y

t

t

x

y

x

K

jest łukiem cykloidy

e)

∫

−

+

K

dy

y

dx

y

x

1

1

, gdzie













π

≤

≤

π

−

=

−

=

=

3

6

,

cos

1

,

sin

:

)

,

(

t

t

y

t

t

x

y

x

K

f)

∫

+

K

xdy

dx

xy

3

, gdzie K jest łukiem paraboli

2

3x

y =

od punktu

)

0

,

0

(

A

do punktu

)

3

,

1

(

B

g)

∫

−

K

dy

x

xydx

2

2

, gdzie K – łuk paraboli

2

2 y

x =

od punktu

)

0

,

0

(

O

do punktu

)

1

,

2

(

A

h)

(

)

(

)

∫

+

+

−

K

dy

y

x

dx

y

x

, gdzie

{

}

π

≤

≤

=

=

=

t

t

y

t

x

y

x

K

0

,

sin

2

,

cos

4

:

)

,

(

jest łukiem elipsy

i)

∫

+

K

xdy

ydx

, gdzie













π

≤

≤

=

=

=

4

0

,

sin

,

cos

:

)

,

(

t

t

r

y

t

r

x

y

x

K

3

j)

∫

+

+

K

ydz

xdy

zdx

3

2

, gdzie K łamana o początku w punkcie

)

0

,

0

,

0

(

O

końcu w punkcie

)

1

,

1

,

1

(

B

i wierzchołku

)

0

,

1

,

1

(

A

k)

(

)

(

)

∫

+

−

+

+

K

zdz

dy

y

x

dx

y

x

2

2

, gdzie K łamana o początku w punkcie

)

0

,

0

,

0

(

O

końcu w punkcie

)

2

,

2

,

2

(

C

i wierzchołkach

)

0

,

0

,

2

(

A

,

)

0

,

2

,

2

(

B

l)

(

)

∫

−

+

−

K

dz

x

yzdy

dx

z

y

2

2

2

2

, gdzie

1

,

0

,

,

,

:

3

2

∈

=

=

=

t

t

z

t

y

t

x

K

m)

∫

+

+

K

xdz

zdy

ydx

, gdzie

{

}

π

≤

≤

=

=

=

=

2

0

,

,

sin

,

cos

:

)

,

,

(

t

bt

z

t

a

y

t

a

x

z

y

x

K

n)

∫

+

−

+

K

xydz

dy

y

R

z

yzdx

2

2

, gdzie

π

≤

≤

π

=

=

=

2

0

,

2

,

sin

,

cos

:

t

at

z

t

R

y

t

R

x

K

o)

∫

−

K

dy

x

ydx

2

, gdzie krzywa zamknięta

1

3

2

1

P

P

P

P

K =

, przy czym:

2

1

P

P

jest łukiem asteroidy

t

a

x

3

cos

=

,

t

a

y

3

sin

=

;

3

2

P

P

odcinkiem prostej

a

x

y

=

−

;

1

3

P

P

półokręgiem o środku w początku

układu współrzędnych i promieniu a

Zad.7. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

∫

−

K

dy

x

dx

y

2

2

po łuku zamkniętym K, który jest okręgiem

(

)

(

)

1

1

1

2

2

=

−

+

−

y

x

skierowanym dodatnio.

Zad.8. Obliczyć

(

)

(

)

∫

+

−

−

K

dy

y

x

dx

x

y

2

2

, gdzie K jest brzegiem obszaru D:

2

2

2

R

y

x

≤

+

,

0

≥

x

0

≥

y

,

0

>

R

skierowanym dodatnio.

Zad.9. Obliczyć

∫

+

K

xdy

xydx

po elipsie K o równaniu

2

2

2

2

2

2

b

a

y

a

x

b

=

+

skierowanej ujemnie względem

swego wnętrza.

Zad.10. Stosując tw. Greena obliczyć całki krzywoliniowe:

a)

(

)

(

)

∫

+

−

+

K

dy

y

x

dx

y

x

2

2

2

2

, K – brzeg trójkąta o wierzchołkach

)

3

,

1

(

),

2

,

2

(

),

1

,

1

(

C

B

A

skierowany dodatnio

b)

∫

−

K

ydy

x

dx

xy

2

2

, K – okrąg o równaniu

2

2

2

R

y

x

=

+

skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek

zegara

c)

(

)

(

)

[

]

∫

−

−

−

K

x

dy

y

dx

y

e

sin

1

cos

1

, gdzie K jest brzegiem obszaru D określonego nierównościami:

x

y

x

sin

0

,

0

≤

≤

π

≤

≤

skierowanym dodatnio

d)

(

)

∫

+

+

K

dy

y

x

ydx

, K – krzywa zamknięta złożona z łuku paraboli

2

x

y =

i odcinka prostej

4

=

y

skierowana dodatnio

e)

∫

+

K

dy

x

dx

y

2

2

, K – okrąg o równaniu

x

y

x

2

2

2

=

+

skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara

f)

(

)

[

]

∫

+

+

+

+

+

K

dy

y

x

x

xy

y

dx

y

x

2

2

2

2

ln

, gdzie K jest brzegiem obszaru D określonego następująco:

e

x

x

y

,

1

,

ln

∈

≤

skierowanym dodatnio

4

g)

(

)

(

)

∫

−

−

+

K

dy

y

x

dx

y

x

, K – krzywa zamknięta podana na poniższym rysunku

Zad.11. Sprawdzić, czy podane niżej wyrażenia są różniczkami zupełnymi funkcji

)

,

(

y

x

F

, jeśli tak, znaleźć

funkcję pierwotną

)

,

(

y

x

F

a)

dy

y

x

dx

x

y

2

2

2

+

−

b)

(

)

dy

xe

dx

e

y

y

−

−

−

+ 1

c)

(

)

dy

y

x

y

ydx

x

2

sin

2

cos

2

2

2

−

+

d)

(

)

dy

y

y

x

dx

y

x













−

+

+

−

2

ln

2

e)

dy

y

x

y

dx

x

y

x















−

+













+

2

2

sin

2

sin

f)

dy

x

y

dx

x

y

2

4

2

2

+















−

Zad.12. Obliczyć wartości podanych niżej całek:

a)

(

)(

)

(

)

( )

∫

−

−

−

1

,

1

1

,

1

dy

dx

y

x

b)

(

)

(

)

(

)

∫

−

b

a

x

ydy

ydx

e

,

0

,

0

sin

cos

c)

(

)

[

]

(

)

( )

∫

−

−

1

,

1

0

,

0

2

2

3

4

ydy

x

dx

x

y

x

d)

(

)

(

)

dy

x

y

x

y

x

y

dx

x

y

x

y

∫

π

π













+

+















−

,

2

,

1

2

2

cos

sin

cos

1

wzdłuż drogi nie przecinającej osi OY

e)

(

)

(

)

(

)

∫

−

−

−

0

,

1

1

,

0

2

y

x

ydx

xdy

wzdłuż drogi nie przecinającej prostej

x

y =

f)

(

)

(

)

∫

−

2

,

1

1

,

2

2

x

xdy

ydx

wzdłuż drogi nie przecinającej osi OY

g)

(

)

(

)

∫

+

+

8

,

6

0

,

1

2

2

y

x

ydy

xdx

wzdłuż drogi nie przecinającej przez początek układu współrzędnych

(

)

(

)

(

)

(

)

dy

y

y

x

dx

xy

x

∫

−

−

−

+

+

0

,

3

1

,

2

4

2

2

3

4

5

6

4

)

0

,

1

(

A

)

3

,

2

(−

B

-1

1

x

y