lista zada« nr 6
szeregi liczbowe
Rozgrzewka
1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów: X
n
X
1
X
(−1)n
,
,
.
n2 + 1
2n − 1
2n + (−1)n
n
n
n
2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów: X n2
X 2n
,
.
2n
n!
n
n
3. Udowodnij, »e je±li szereg P a an te» jest zbie»ny.
n
n jest zbie»ny, to szereg Pn 2n
wiczenia
1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów: X
n2
X
(−1)n
X 3n + 2n
X (−3)n + 2n
,
,
,
.
n4 + 1
n + 1 + (−1)n
n 3n + 1
n 3n + 1
n
n
n
n
Uwaga: ostatni przykªad jest trudny!
2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów: X nK
X Ln
X 2n + 3n
X (n!)2
X
nn
,
,
,
,
.
Ln
n!
4n + 5n
(2n)!
(2n)!
n
n
n
n
n
3. (a) Udowodnij, »e je±li szereg P a a2 oraz
n
n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to zbie»ne s¡ szeregi Pn n P
an .
n n
(b) Podaj przykªad szeregu zbie»nego P a a2 oraz P an s¡ roz-n
n, dla którego szeregi Pn n n n
bie»ne.
4. Przestawianie wyrazów (a) Niech an = (−1)n gdy 2k ≤ n < 2k+1 (k ≥ 1). Udowodnij, »e P∞ a 2k
n=2
n = 0.
(b) Niech bn = 1 gdy 2k ≤ n < 2k + 2k−1 oraz b gdy 2k + 2k−1 ≤ n < 2k+1 (k ≥ 1).
2k
n = −1
2k
Udowodnij, »e P∞ b
n=2 n jest rozbie»ny.
Odpoczynek
3. (a) Udowodnij, »e je±li P a2 i P b2 s¡ zbie»ne, to zbie»ny jest szereg P a n
n
n n
n
nbn.
(b) Wywnioskuj, »e je±li P a2 jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P an .
n
n
n n
(c) Udowodnij, »e je±li dla ka»dego ci¡gu (bn) takiego, »e P b2 jest zbie»ny, szereg P a n n
n
nbn
jest zbie»ny, to szereg P a2 jest zbie»ny.
n
n
4. Przestawianie wyrazów Zaªó»my, »e szereg P a n
n jest zbie»ny, ale nie bezwzgl¦dnie zbie»ny.
Udowodnij, »e dla dowolnej liczby rzeczywistej g mo»na tak poprzestawia¢ wyrazy tego szeregu, by otrzyma¢ sum¦ g.
5. Zaªó»my, »e ci¡g (an) liczb dodatnich jest zbie»ny do zera. Niech M = P∞ a n=1
n (by¢ mo»e
M = ∞). Udowodnij, »e dla ka»dej liczby g ∈ (−M, M ) istnieje ci¡g (εn) taki, »e εn ∈ {−1, 1}
oraz P∞ ε
n=1
nan = g.
6. Sumowanie w sensie Abela (a) Szereg P
(−1)n jest rozbie»ny, ale jest sumowalny w sensie Abela. Wyznacz warto±¢ tej n≥0
sumy.
(b) Podobnie wyznacz sum¦ P
(−1)nn.
n≥0
(c) Udowodnij, »e je±li ci¡g sum cz¦±ciowych (An) szeregu P
a
n≥0
n jest zbie»ny w sensie Cesàro: A0 + A1 + A2 + ... + An lim
= g
n→∞
n + 1
dla pewnego g, to szereg P
a
n≥0
n jest sumowalny w sensie Abela i sum¡ jest g.
Mateusz Kwa±nicki