Analiza matematyczna 1

lista zada« nr 6

szeregi liczbowe

Rozgrzewka

1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n

n

2

+ 1

,

X

n

1

2

n

− 1

,

X

n

(−1)

n

2n + (−1)

n

.

2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n

2

2

n

,

X

n

2

n

n!

.

3. Udowodnij, »e je±li szereg P

n

a

n

jest zbie»ny, to szereg P

n

a

n

2

n

te» jest zbie»ny.

‚wiczenia

1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n

2

n

4

+ 1

,

X

n

(−1)

n

n + 1 + (−1)

n

,

X

n

3

n

+ 2

n

n 3

n

+ 1

,

X

n

(−3)

n

+ 2

n

n 3

n

+ 1

.

Uwaga: ostatni przykªad jest trudny!

2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n

K

L

n

,

X

n

L

n

n!

,

X

n

2

n

+ 3

n

4

n

+ 5

n

,

X

n

(n!)

2

(2n)!

,

X

n

n

n

(2n)!

.

3. (a) Udowodnij, »e je±li szereg P

n

a

n

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to zbie»ne s¡ szeregi P

n

a

2

n

oraz

P

n

a

n

n

.

(b) Podaj przykªad szeregu zbie»nego P

n

a

n

, dla którego szeregi P

n

a

2

n

oraz P

n

a

n

n

s¡ roz-

bie»ne.

4. Przestawianie wyrazów

(a) Niech a

n

=

(−1)

n

2

k

gdy 2

k

≤ n < 2

k+1

(k ≥ 1). Udowodnij, »e P

∞
n=2

a

n

= 0

.

(b) Niech b

n

=

1

2

k

gdy 2

k

≤ n < 2

k

+ 2

k−1

oraz b

n

=

−1

2

k

gdy 2

k

+ 2

k−1

≤ n < 2

k+1

(k ≥ 1).

Udowodnij, »e P

∞
n=2

b

n

jest rozbie»ny.

Odpoczynek

3. (a) Udowodnij, »e je±li P

n

a

2

n

i P

n

b

2

n

s¡ zbie»ne, to zbie»ny jest szereg P

n

a

n

b

n

.

(b) Wywnioskuj, »e je±li P

n

a

2

n

jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P

n

a

n

n

.

(c) Udowodnij, »e je±li dla ka»dego ci¡gu (b

n

)

takiego, »e P

n

b

2

n

jest zbie»ny, szereg P

n

a

n

b

n

jest zbie»ny, to szereg P

n

a

2

n

jest zbie»ny.

4. Przestawianie wyrazów Zaªó»my, »e szereg P

n

a

n

jest zbie»ny, ale nie bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Udowodnij, »e dla dowolnej liczby rzeczywistej g mo»na tak poprzestawia¢ wyrazy tego szeregu,

by otrzyma¢ sum¦ g.

5. Zaªó»my, »e ci¡g (a

n

)

liczb dodatnich jest zbie»ny do zera. Niech M = P

∞
n=1

a

n

(by¢ mo»e

M = ∞

). Udowodnij, »e dla ka»dej liczby g ∈ (−M, M) istnieje ci¡g (ε

n

)

taki, »e ε

n

∈ {−1, 1}

oraz P

∞
n=1

ε

n

a

n

= g

.

6. Sumowanie w sensie Abela

(a) Szereg P

n≥0

(−1)

n

jest rozbie»ny, ale jest sumowalny w sensie Abela. Wyznacz warto±¢ tej

sumy.

(b) Podobnie wyznacz sum¦ P

n≥0

(−1)

n

n

.

(c) Udowodnij, »e je±li ci¡g sum cz¦±ciowych (A

n

)

szeregu P

n≥0

a

n

jest zbie»ny w sensie Cesàro:

lim

n→∞

A

0

+ A

1

+ A

2

+ ... + A

n

n + 1

= g

dla pewnego g, to szereg P

n≥0

a

n

jest sumowalny w sensie Abela i sum¡ jest g.

Mateusz Kwa±nicki