Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli Σa_n liczb. jest zbież i jeżeli
spełniona jest nierówność f_n(x)≤a_n to Σ funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Σa_n nazywamy majorantą Σ funkcyjnego.

Dowód:

Σa_n jako zbieżny musi spełniać warunek:

- war. konieczny i dostateczny zb Σ funkcyjnego.

Def: Szereg Σa_n , nazywamy bezwzględnie zbieżnym

jeżeli jest zbieżny Σ złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli Σa_n jest zb. bezwzględnie, to jest zbieżny. (Σa_n )=Σ (a_n). Jeżeli Σ jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.

Def. Iloczyn Caychy'ego szeregów:

Szereg Σa_n, gdzie a_n = Σ a_k b_n-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów Σa_n i Σb_n tzn:

(Σa_n ) (Σb_n ) = Σa_n ; (Σa_n ) (Σb_n ) = Σa_n a_k =Σa_k b_n - _k

Twierdzenie: Jeżeli szeregi Σa_n i Σb_n s --> [Author:AS] ą zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

Def. Ciąg funkcyjny:

Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. f_n(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {f_n (x) } który po napisaniu daje: (f₁ (x) i f₂ (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {f_n(x)}jest określony w A, to dla każdego x₀∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {f_n(x₀)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.

Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:

Ciąg funkcyjny {f_n(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy lim_n→∞f_n(x)-f(x) lub f_n(x) _n^e_→∞→ f(x) ⇔ ^Λ_ε>0 ^Λ_x∈Α ^V_s ^Λ_n>s. f_n(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λf_n(x) ^A⇒f(x) ⇔ ^Λ_ε>0 ^V_δ ^Λ_x∈A f_n(x)- f(x)<ε

Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A

Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A

Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła

[f_n(x) ^A⇒ f(x)] ⇒ [f_n(x) ^e→ f(x)]

Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą

Warunek Cauche'go:

Na to aby ciąg f_n(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λ_ε>0 V_r że Λ_n>r zachodzi [f_n(x) - f_r(x)]<ε

Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli Σf_n(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to ₀∫^b[Σf_n(x)]dx=Σ₀∫^bf_n(x)dx.

Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f^'_n(x) w przedziale <a,b>, Σ funkcyjny Σf_n(x) jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.Σf'_n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:

Def. Promień szeregu potęgowego:

Promieniem R zbieżności Σ potęgowego Σa_nxⁿ nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla Σ ten jest Σ zbieżnym.

Tw. Promień szeregu potęgowego:

Jeżeli istnieje granica:

to promień zbieżności szeregu Σa_nxⁿ wynosi:

Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Σ pot. Σ a_nxⁿ tzn. x∈(-R,R) to całka:

przy czym pr. zb. tego szer. jest taki jak szer. wyjściowego.

Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:

Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Σ pot. Σ a_nxⁿ to pochodna:
- promień zb. tego Σ jest taki sam jak Σ wyjściowego.

Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu Σ funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:

Szereg Taylora:

Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x₀ wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C^∞. Funkcję taką dla każdego x∈Q-{x₀} i każdego n∈N możemy rozwinąć w Σ Taylora:

Tw. o reszcie Taylora:

Jeżeli istnieje liczba M.>0, że

Spełniona jest nierówność:

czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w Σ Taylora.

Dowód:

szacujemy moduł z reszty.

badamy zbieżność Σ z d'Alamberta:

---