jurlewicz,matematyka ,szeregi f Nieznany

background image

Twierdzenie:

Załóżmy, że f (t) określona na

R

, ograniczona, okresowa o okresie 2T spełnia warunki

Dirichleta tzn.

(1) przedział [−T, T ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f (t)

jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich;

(2) dla każdego t mamy

f (t) =

f (t−) + f (t+)

2

,

gdzie granice f () = lim

x→t±

f (x) są właściwe.

Wtedy dla każdego t mamy

f (t) =

a

0

2

+

X

n=1



a

n

cos



nπt

T



+ b

n

sin



nπt

T



gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f .

Uwaga.

• Warunek (2) jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f . W punktach nie-

ciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego
rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetycz-
ną granic jednostronnych.

• Teza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f , np.

zamiast (1) założyc można, że f jest kawałkami klasy C

1

(ciągła lub nieciągła).

2

background image

Zespolony szereg Fouriera:

Inna postać szeregu Fouriera to

f (t) =

X

n=−∞

c

n

e

in

πt

T

,

gdzie

c

n

=

1

2T

T

Z

−T

f (t)e

−in

πt

T

dt.

(Symbol e

ix

oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.)

Zauważmy, że c

0

=

a

0

2

, c

n

=

a

n

− ib

n

2

oraz c

−n

=

a

n

+ ib

n

2

dla n ­ 1.

Interpretacja:

t - czas
f (t) - sygnał okresowy
(c

n

) - widmo sygnału f

cos



nπt

T



, sin



nπt

T



to funkcje okresowe o okresie

2T

n

. Mają ν =

n

2T

okresów

w odcinku [0, 1], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę).

3

background image

Przykład 1:

Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie 2T :

f (t) =

1 dla 0 < t < T

1 dla −T < t < 0

0 dla t = −T, 0, T.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.

Zatem a

n

= 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..

Obliczamy b

n

:

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) sin



nπt

T



dt =

2

T

T

Z

0

sin



nπt

T



dt =

2

T



T



cos



nπt

T







T

0

=

=

2(1 cos())

=

2(1 (1)

n

)

=

(

4

dla n = 2k − 1

0 dla n = 2k

, k = 1, 2, . . .

• Zatem sygnał prostokątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

2

π

X

n=1

1 (1)

n

n

sin



nπt

T



=

4

π

X

k=1

1

2k − 1

sin

(2k − 1)πt

T

!

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal o przebiegu prostokatnym

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 2, 3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100

4

background image

Przykład 2:

Sygnał trójkątny, okresowy o okresie 2T :

f (t) =

(

t dla 0 < t ¬ T

−t dla −T ¬ t < 0.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja parzysta.

Zatem b

n

= 0 dla każdego n = 1, 2, . . ..

Obliczamy a

n

:

a

0

=

1

T

T

Z

−T

f (t)dt =

2

T

T

Z

0

tdt = T

a

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) cos



nπt

T



dt =

2

T

T

Z

0

t cos



nπt

T



dt =

2

T



T



t sin



nπt

T







T

0

T

Z

0

sin



nπt

T



dt

=

=

2



T



cos



nπt

T







T

0

=

2T ((1)

n

1)

n

2

π

2

=

(

4T

n

2

π

2

dla

n = 2k − 1

0

dla

n = 2k

, k = 1, 2, . . .

• Zatem sygnał trójkątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

T

2

+

2T

π

2

X

n=1

1 (1)

n

n

2

cos



nπt

T



=

T

2

4T

π

2

X

k=1

1

(2k − 1)

2

cos

(2k − 1)πt

T

!

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal trojkatny

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

5

background image

Przykład 3:

Sygnał o przebiegu piłowym, okresowy o okresie 2T :

f (t) =

(

t dla −T < t < T

0 dla t = −T, T.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.

Zatem a

n

= 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..

Obliczamy b

n

:

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) sin



nπt

T



dt =

2

T

T

Z

0

t sin



nπt

T



dt =

2

T



T



−t cos



nπt

T







T

0

+

T

Z

0

cos



nπt

T



dt

=

=

2

(1)

n

T +

T

sin



nπt

T







T

0

=

2T (1)

n+1

• Zatem sygnał piłowy rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

2T

π

X

n=1

(1)

n+1

n

sin



nπt

T



−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal o przebiegu pilowym

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100

6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka rozwiazania Nieznany
2013 LATO WAT Matematyka 3 Zada Nieznany (2)
,analiza matematyczna 2, elemen Nieznany (2)
arkusz probny z matematyki 7 id Nieznany (2)
Lamiglowki matematyczne (suma, Nieznany
,analiza matematyczna 2, calki Nieznany (6)
arkusz probny z matematyki 9 id Nieznany (2)
arkusz probny z matematyki 2 id Nieznany (2)
,analiza matematyczna 2, calki Nieznany (2)
arkusz probny z matematyki 5 id Nieznany (2)
,analiza matematyczna 2, calki Nieznany (5)
jurlewicz,probabilistyka, zmien Nieznany
Akcja EDUKACJA matematyka zesta Nieznany (2)
arkusz probny z matematyki 4 id Nieznany (2)
Akcja EDUKACJA matematyka zesta Nieznany (4)
,analiza matematyczna 2, rownan Nieznany (2)

więcej podobnych podstron