Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2

Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

1

Pochodne cząstkowe

1. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

f (x, y) = x · sin

y
x

, f (x, y) = x · cos

x
y

, f (x, y) = e

y

1+x2

, f (x, y) = e

x·y

1+x2

f (x, y) = x · 2

y

+ y · e

x

, f (x, y) = (x + 2y)

(3x+xy)

, f (x, y) = cos(x + 2y)

sin(3x+y)

f (x, y) = x

y

, f (x, y) = e

−x

y

, f (x, y) = ln(x +

px

2

+ y

2

)

f (x, y, z) = z · cos

x+y

z

,

f (x, y, z) = x

√

x

2

+y

4

+z

6

+1

2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

f (x, y) = 2x + 3y + 5, f (x, y) = −5y

3

+ x

2

+ y

2

+ x + 1, f (x, y) = e

3x+2y

f (x, y, z) = x

2

+ y

3

+ z

5

, f (x, y, z) = xy + yz + xz, f (x, y, z) = xy

2

+ xyz

f (x, y, z) = e

xyz

, f (x, y, z) = sin(x + 2y + 3z), f (x, y, z) = xy

2

+ xe

z

3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y, f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y

(*)

f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

− xy + x + 2z

4. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji:

f (x, y) = x

2

+ y

3

− 2x − 3y + 1

w obszarze domkniętym

D = {(x, y) ∈ R

2

: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.

2

Całki podwójne i potrójne

1. Zmienić kolejność całkowania:

a)

´

4

0

dx

´

12x

3x

2

f (x, y)dy,

b)

´

1

0

dx

´

3x

2x

f (x, y)dy,

c)

´

1

0

dy

´

1−y

−

√

1−y

2

f (x, y)dx.

2. Obliczyć całkę

˜

S

x dxdy, gdzie S jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (0, 1).

3. Opisując obszar D, ograniczony przez krzywe y = 0, y =

√

x, x + y = 2, jako normalny

względem obu osi, obliczyć dwoma sposobami całkę

¨

D

2ydxdy.

4. Obliczyć pole obszarów określonych granicami całkowania z przykładu 1c.

5. Oblicz całki:

a)

˜

D

e

−x

2

−y

2

dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

≤ a

2

,

b)

˜

D

x dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

≤ 2x.

Wskazówka: W obu przykładach zastosuj zmienne biegunowe.

6. Wyprowadzić wzór na pole powierzchni obszaru S ⊂ R

2

wewnątrz elipsy o półosiach a > 0, b > 0,

tzn. S :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1. Zinterpretuj wynik dla przypadku gdy a = b = r > 0.

Wskazówka: Zastosuj zmienne eliptyczne.

[ Odp. |S| = πab ]

7. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 2x

2

+ y

2

+ 1, x + y = 1 oraz płaszczyznami układu współrzędnych.

8. Oblicz całki potrójne:

a)

˝

V

x

3

y

2

z dxdydz,

gdzie V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy,

b)

˝

V

px

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz,

gdzie V : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ x.

Wskazówka: Zastosuj zmienne sferyczne.

9. Wyprowadzić wzór na objetość obszaru V ⊂ R

3

wewnątrz elipsoidy o półosiach a > 0, b > 0,

c > 0, tzn. V :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

≤ 1. Zinterpretuj wynik dla przypadku gdy a = b = c = r > 0.

Wskazówka: Zastosuj zmienne elipsoidowe.

[ Odp. |V | =

4
3

πabc ]

10. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach: x

2

+ y

2

+ z

2

= 2z, x

2

+ y

2

= z

2

.

Wskazówka: Zastosuj zmienne cylindryczne.

3

Całki krzywoliniowe nieskierowane i skierowane

1. Oblicz nieskierowane całki krzywoliniowe:

a)

´

L

(x + y)dl , gdzie L jest obwodem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1);

b)

´

L

x

2

ydl, gdzie L jest dłuższą częścią okręgu o równaniu x

2

+ y

2

= a

2

, zawartą pomiędzy

punktami A(a, 0) i B(0, −a), a > 0.

2. Oblicz skierowane całki krzywoliniowe:

a)

´

K

xydx + (y − x)dy, gdzie K łuk krzywej y = x

3

od (0, 0) do (1, 1);

b)

´

K

ydx + xdy, gdzie K górny łuk okręgu o środku w (0, 0) i promieniu R od (0, R) do (−R, 0);

c)

´

K

xdx + ydy + (x + y + 1)dz, gdzie K odcinek prostej od (1, 1, 1) do (2, 3, 4).

3. Dana jest zamknięta i dodatnio skierowana krzywa K = K

1

∪ K

2

, gdzie K

1

- odcinek prostej od

(0, 0) do (1, 1), a K

2

- łuk paraboli y = x

2

od (1, 1) do (0, 0). Obliczyć całkę krzywoliniową

‰

K

(x + y)

2

dx − (x − y)

2

dy,

bez zastosowania, a następnie stosując tw. Greena. Porównać oba otrzymane wyniki.

4. Sprawdzić potencjalność całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę

ˆ

(2,1)

(0,0)

2xydx + x

2

dy .

5. Sprawdzić potencjalność całkowanych pól wektorowych i obliczyć całki krzywoliniowe

a)

´

(2,1,3)

(1,−1,2)

xdx + y

2

dy + zdz,

b)

¸

K

yzdx+zxdy +xydz, gdzie K - okrąg o środku (1, 2, 3) i promieniu r = 2, zawarty w płaszczyźnie

π : x + y + z = 6, skierowany prawoskrętnie względem wektora [1, 1, 1, ].

6. Obliczyć niezorientowane całki powierzchniowe

a)

˜

S

(6x + 4y + 3z) dS, gdzie S - część płaszczyzny π : x + 2y + 3z = 6 położona w pierwszym

oktancie 3-wymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich.

Odp. 54

√

14

b)

˜

S

(8 − 2z) dS, gdzie S : z = 4 −

1
2

x

2

−

1
2

y

2

dla z ≥ 0.

Odp.

1192

15

π

7. Obliczyć strumień pola wektorowego [x, y, 0] przez powierzchnię sfery S : x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

, a > 0,

zorientowanej na zewnątrz. Wynik otrzymany w rezultacie obliczenia odpowiedniej zorientowanej
całki powierzchniowej porównać z wynikiem otrzymanym z pomocą twierdzenia Gaussa. Odp.

8
3

πa

3

8. Obliczyć pracę wykonaną przez siłę F (x, y, z) = [x + z, x − y + 2z, y − 4x] (tzw. cyrkulację pola
F (x, y, z) działającą wzdłuż obwodu trójkąta o wierzchołkach A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).
Obliczenia wykonać dwoma sposobami (porównać wyniki):
a) całkując bezpośrednio po obwodzie trójkąta, którego boki należy (dogodnie) sparametryzować
b) korzystając z tw. Stokesa.

Odp.

5
2

4

Ciągi i szeregi funkcyjne

1. Co to jest ciąg funkcyjny? Podaj kilka przykładów.

2. Co to jest szereg funkcyjny? Podaj kilka przykładów.

3. Co to jest szereg potegowy? Podaj kilka przykładów.

4. Jak wyznacza się tzw. przedział zbieżności szeregu potęgowego (wnętrze i krańce)?

5. Wyznaczyć przedziały zbieżności następujących szeregów potęgowych
(zbadać również zbieżność na krańcach przedziału):

∞

P

n=1

nx

n

,

∞

P

n=1

(x−2)

n

n

,

∞

P

n=1

x

n

1+n

2

∞

P

n=1

n

2

3

n

(x − 4)

n

,

∞

P

n=1

(−1)

n−1

n·3

n

(x − 5)

n

∞

P

n=1

(x+1)

2n

9

n

,

∞

P

n=1

n

n

n!·3

n

x

2n

,

∞

P

n=1

q

n

2

+

1

4

n

− n



x

n

.

6. Dla jakich x ∈ R szereg

∞

P

n=1

(x

2

− 3x + 1)

n

jest zbieżny ?

7. Znaleźć obszar zbieżności szeregów:

∞

P

n=1

n·3

n

(x−2)

n

,

∞

P

n=1

2n+1

(n+1)

2

x

2n

,

∞

P

n=1

√

n+1

2(x−3)

n

.

8. Wyznaczyć szereg Taylora dla wielomianu W (x) = x

3

+ x

2

+ x + 5 w punktach:

a) x

0

= 0, b) x

0

= −1, c) x

0

= 1, d) x

0

= 3. W jakich przedziałach zbieżne są te szeregi?

9. Wyznaczyć szereg Maclaurina (tzn. szereg Taylora dla x

0

= 0) dla funkcji f (x) danej wzorem:

x

1−x

,

2

3+2x

,

2

4−x

2

,

e

x

,

ln(1 + x),

sin x,

cos x.

Wyznaczyć przedziały zbieżności poszczególnych szeregów.

5

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

1. Podaj przykłady doświadczeń losowych, zdarzeń elementarnych i zdarzeń losowych. Przedstaw
słownie istotę pojęcia zdarzenia elementarnego i pojęcia zdarzenia losowego (na czym polega zasad-
nicza różnica)?
2. Podaj tzw. aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa.
3. Podaj tzw. klasyczną definicję prawdopodobieństwa (Laplace’a) oraz warunki jej stosowalności.
4. Doświadczenie losowe polega na rzucie kostką sześcienną (z kropkami na ściankach). Jakie założe-
nie przyjmujemy odnośnie tej kostki aby w tym doświadczeniu uprawniona była klasyczna definicja
prawdopodobienstwa?
5. Podaj kilka przykładów doświadczeń losowych, w których nie można stosować klasycznej definicji
prawdopodobieństwa. Określ w tych przykładach pewne zdarzenia losowe i oblicz ich prawdopodo-
bieństwa.
6. W urnie jest 7 kul czarnych i 5 kul białych. Losujemy jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo
P (A) zdarzenia A polegającego na wylosowaniu kuli białej.
7. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia losowego, nato-
miast A, B ⊂ Ω niech będą pewnymi zdarzeniami losowymi. Wyjaśnij sens pojęć: ”zdarzenie A zaszło
w wyniku przeprowadzonego dośw. losowego”, ”A jest zdarzeniem niemożliwym”, ”A jest zdarzeniem
pewnym”, ”zdarzenia A, B wykluczają się”, prawdopodobieństwo warunkowe P (A|B), ”zdarzenia A, B
są wzajemnie niezależne”.
8. Mamy dwie urny oznaczone jako I oraz II. W urnie I jest 7 kul białych i 3 czarne, w urnie II
jest 5 kul białych i 9 czarnych. Rzucamy (symetryczną, tzn. rzetelną) kostką sześcienną do gry. Jeśli
wypadnie ”1 lub 2”, to losujemy jedną kulę z urny I, w przypadku przeciwnym losujemy jedną kulę z
urny II. Zdarzenie losowe A określamy jako wylosowanie kuli białej w tak opisanym dośw. losowym.
Obliczyć prawdopodobieństwo P (A).
9. Przeprowadzono doświadczenie losowe opisane w zad.8 i otrzymano zdarzenie losowe A (tzn. wy-
losowano kulę białą). Jakie jest prawdopodobieństwo P (I|A), że wylosowana kula biała pochodzi z
urny I, a jakie jest prawdopodobieństwo P (I|A), że wylosowana kula biała pochodzi z urny II ?
10. Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach monetą. Najpierw monetą rzuca gracz I, na-
stępnie gracz II itd. na przenian. Grę wygrywa gracz, który uzyska orła i to zdarzenie kończy grę.
Oblicz prawdopodobieństwo
a) zdarzenia losowego A, że wygrana przypadnie graczowi I
b) zdarzenia losowego B, że wygrana przypadnie graczowi II.
11. Gra dla dwóch graczy opisana jest analogicznie, jak w zad.10, z tym że zamiast monety gracze
rzucają symetryczną kostką (sześcienną) do gry. Grę wygrywa gracz, który uzyska ”6” i to zdarzenie
kończy grę.
Oblicz prawdopodobieństwo
a) zdarzenia losowego A, że wygrana przypadnie graczowi I
b) zdarzenia losowego B, że wygrana przypadnie graczowi II.
12. Gra dla dwóch graczy opisana jest analogicznie, jak w zad.10, z tym że zamiast monety gracze
losują ze zwracaniem jedną kulę z urny, w której jest jedna kula biała i n kul czarnych, n = 1, 2, 3, ...
jest pewną (ustaloną w grze) liczbą naturalną. Grę wygrywa gracz, który wylosuje kulę białą i to
zdarzenie kończy grę.
Oblicz prawdopodobieństwo
a) zdarzenia losowego A, że wygrana przypadnie graczowi I
b) zdarzenia losowego B, że wygrana przypadnie graczowi II.
13. Przedstaw podstawowe typy kombinatoryczne oraz odpowiadające im liczebności.
14. Ile jest wszystkich podzbiorów danego zbioru n elementowego, n = 1, 2, 3, ....
15. Organizatorzy totolotka, dla wygody graczy umożliwiają dokonanie na jednym kuponie skreśleń
w ilości większej niż sześć, co jest równoważne z zakupem odpowiednio większej ilości pojedynczych
zakładów. W kolekturach totolotka na ścianie wisi tablica przedstawiająca liczbę pojedynczych za-
kładów, jaka odpowiada dokonaniu na jednym kuponie liczby skreśleń więkrzej niż sześć. Przedstaw,
jakie zależności powinny być przedstawione na takiej tablicy. Postaraj się odwiedzić jakąś kolekturę

i sprawdź, czy na takiej tablicy są podane właściwe przeliczniki:)
16. Kiedyś bilety autobusowe były kasowane w kasownikach wykonujących dziurki w bilecie. Maksy-
malny układ dziurek tworzył kwadrat ”trzy na trzy”, tzn. dziewięć dziurek. Ile różnie skasowanych
biletów powinien mieć przy sobie ówczesny student, aby posiadać komplet wszystkich możliwości i w
ten sposób bezpiecznie jechać za darmo?
17. Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejkę do dziekanatu (obsługa jednoosobowa)?
18. Przez ”słowo” rozumiemy dowolny (niepusty) ciąg liter napisanych obok siebie (tzw. konkatena-
cja). Ile różnych słów można uzyskać wskutek zmiany kolejności liter ze słowa:
a) rak
b) ryba
c) mama
d) tramwaj
e) statystyka ?
19. Na ile sposobów można zamknąć walizkę zamkiem szyfrowym, w którym zastosowano kod złożony
z czterech cyfr (od 0 do 9)?
20. Dany jest ”alfabet” złożony z n ”liter"(tzn. pewnych symboli). Ile różnych słów o długości k można
napisać korzystając z takiego alfabetu? Rozważ przykłady:
a) k = n
b) k = 1
c) n = 5, k = 3.
21. Przedstaw definicję oraz kilka przykładów zmiennej losowej.
22. Podaj przykłady zmiennej losowej skokowej i zmiennej losowej ciągłej.
23. Jak formułuje się rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej?
24. Podaj przykłady rozkładów prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej.
25. Co to jest dystrybuanta? W jaki sposób z dystrybuanty otrzymujemy poszczególne prawdopodo-
bieństwa dla zmiennej losowej skokowej? Podaj przykłady dystrybuant dla kilku zmiennych losowych
skokowych.
26. Parametry rozkładu zmiennej losowej skokowej: wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie stan-
dardowe - podaj definicję i przykłady.
27. Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej. Przedstaw i udowodnij wzory na parametry (wart.
oczek., wariancja, odch. stand.) poniższych rozkładów prawdopodobieństwa zm. losowych skokowych:
- rozkład jednostajny,
- rozkład dwupunktowy,
- rozkład dwumienny,
- rozkład Poissona.
28. Podaj kilka przykładów zmiennej losowej ciągłej.
29. Jak charakteryzuje się rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej? Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa i jej związek z dystrybuantą. Podaj kilka przykładów.
30. Jak oblicza się parametry rozkładu zmiennej losowej ciągłej (wart. oczekiwana, wariancja, odch.
standardowe)?
31. Dla zmiennej losowej ciągłej X, przyjmującej wartości z przedziału [2, 7] funkcja gęstości praw-
dopodobieństwa jest dana wzorem:
a) f (x) = c, gdzie c jest pewną stałą,
b) f (x) = c · x, gdzie c jest pewną stałą.
Oblicz wartść stałej c, a następnie wartość oczekiwaną, wariancję i odch. standardowe zmiennej X.
32. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (m, σ). Wyznacz prawdopodobieństwa: P (X < m),
P (m − σ < X < m + σ), P (m − 2σ < X < m + 2σ), P (m − 3σ < X < m + 3σ).

33. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (10, 5). Dokonaj standaryzacji zmiennej X i na pod-
stawie tablic standardowego rozkładu N (0, 1) wyznacz prawdopodobieństwa: P (X > 15), P (X < 5),
P (5 < X < 20). Następnie, dla porównania, wyznacz powyższe prawdopodobieństwa za pomocą
Excela.

6

Elementy statystyki opisowej i matematycznej

Aktualizacja z dn. 29.04.2013

CIĄG DALSZY NASTĄPI :)