Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

1. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

f (x, y) = x · sin

y
x

, f (x, y) = x · cos

x
y

, f (x, y) = e

y

1+x2

, f (x, y) = e

x·y

1+x2

f (x, y) = x · 2

y

+ y · e

x

, f (x, y) = (x + 2y)

(3x+xy)

, f (x, y) = cos(x + 2y)

sin(3x+y)

f (x, y) = x

y

, f (x, y) = e

−x

y

, f (x, y) = ln(x +

px

2

+ y

2

)

f (x, y, z) = z · cos

x+y

z

,

f (x, y, z) = x

√

x

2

+y

4

+z

6

+1

2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

f (x, y) = 2x + 3y + 5, f (x, y) = −5y

3

+ x

2

+ y

2

+ x + 1, f (x, y) = e

3x+2y

f (x, y, z) = x

2

+ y

3

+ z

5

, f (x, y, z) = xy + yz + xz, f (x, y, z) = xy

2

+ xyz

f (x, y, z) = e

xyz

, f (x, y, z) = sin(x + 2y + 3z), f (x, y, z) = xy

2

+ xe

z

3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y, f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y

(*)

f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

− xy + x + 2z

4. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji:

f (x, y) = x

2

+ y

3

− 2x − 3y + 1

w obszarze domkniętym

D = {(x, y) ∈ R

2

: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 2

1. Zmienić kolejność całkowania:

a)

R

4

0

dx

R

12x

3x

2

f (x, y)dy,

b)

R

1

0

dx

R

3x

2x

f (x, y)dy,

c)

R

1

0

dy

R

1−y

−

√

1−y

2

f (x, y)dx.

2. Obliczyć całkę

RR

S

x dxdy, gdzie S jest trójkątem

o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (0, 1).

3. Opisując obszar D, ograniczony przez krzywe y = 0, y =

√

x, x + y = 2,

jako normalny względem obu osi, obliczyć dwoma sposobami całkę

Z Z

D

2ydxdy.

4. Obliczyć pole obszarów określonych granicami całkowania
z przykładu 1c.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 3

1. Oblicz całki:

a)

RR

D

e

−x

2

−y

2

dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

≤ a

2

,

b)

RR

D

x dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

≤ 2x.

Wskazówka: W obu przykładach zastosuj zmienne biegunowe.

2. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 2x

2

+ y

2

+ 1, x + y = 1 oraz płaszczyznami układu współrzędnych.

3. Oblicz całki potrójne:

a)

RRR

V

x

3

y

2

z dxdydz,

gdzie V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy,

b)

RRR

V

px

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz,

gdzie V : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ x.

Wskazówka: Zastosuj zmienne sferyczne.

4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami x

2

+ y

2

+ z

2

= 2z,

x

2

+ y

2

= z

2

.

Wskazówka: Zastosuj zmienne cylindryczne.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 4

1. Sprawdzić potencjalność całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę

Z

(2,1)

(0,0)

2xydx + x

2

dy

2. Sprawdzić twierdzenie Greena na przykładzie

I

K

(x + y)

2

dx − (x − y)

2

dy,

gdzie K = K

1

∪ K

2

, przy czym K

1

- odcinek prostej od (0, 0) do (1, 1), a

K

2

- łuk paraboli y = x

2

od (1, 1) do (0, 0). (Porównać wyniki obliczenia

powyższej całki z i bez zastosowania tw. Greena)

3. Oblicz skierowane całki krzywoliniowe:

a)

R

K

xydx + (y − x)dy, gdzie K łuk krzywej y = x

3

od (0, 0) do (1, 1),

b)

R

K

ydx + xdy, gdzie K łuk okręgu o środku w (0, 0) i promieniu R

od (0, R) do (−R, 0),

c)

R

K

xdx + ydy + (x + y + 1)dz, gdzie K odcinek prostej

od (1, 1, 1) do (2, 3, 4).

4. Sprawdzić potencjalność całkowanych pól wektorowych i obliczyć całki
krzywoliniowe

a)

R

(2,1,3)

(1,−1,2)

xdx + y

2

dy + zdz,

b)

H

K

yzdx + zxdy + xydz, gdzie K - okrąg o środku (1, 2, 3) i promieniu

r = 2, zawarty w płaszczyźnie π : x + y + z = 6.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 5

1. Oblicz nieskierowane całki krzywoliniowe:

a)

R

L

(x + y)dl , gdzie L jest obwodem trójkąta

o wierzchołkach A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1).

b)

R

L

x

2

ydl, gdzie L jest górną częścią okreęgu x

2

+ y

2

= a

2

.

zawartą pomiędzy punktami A(a, 0) i B(0, −a), a > 0.

2. Obliczyć niezorientowane całki powierzchniowe

a)

RR

S

(6x + 4y + 3z) dS, gdzie S - część płaszczyzny π : x + 2y + 3z = 6

położona w pierwszej ósemce 3-wymiarowego układu współrzędnych
kartezjańskich.

Odp. 54

√

14

b)

RR

S

(8 − 2z) dS, gdzie S : z = 4 −

1
2

x

2

−

1
2

y

2

dla z ≥ 0.

Odp.

1192

15

π

3. Obliczyć strumień pola wektorowego [x, y, 0] przez powierzchnię sfery
S : x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

, a > 0, w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik

otrzymany w rezultacie obliczenia (niezorientowanej) całki powierzchniowej
porównać z wynikiem otrzymanym z pomocą twierdzenia Gaussa.

(Odp.

8
3

πa

3

)

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 6

1. Sprawdzić holomorficzność funkcji zespolonej f (z) = z

3

+ z

2

+ 1.

2. Znaleźć wszystkie funkcje holomorficzne f (x + jy) = u(x, y) + jv(x, y)
takie, że u(x, y) = 6x

2

y − 2y

3

, f (0) = 0.

3. Obliczyć całkę

R

K

z

2

dz, gdzie K : z(t) = t + j t,

t ∈< 0, 1 >.

4. Sprawdzić tw. Cauchy’ego na przykładzie

R

K

dz

z

, gdzie K - dodatnio

zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z

1

= 2−j, z

2

= 4−j, z

3

= 4+j,

z

4

= 2 + j.

5. Sprawdzić wzór całkowy Cauchy’ego na przykładzie

R

K

dz

z

,

gdzie K - do-

datnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z

1

= 1, z

2

= j, z

3

= −1,

z

4

= −j.

6. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego obliczyć całki:

a)

R

K

e

jz

dz

z+1

,

gdzie K : |z + j| = 5 okrąg zorientowany dodatnio,

b)

R

K

e

jz

dz

z

2

+4

,

gdzie K : |z + j| = 2 okrąg zorientowany dodatnio.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 7

1. Porównaj rozwinięcia funkcji f (z) =

1

1−z

2

w podanych obszarach:

a) w szereg Taylora w kole |z| < 1,

b) w szereg Laurenta w pierścieniu 1 < |z| < ∞.

2. Wyznaczyć punkty osobliwe i określić typ osobliwości:

a)

z

(z

2

−1)(z

2

−4)

3

, b)

z

sin z

, c)

sin z

z

2

,

d) e

1

(1−z)2

.

3. Wyznaczyć residua funkcji w podanym punkcie:

a) res

z=±j

z+1

z

2

+1

,

b) res

z=0

z+1

(1−z)z

2

.

4. Obliczyć całki:

a) d)

H

K(0,2)

z

3

dz

z

4

−1

,

b)

H

K(0,2)

e

z

dz

z

2

(z

2

+1)

,

c) d)

H

K(0,1)

z

5

e

1
z

dz.

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013

ZADANIA Z MATEMATYKI III

Zestaw 8

1. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład

x

i

0

1

2

3

p

i

1
5

2
5

1
5

1
5

.

Obliczyć prawdopodobieństwa P (X ≤ 1), P (1 ≤ X ≤ 2, 5), P (X > 1, 5)
oraz wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D

2

(X).

2. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów w pieciu rzutach monetą. Znaleźć
rozkład zmiennej losowej X (w postaci tabelki) oraz obliczyć: P (X ≥ 3),
P (X ≤ 4), P (X > 1), E(X), D

2

(X).

3. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem

f (x) =

 α

√

x ,

x ∈ [0, 1]

0

,

x /

∈ [0, 1] .

Wyznaczyć α, a następnie obliczyć: P (x >

1
4

), E(X), D

2

(X).

4. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład

x

i

0

1

2

p

i

1
4

2
4

1
4

.

Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.

5. Zmienna losowa X ma rozklad wykładniczy z parametrem λ > 0 o gęstości

f (x) =

 λe

−λx

,

x ≥ 0

0

,

x < 0 .

Obliczyć wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D

2

(X). Wyznaczyć dystry-

buantę F (x) i narysować jej wykres.

6. Zmienna losowa X ma rozkład N (100, 20). Obliczyć prawdopodobieństwa:
P (X < 90), P (X > 127), P (70 < X ≤ 130).

7. Średnica wytwarzanych masowo detali ma rozkład N (55mm; 0, 4mm).
Detale, których średnica odchyla sie od 55mm o mniej niż 0, 5mm są kwa-
lifikowane jako I gatunek, przy większej różnicy, nie przekraczającej jednak
1mm, jako II gatunek, a przy różnicy większej od 1mm detale sa kwalifiko-
wane jako braki. Jaka część produkowanych detali należy do poszczególnych
grup ?