Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
1. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:
y
x·y
f (x, y) = x · sin y , f (x, y) = x · cos x , f (x, y) = e 1+x2 , f (x, y) = e 1+x2
x
y
f (x, y) = x · 2y + y · ex, f (x, y) = (x + 2y)(3x+xy), f (x, y) = cos(x + 2y)sin(3x+y)
−x
f (x, y) = xy, f (x, y) = e y , f (x, y) = ln(x + px2 + y2)
√
f (x, y, z) = z · cos x+y ,
f (x, y, z) = x x2+y4+z6+1
z
2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
f (x, y) = 2x + 3y + 5, f (x, y) = −5y3 + x2 + y2 + x + 1, f (x, y) = e3x+2y f (x, y, z) = x2 + y3 + z5, f (x, y, z) = xy + yz + xz, f (x, y, z) = xy2 + xyz f (x, y, z) = exyz, f (x, y, z) = sin(x + 2y + 3z), f (x, y, z) = xy2 + xez 3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x − y, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x − y
(*)
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x + 2z
4. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji:
f (x, y) = x2 + y3 − 2x − 3y + 1
w obszarze domkniętym
D = {(x, y) ∈
2
R : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 2
1. Zmienić kolejność całkowania:
a) R 4 dx R 12x f (x, y)dy,
0
3x2
b) R 1 dx R 3x f (x, y)dy,
0
2x
c) R 1 dy R 1−y
√
f (x, y)dx.
0
−
1−y2
2. Obliczyć całkę RR x dxdy, gdzie S jest trójkątem
S
o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (0, 1).
√
3. Opisując obszar D, ograniczony przez krzywe y = 0, y =
x, x + y = 2,
jako normalny względem obu osi, obliczyć dwoma sposobami całkę
Z Z
2ydxdy.
D
4. Obliczyć pole obszarów określonych granicami całkowania
z przykładu 1c.
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 3
1. Oblicz całki:
a) RR e−x2−y2dxdy, gdzie D : x2 + y2 ≤ a2,
D
b) RR x dxdy, gdzie D : x2 + y2 ≤ 2x.
D
Wskazówka: W obu przykładach zastosuj zmienne biegunowe.
2. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 2x2 + y2 + 1, x + y = 1 oraz płaszczyznami układu współrzędnych.
3. Oblicz całki potrójne:
a) RRR x3y2z dxdydz,
gdzie V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy,
V
b) RRR px2 + y2 + z2 dxdydz,
gdzie V : x2 + y2 + z2 ≤ x.
V
Wskazówka: Zastosuj zmienne sferyczne.
4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2.
Wskazówka: Zastosuj zmienne cylindryczne.
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 4
1. Sprawdzić potencjalność całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę Z
(2,1)
2xydx + x2dy
(0,0)
2. Sprawdzić twierdzenie Greena na przykładzie
I
(x + y)2dx − (x − y)2dy,
K
gdzie K = K1 ∪ K2, przy czym K1 - odcinek prostej od (0, 0) do (1, 1), a K2 - łuk paraboli y = x2 od (1, 1) do (0, 0). (Porównać wyniki obliczenia powyższej całki z i bez zastosowania tw. Greena)
3. Oblicz skierowane całki krzywoliniowe:
a) R xydx + (y − x)dy, gdzie K łuk krzywej y = x3 od (0, 0) do (1, 1), K
b) R ydx + xdy, gdzie K łuk okręgu o środku w (0, 0) i promieniu R
K
od (0, R) do (−R, 0),
c) R xdx + ydy + (x + y + 1)dz, gdzie K odcinek prostej
K
od (1, 1, 1) do (2, 3, 4).
4. Sprawdzić potencjalność całkowanych pól wektorowych i obliczyć całki krzywoliniowe
a) R (2,1,3) xdx + y2dy + zdz,
(1,−1,2)
b) H yzdx + zxdy + xydz, gdzie K - okrąg o środku (1, 2, 3) i promieniu K
r = 2, zawarty w płaszczyźnie π : x + y + z = 6.
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 5
1. Oblicz nieskierowane całki krzywoliniowe:
a) R (x + y)dl , gdzie L jest obwodem trójkąta
L
o wierzchołkach A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1).
b) R x2ydl, gdzie L jest górną częścią okreęgu x2 + y2 = a2.
L
zawartą pomiędzy punktami A(a, 0) i B(0, −a), a > 0.
2. Obliczyć niezorientowane całki powierzchniowe
a) RR (6x + 4y + 3z) dS, gdzie S - część płaszczyzny π : x + 2y + 3z = 6
S
położona w pierwszej ósemce 3-wymiarowego układu współrzędnych
√
kartezjańskich.
Odp. 54 14
b) RR (8 − 2z) dS, gdzie S : z = 4 − 1 x2 − 1 y2 dla z ≥ 0.
Odp. 1192 π
S
2
2
15
3. Obliczyć strumień pola wektorowego [x, y, 0] przez powierzchnię sfery S : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0, w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik otrzymany w rezultacie obliczenia (niezorientowanej) całki powierzchniowej porównać z wynikiem otrzymanym z pomocą twierdzenia Gaussa.
(Odp.
8 πa3)
3
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 6
1. Sprawdzić holomorficzność funkcji zespolonej f (z) = z3 + z2 + 1.
2. Znaleźć wszystkie funkcje holomorficzne f (x + jy) = u(x, y) + jv(x, y) takie, że u(x, y) = 6x2y − 2y3, f (0) = 0.
3. Obliczyć całkę R z2dz, gdzie K : z(t) = t + j t,
t ∈< 0, 1 >.
K
4. Sprawdzić tw. Cauchy’ego na przykładzie R
dz , gdzie K - dodatnio
K z
zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z1 = 2−j, z2 = 4−j, z3 = 4+j, z4 = 2 + j.
5. Sprawdzić wzór całkowy Cauchy’ego na przykładzie R
dz , gdzie K - do-
K z
datnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z1 = 1, z2 = j, z3 = −1, z4 = −j.
6. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego obliczyć całki:
a) R
ejz dz , gdzie K : |z + j| = 5 okrąg zorientowany dodatnio,
K
z+1
b) R
ejz dz , gdzie K : |z + j| = 2 okrąg zorientowany dodatnio.
K z2+4
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 7
1. Porównaj rozwinięcia funkcji f (z) =
1
w podanych obszarach:
1−z2
a) w szereg Taylora w kole |z| < 1,
b) w szereg Laurenta w pierścieniu 1 < |z| < ∞.
2. Wyznaczyć punkty osobliwe i określić typ osobliwości:
1
a)
z
, b)
z
, c) sin z ,
d) e (1−z)2 .
(z2−1)(z2−4)3
sin z
z2
3. Wyznaczyć residua funkcji w podanym punkcie:
a) res
z+1
z=±j
,
z2+1
b) res
z+1
z=0
.
(1−z)z2
4. Obliczyć całki:
a) d)H
z3dz ,
K(0,2) z4−1
b) H
ez dz
,
K(0,2) z2(z2+1)
1
c) d)H
z5e z dz.
K(0,1)
Wydział Mechatroniki i Lotnictwa
Semestr 2 Rok akad. 2012 / 2013
ZADANIA Z MATEMATYKI III
Zestaw 8
x
1. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład
i
0
1
2
3 .
p
1
2
1
1
i
5
5
5
5
Obliczyć prawdopodobieństwa P (X ≤ 1), P (1 ≤ X ≤ 2, 5), P (X > 1, 5) oraz wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D2(X).
2. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów w pieciu rzutach monetą. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X (w postaci tabelki) oraz obliczyć: P (X ≥ 3), P (X ≤ 4), P (X > 1), E(X), D2(X).
3. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem
√
α x , x ∈ [0, 1]
f (x) =
0
,
x /
∈ [0, 1] .
Wyznaczyć α, a następnie obliczyć: P (x > 1 ), E(X), D2(X).
4
x
4. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład
i
0
1
2 .
p
1
2
1
i
4
4
4
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.
5. Zmienna losowa X ma rozklad wykładniczy z parametrem λ > 0 o gęstości
λe−λx , x ≥ 0
f (x) =
0
,
x < 0 .
Obliczyć wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D2(X). Wyznaczyć dystrybuantę F (x) i narysować jej wykres.
6. Zmienna losowa X ma rozkład N (100, 20). Obliczyć prawdopodobieństwa: P (X < 90), P (X > 127), P (70 < X ≤ 130).
7. Średnica wytwarzanych masowo detali ma rozkład N (55mm; 0, 4mm).
Detale, których średnica odchyla sie od 55mm o mniej niż 0, 5mm są kwa-lifikowane jako I gatunek, przy większej różnicy, nie przekraczającej jednak 1mm, jako II gatunek, a przy różnicy większej od 1mm detale sa kwalifiko-wane jako braki. Jaka część produkowanych detali należy do poszczególnych grup ?