Warunki wystarczaja

,

ce do otrzymania

oceny niedostatecznej z analizy II

1. Nieznajomo´s´c definicji normy.
2. Nieznajomo´s´c definicji zbioru zwartego lub zbioru sp´ojnego.
3. Nieznajomo´s´c podstawowych w lasno´sci funkcji cia

,

g lych na zbiorze zwartym (np. osia

,

ganie kres´ow,

jednostajna cia

,

g lo´s´c) lub na zbiorze sp´ojnym (np. w lasno´s´c Darboux).

4. Nieznajomo´s´c definicji r´o˙zniczki odwzorowania z IR

k

w IR

l

.

5. Nieznajomo´s´c definicji pochodnej cza

,

stkowej lub nieumieje

,

tno´s´c jej znalezienia w prostych przypad-

kach lub nieumieje

,

tno´s´c znalezienia r´o˙zniczki odwzorowania, kt´orego pochodne cza

,

stkowe w danym

punkcie sa

,

znane.

6. Nieznajomo´s´c definicji gradientu.
7. Nieznajomo´s´c wzoru na pochodna

,

z lo˙zenia lub pochodna

,

odwzorowania odwrotnego.

8. Nieznajomo´s´c twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej (np. stosowanie go w przypadku zbior´ow

niesp´ojnych).

9. Nieznajomo´s´c sformu lowania twierdzenia o odwracaniu funkcji lub twierdzenia o funkcji uwik lanej.

10. Nieznajomo´s´c definicji rozmaito´sci zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
11. Nieznajomo´s´c definicji rozmaito´sci z brzegiem zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
12. Nieznajomo´s´c definicji rozmaito´sci orientowalnej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
13. Nieumieje

,

tno´s´c zdefiniowania orientacji brzegu rozmaito´sci zorientowanej.

14. Nieznajomo´s´c definicji wektora stycznego do dowolnego zbioru lub nieumieje

,

tno´s´c znalezienia prze-

strzeni stycznej do rozmaito´sci zadanej uk ladem r´owna´

n lub przez lokalna

,

parametryzacje

,

(w tym

do wykresu funkcji).

15. Nieznajomo´s´c definicji drugiej r´o˙zniczki lub nieumieje

,

tno´s´c jej znajdowania w przypadku funkcji,

kt´orych warto´sciami sa

,

liczby rzeczywiste lub nieznajomo´s´c twierdzenia o symetrii drugiej r´o˙zniczki.

16. Nieznajomo´s´c wzoru Taylora lub nieumieje

,

tno´s´c wypisania wielomianu Taylora w przypadku funkcji,

kt´orej pochodne cza

,

stkowe sa

,

dane w konkretnym punkcie.

17. Nieznajomo´s´c warunku dostatecznego na to, by funkcja dwukrotnie r´o˙zniczkowalna mia la lokalne

ekstremum w danym punkcie.

18. Nieznajomo´s´c definicji σ –cia la lub miary lub ca lki.
19. Nieznajomo´s´c warunku i twierdzenia Carath´eodory’ego.
20. Nieznajomo´s´c twierdze´

n charakteryzuja

,

cych zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a definicji funkcji

mierzalnej.

21. Nieznajomo´s´c twierdzenia, kt´ore charakteryzuje miare

,

Lebesgue’a jako jedyna

,

miare

,

przesuwalna

,

,

okre´slona

,

na . . .

22. Nieznajomo´s´c twierdzenia Fubiniego.
23. Nieznajomo´s´c twierdzenia o zamianie zmiennych w ca lce Lebesgue’a.
24. Nieznajomo´s´c twierdzenia o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki.
25. Nieznajomo´s´c twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki.
26. Nieumieje

,

tno´s´c zdefiniowania miary powierzchniowej na rozmaito´sciach, kt´ore sa

,

zanurzone w k –wy-

miarowej przestrzeni euklidesowej.

27. Nieznajomo´s´c definicji ca lki krzywoliniowej.
28. Nieznajomo´s´c zwia

,

zku mie

,

dzy niezale˙zno´scia

,

ca lki od drogi i istnieniem funkcji pierwotnej formy.

29. Nieznajomo´s´c wzoru Greena.
30. Nieznajomo´s´c wzoru Gaussa–Ostrogradskiego.
31. Nieumieje

,

tno´s´c znalezienia pochodnej zewne

,

trznej formy r´o˙zniczkowej.

32. Nieznajomo´s´c warunku koniecznego na to, by forma r´o˙zniczkowa by la r´o˙zniczka

,

zewne

,

trzna

,

pewnej

funkcji.

33. Nieznajomo´s´c warunk´ow wystarczaja

,

cych na to, by forma r´o˙zniczkowa by la r´o˙zniczka

,

zewne

,

trzna

,

pewnej funkcji.

34. Nieznajomo´s´c twierdzenia Jordana o rozcinaniu p laszczyzny.

Obowia

,

zuja

,

te˙z niewpisane tutaj, ale wymienione w pierwszym semestrze warunki.

1

Wystarcza spe lnienie jednego z tych warunk´

ow, a ocene

,

niedostateczna

,

mo˙zna otrzy-

ma´

c wieloma sposobami niewymienionym w tym tek´scie.

Aby otrzyma´c ocene

,

dostateczna

,

lub wy˙zsza

,

nale˙zy umie´c udowodni´c:

35. ˙ze miara Lebesgue’a wykresu funkcji cia

,

g lej jest r´owna 0;

36. ˙ze borelowska miara na R

k

, przesuwalna, r´owna 1 na kostce jednostkowej jest miara

,

Lebesgue’a na

zbiorach borelowskich;

37. lokalna

,

r´o˙znowarto´sciowo´s´c funkcji klasy C

1

, kt´orej r´o˙zniczka jest izomorfizmem;

38. zdefiniowa´c miare

,

Lebesgue’a–Riemanna na rozmaito´sci i sprawdzi´c poprawno´s´c definicji;

39. ˙ze sfera, torus, butelka Kleina, p laszczyzna rzutowa, wste

,

ga M¨obiusa sa

,

rozmaito´sciami i udowodni´c,

˙ze trzy z wymienionych nie sa

,

orientowalne;

40. twierdzenie Greena dla tr´ojka

,

ta i kwadratu;

41. ˙ze ca lka z jednoformy nie zale˙zy od drogi wtedy i tylko wtedy, gdy jednoforma jest r´o˙zniczka

,

pewnej

funkcji.

Osoby, kt´ore nie zdo laja

,

przeprowadzi´c jednego z tych dowod´ow, otrzymaja

,

dwa z AM 2.2.

42. Dow´od twierdzenia o splocie funkcji ca lkowalnych, w tym ca lkowalno´sci splotu w takiej sytuacji .
43. Definicja ´srodka cie

,

˙zko´sci zbioru i jego niezmienniczo´s´c ze wzgle

,

du na przekszta lcenia afiniczne dla

miary Lebesgue’a.

44. Dow´od twierdzenia Pappusa – Guldina, obie wersje.
45. Dow´od twierdzenia o otoczeniu ko lnierzykowym rozmaito´sci.
46. Dow´od twierdzenia Greena dla obszaru ograniczonego lamana

,

.

47. Dow´od twierdzenia Stokesa dla kostki k -wymiarowej.
48. Definicja rotacji pola wektorowego.
49. Pierwszy i drugi wz´or Greena z dowodem.
50. Dow´od tego, ˙ze je´sli f : C −→ C jest r´o˙zniczkowalna w sensie zespolonym, to funkcje Ref oraz Imf

sa

,

harmoniczne.

51. Dow´od wzoru m´owia

,

cego, ˙ze warto´s´c funkcji harmonicznej w punkcie p jest ´srednia

,

jej warto´sci

przyjmowanych na sferze o ´srodku w punkcie p.

52. Dow´od tego, ˙ze je´sli funkcja harmoniczna przyjmuje swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c wewna

,

trz obszaru, to

jest sta la.

53. Miara kuli i sfery k –wymiarowej.
54. Rozsa

,

dny warunek wystarczaja

,

cy na r´o˙zniczkowalno´s´c splotu dwu funkcji ca lkowalnych.

55. Istnienie dowolnie drobnych rozk lad´ow jedno´sci na rozmaito´sci zwartej.
56. Wyprowadzenie prawa Archimedesa z prawa Pascala.
57. Definicja strumienia przep lywu pola wektorowego przez zamknie

,

ta

,

powierzchnie

,

i wyprowadzenie

prawa Gaussa o strumieniu pola grawitacyjnego (elektrycznego, magnetycznego).

58. Dow´od twierdzenia Jordana dla lamanej zamknie

,

tej bez samoprzecie

,

´c.

59. Dow´od twierdzenia Stokesa dla rozmaito´sci z brzegiem.
60. Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej z jednoformy, kt´orej r´o˙zniczka jest zerem z dowodem.
61. Dow´od tego, ˙ze je´sli funkcje harmoniczne pokrywaja

,

sie

,

na brzegu obszaru (np. na sferze), to po-

krywaja

,

sie

,

w ca lym obszarze.

62. „Geometryczna” definicja dywergencji — z dowodem.
63. Dow´od twierdzenia o ge

,

sto´sci w L

1

funkcji niesko´

nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalnych o zwartych

no´snikach.

64. Dow´od twierdzenia wia

,

˙za

,

cego miare

,

otoczenia ko lnierzykowego rozmaito´sci z jej miara

,

powierzch-

niowa

,

.

65. Dow´od poprawno´sci definicji ca lki z formy r´o˙zniczkowej na rozmaito´sci zorientowanej.

66. Dow´od twierdzenia o zupe lno´sci przestrzeni L

1

.

67. Dow´od nieistnienia jedynki w algebrze splotowej.
68. Dow´od twierdzenia o przybli˙zaniu wielomianami funkcji cia

,

g lych na zbiorze zwartym.

2