Warunki wystarczaja

,

ce do otrzymania oceny niedostatecznej z AM 2.1

1. Nieznajomo´s´c definicji normy.
2. Nieznajomo´s´c definicji zbioru zwartego lub zbioru sp´ojnego.
3. Nieznajomo´s´c podstawowych w lasno´sci funkcji cia

,

g lych na zbiorze zwartym (np. osia

,

ganie

kres´ow, jednostajna cia

,

g lo´s´c) lub na zbiorze sp´ojnym (np. w lasno´s´c Darboux).

4. Nieznajomo´s´c dowodu cia

,

g lo´sci przekszta lcenia liniowego lub definicji jego normy.

5. Nieznajomo´s´c definicji r´o˙zniczki odwzorowania z IR

k

w IR

l

.

6. Nieznajomo´s´c definicji pochodnej cza

,

stkowej lub nieumieje

,

tno´s´c jej znalezienia w pros-

tych przypadkach lub nieumieje

,

tno´s´c znalezienia r´o˙zniczki odwzorowania, kt´orego pochod-

ne cza

,

stkowe w danym punkcie sa

,

znane.

7. Nieznajomo´s´c definicji gradientu.
8. Nieznajomo´s´c wzoru na pochodna

,

z lo˙zenia lub pochodna

,

odwzorowania odwrotnego.

9. Nieznajomo´s´c twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej (np. stosowanie go w przypadku

zbior´ow niesp´ojnych).

10. Nieznajomo´s´c sformu lowania twierdzenia o odwracaniu funkcji lub twierdzenia o funkcji

uwik lanej.

11. Nieznajomo´s´c definicji rozmaito´sci zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
12. Nieznajomo´s´c definicji wektora stycznego do zbioru lub nieumieje

,

tno´s´c znalezienia prze-

strzeni stycznej do rozmaito´sci zadanej uk ladem r´owna´

n lub przez lokalna

,

parametryzacje

,

(w tym do wykresu funkcji).

13. Nieznajomo´s´c warunk´ow koniecznych na to, by funkcja w punkcie r´o˙zniczkowalno´sci mia la

ekstremum lokalne lub warunku Lagrange’a w przypadku ekstremum zwia

,

zanego, w tym

nieumieje

,

tno´s´c geometrycznego zinterpretowania warunku Lagrange’a.

14. Nieznajomo´s´c definicji drugiej r´o˙zniczki lub nieumieje

,

tno´s´c jej znajdowania w przypadku

funkcji, kt´orych warto´sciami sa

,

liczby rzeczywiste lub nieznajomo´s´c twierdzenia o symetrii

drugiej r´o˙zniczki.

15. Nieznajomo´s´c wzoru Taylora lub nieumieje

,

tno´s´c wypisania wielomianu Taylora funkcji,

kt´orej pochodne cza

,

stkowe sa

,

dane w konkretnym punkcie.

16. Nieznajomo´s´c warunku dostatecznego na to, by funkcja dwukrotnie r´o˙zniczkowalna mia la

lokalne ekstremum w danym punkcie.

17. Nieznajomo´s´c definicji σ –cia la lub miary.
18. Nieznajomo´s´c warunku i twierdzenia Carath´eodory’ego.
19. Nieznajomo´s´c twierdze´

n charakteryzuja

,

cych zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a.

20. Nieznajomo´s´c definicji funkcji mierzalnej.
21. Nieznajomo´s´c definicji ca lki.
22. Nieznajomo´s´c twierdzenia, kt´ore charakteryzuje miare

,

Lebesgue’a jako jedyna

,

przesuwalna

,

miare

,

okre´slona

,

na . . .

23. Nieznajomo´s´c twierdze´

n o przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki.

24. Nieznajomo´s´c twierdzenia o zamianie zmiennych lub twierdzenia Fubini’ego.

Wystarczy spe lni´

c jeden z wymienionych warunk´

ow, by otrzyma´

c ocene

,

niedosta-

teczna

,

, kt´

ora

,

mo˙zna te˙z otrzyma´

c w inny spos´

ob.

1

Aby otrzyma´c ocene

,

dostateczna

,

lub wy˙zsza

,

na le˙zy umie´c udowodni´c:

1. ˙ze rzeczywista funkcja cia

,

g la na zbiorze zwartym osia

,

ga kresy;

2. ˙ze z cia

,

g lo´sci pochodnych cza

,

stkowych wynika r´o˙zniczkowalno´s´c funkcji;

3. twierdzenie o kierunku najszybszego wzrostu funkcji;
4. ˙ze zbi´or wektor´ow stycznych do rozmaito´sci w ustalonym punkcie jest przestrzenia

,

linowa

,

;

5. ˙ze sfera i torus sa

,

rozmaito´sciami;

6. ˙ze w punkcie, w kt´orym funkcja r´o˙zniczkowalna ma lokalne ekstremum, zeruja

,

sie

,

pochodne

cza

,

stkowe;

7. ˙ze w punkcie krytycznym, w kt´orym druga r´o˙zniczka jest dodatnio okre´slona, funkcja ma

lokalne . . . ;

8. twierdzenie o r´owno´sci pochodnych mieszanych drugiego rze

,

du zak ladaja

,

c ich istnienie w

otoczeniu oraz . . . ;

9. twierdzenie o r´o˙zniczce funkcji odwrotnej;

10. twierdzenie Peano o wzorze Taylora;
11. warunek dostateczny na to, by funkcja okre´slona na rozmaito´sci zadanej przez uk lad r´owna´

n

mia la w pewnym punkcie ekstremum lokalne ekstremum lub siod lo;

12. ˙ze sie

,

umie pos lugiwa´c wielowska´znikami i zapisywa´c wielomian Taylora;

13. twierdzenie o mierze produktu dw´och zbior´ow mierzalnych zawartych w przestrzeniach

euklidesowych;

14. twierdzenie o mierze z ge

,

sto´scia

,

;

15. twierdzenie o ca lkowaniu funkcji wzgle

,

dem miary z ge

,

sto´scia

,

;

16. twierdzenie o liniowo´sci ca lki y funkcji nieujemnej;
17. twierdzonka o elementarnych w lasno´sciach ca lki (jednorodno´s´c, zerowanie sie

,

funkcji nie-

ujemnej, kt´orej ca lka jest r´owna zero, sko´

nczono´s´c funkcji nieujemnej, kt´orej ca lka ca lka

jest sko´

nczona) ;

18. twierdzenia o mierzalno´sci r´o˙znych funkcji (suma, iloczyn, kres g´orny, granica g´orna);
19. twierdzenie charakteryzuja

,

ce zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a;

20. ˙ze sie

,

zna definicje

,

miary zewne

,

trznej i miary zewne

,

trznej metrycznej.

21. twierdzenia o elementarnych w lasno´sciach miary (monotoniczno´s´c, miara sumy przeliczal-

nej, wste

,

puja

,

cej rodziny zbior´ow i dualne);

22. twierdzenie o cia

,

g lo´sci przekszta lcenia wieloliniowego i ˙ze sie

,

zna definicje

,

jego normy;

23. twierdzenie o w lasno´sciach pochodnej kierunkowej w punkcie r´o˙zniczkowalno´sci funkcji

wraz z przyk ladami wskazuja

,

cymi na istotno´s´c za lo˙ze´

n;

24. twierdzenie o pochodnej przekszta lcenia wieloliniowego wraz z prostymi zastosowaniami;
25. twierdzenie o r´o˙zniczce z lo˙zenia dwu odwzorowa´

n;

26. twierdzenie charakteryzuja

,

ce dodatnia

,

okre´slono´s´c formy kwadratowej w terminach warto´s-

ci w lasnych odpowiedniej macierzy;

27. twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwe

,

˙zaja

,

cym wraz z uwaga

,

o cia

,

g lej zale˙zno´sci punktu

sta lego od zwe

,

˙zenia;

2

28. twierdzenie o oszacowaniu warto´sci jednorodnego wielomianu kwadratowego;
29. twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej;
30. ˙ze miara Lebesgue’a wykresu funkcji cia

,

g lej jest r´owna 0;

31. ˙ze butelka Kleina, p laszczyzna rzutowa oraz wste

,

ga M¨obiusa sa

,

rozmaito´sciami;

32. lokalna

,

r´o˙znowarto´sciowo´s´c funkcji klasy C

1

, kt´orej r´o˙zniczka jest izomorfizmem w pewnym

zbiorze otwartym;

33. twierdzenie o mno˙znikach Lagrange’a;
34. twierdzenie o cia

,

g lo´sci ca lki jako funkcji zbioru;

35. twierdzenie o podstawianiu;
36. twierdzenie o przybli˙zaniu funkcji mierzalnych funkcjami prostymi;
37. twierdzenie o mierzalno´sci w sensie Lebesgue’a zbior´ow borelowskich w przestrzeni eukli-

desowej;

38. twierdzenia charakteryzuja

,

ce zbiory otwarte sp´ojne i zbiory zwarte w R

k

39. twierdzenie o r´ownowa˙zno´sci r´o˙znych definicji rozmaito´sci zanurzonej w przestrzeni eukli-

desowej;

40. twierdzenie o wektorach stycznych do rozmaito´sci zadanej w jakikolwiek spos´ob;
41. twierdzenie o mierze Lebesgue’a przedzia lu k –wymiarowego;
42. twierdzenie o ca lkowalno´sci w sensie Lebesgue’a funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna na

przedziale domknie

,

tym;

43. twierdzenie Lebesgue’a – Levi’ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem

ca lki;

44. twierdzenie Lebesgue’a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki;

45. ˙ze borelowska miara na R

k

, przesuwalna, r´owna 1 na kostce jednostkowej jest miara

,

Le-

besgue’a na zbiorach borelowskich;

46. twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej r´o˙zniczki zak ladaja

,

c jej istnienie w jednym punkcie;

47. twierdzenie o funkcjach uwik lanych;
48. twierdzenie Luzina;
49. twierdzenie Fr´echeta;
50. twierdzenie Fubiniego;
51. lemat Fatou;

3

52. twierdzenie Lagrange’a o wzorze Taylora;
53. twierdzenie o odwracaniu funkcji;
54. twierdzenie Carath´eodory’ego;
55. twierdzenie o mierze obrazu afinicznego zbioru mierzalnego;
56. twierdzenie Jegorowa;

57. twierdzenie o zamianie zmiennych w ca lce Lebesgue’a;
58. twierdzenie o warunku dostatecznym styczno´sci wektora do poziomicy funkcji;
59. twierdzenie o najpaskudniejszej poziomicy;
60. warunek wystarczaja

,

cy typu Sylvestra dla dodatniej okre´slono´sci formy kwadratowej na

podprzestrzeni liniowej;

4