4. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

4.1 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ

Def. 4.1.1 (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem powierzchniowym zorientowa-
nym. Wyróżnioną stronę płata zorientowanego nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbo-
lem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata zorientowanego



oznaczamy przez –



.

Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego
stronę zewnętrzną. Dla płatów będących wykresami funkcji postaci z = f(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) za stronę dodatnią przyj-
mujemy zwykle górną część takiego płata.

Rys. 4.1.1 Płat powierzchniowy jednostronny

Rys. 4.1.2 Płat powierzchniowy dwustronny;

wykres funkcji z = f(x,y)

Fakt 4.1.2 (postać wersora normalnego płata)
Niech płat gładki zorientowany



ma przedstawienie parametryczne





D

v

u

v

u

r







)

,

(

:

)

,

(



. Wtedy wersor normalny

n



do

płata



wystawiony w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) tego płata, odpowiadającym punktowi (u

0

, v

0

) obszaru D w powyższej parametryzacji

wyraża się wzorem:

v

r

u

r

v

r

u

r

n



































,

gdzie wektory

u

r







oraz

v

r







są obliczone w punkcie (u

0

, v

0

). Znak stojący przed wersorem

n



ustala się na podstawie orienta-

cji płata



. Przyjmujemy, że wersor normalny jest skierowany od strony ujemnej do dodatniej płata zorientowanego.

Jeżeli płat gładki



jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y)



D, to wersor normalny

n



do płata



wystawiony w

punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) tego płata, gdzie z

0

= z(x

0

, y

0

), wyraża się wzorem:

































2

2

2

2

2

2

1

1

,

1

,

1

q

p

q

p

q

q

p

p

n



,

gdzie

)

,

(

0

0

y

x

x

z

p







,

)

,

(

0

0

y

x

y

z

q







. Wersor normalny

n



można przedstawić w postaci

)

cos

,

cos

,

(cos









n



, gdzie



,



,



oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz.

Rys. 4.1.3 Wersor normalny do płata zorientowanego



Rys. 4.1.4 Kosinusy kierunkowe wektora normalnego

n



Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech

)

,

,

(

R

Q

P

F





będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym



. Całkę powierzchniową zorientowaną z

pola wektorowego

F



po płacie



definiujemy wzorem:



































dS

z

y

x

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

dS

z

y

x

n

z

y

x

F

dy

dx

z

y

x

R

dx

dz

z

y

x

Q

dz

dy

z

y

x

P

def







cos

)

,

,

(

cos

)

,

,

(

cos

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(







gdzie

)

cos

,

cos

,

(cos









n



oznacza wersor normalny do płata zorientowanego



wystawiony w punkcie (x,y,z) tego płata.

Uwaga. W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:















dS

r

n

r

F

S

d

r

F

def

)

(

)

(

)

(



















,

gdzie

)

,

,

(

dxdy

dzdx

dydz

S

d

def





. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego

F



po płacie



oznaczamy też

krótko









dy

dx

R

dx

dz

Q

dz

dy

P

, a w notacji wektorowej





S

d

F







.

Rys. 4.1.5 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej

zorientowanej z pola wektorowego

F



po płacie

zorientowanym



Def. 4.1.4 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)
Niech



będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich



1

,



2

, …,



m

, o orientacjach po-

krywających się z orientacją płata



. Ponadto niech

F



będzie polem wektorowym określonym na płacie



. Całkę powierzch-

niową zorientowaną z pola wektorowego

F



po płacie



definiujemy wzorem:

























m

S

d

F

S

d

F

S

d

F

S

d

F

def

























...

2

1

,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Jeżeli



jest płatem zorientowanym zamkniętym ograniczającym pewien

obszar w przestrzeni, to wtedy piszemy





w miejsce





.

Tw. 4.1.5 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)
Jeżeli istnieją całki powierzchniowe z pól wektorowych

F



i

G



po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowa-

nym



oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to

a) istnieje całka z pola wektorowego

G

F







po płacie



oraz























S

d

G

S

d

F

S

d

G

F





















,

b) istnieje całka z pola wektorowego

F

c



po płacie



oraz

 











S

d

F

c

S

d

F

c













,

c) istnieje całka z pola wektorowego

F



po płacie o orientacji przeciwnej –



oraz















S

d

F

S

d

F













.

4.2 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 4.2.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)
Jeżeli

1.









D

v

u

v

u

z

v

u

y

v

u

x







)

,

(

:

)

,

(

),

,

(

),

,

(

jest gładkim płatem zorientowanym, gdzie D jest obszarem regularnym na

płaszczyźnie,

2. pole wektorowe

)

,

,

(

R

Q

P

F





jest ciągłe na płacie



,

to













dv

du

v

y

u

y

v

x

u

x

v

u

z

v

u

y

v

u

x

R

v

x

u

x

v

z

u

z

v

u

z

v

u

y

v

u

x

Q

v

z

u

z

v

y

u

y

v

u

z

v

u

y

v

u

x

P

dxdy

z

y

x

R

dzdx

z

y

x

Q

dydz

z

y

x

P

D































































































)

,

(

),

,

(

),

,

(

)

,

(

),

,

(

),

,

(

)

,

(

),

,

(

),

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

.

Znak stojący przed całką podwójną ustala się na podstawie orientacji płata



.

Uwaga. W zapisie wektorowym wzór ten przyjmuje postać

 





































D

dv

du

v

r

u

r

v

u

r

F

S

d

r

F



















)

,

(

.

Jeżeli gładki płat zorientowany



jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y)



D, oraz pole wektorowe

)

,

,

(

R

Q

P

F





jest

ciągłe na



, to





















































D

dxdy

y

x

z

y

x

R

y

z

y

x

z

y

x

Q

x

z

y

x

z

y

x

P

dxdy

z

y

x

R

dzdx

z

y

x

Q

dydz

z

y

x

P

)

,

(

,

,

)

,

(

,

,

)

,

(

,

,

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

.

Podobne równości mają miejsce, gdy płat



jest wykresem funkcji x = x(y,z) lub y = y(x,z).

4.3 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

Def. 4.3.1 (operator Hamiltona – nabla)
Operator Hamiltona (nabla) określony jest wzorem:















































z

y

x

z

k

y

j

x

i

def

,

,







.

Def. 4.3.2 (gradient funkcji)
Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V



R

3

. Gradient funkcji f jest określony wzorem:































z

f

y

f

x

f

f

f

def

,

,

grad

.

Fakt 4.3.3 (własności gradientu)
Niech funkcje f i g będą różniczkowalne na obszarze V



R

3

oraz niech a, b



R. Wtedy

a)

g

b

f

a

bg

af

grad

grad

grad







)

(

,

b)

g

f

f

g

fg

grad

grad

grad





)

(

,

c)

2

g

g

f

f

g

g

f

grad

grad

grad

















,

d)

f

f

h

f

h

grad

grad

)

(

)

(

/



, gdzie h jest funkcją różniczkowalną na pewnym przedziale,

e)

o

f

const

f









grad

,

f)





f

v

v

f

grad













, gdzie

v



jest wersorem.

Def. 4.3.4 (pole wektorowe potencjalne)

Pole wektorowe

F



nazywamy polem potencjalnym na obszarze V



R

3

, jeżeli istnieje funkcja

R

V

U



:

taka, że

U

F

grad





.

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego

F



.

Def. 4.3.5 (rotacja pola wektorowego)

Niech

)

,

,

(

R

Q

P

F





będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V



R

3

. Rotację pola wektoro-

wego

F



określamy wzorem:

R

Q

P

z

y

x

k

j

i

F

F

def































rot

.

Fakt 4.3.6 (własności rotacji)

Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V



R

3

oraz niech pola wektorowe

F



i

G



będą różniczkowalne na tym

obszarze. Wtedy

a)





G

b

F

a

G

b

F

a









rot

rot

rot







, gdzie a, b



R,

b)

 





F

f

F

f

F

f







rot

grad

rot







,

c)





o

U





grad

rot

, gdzie U jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły na V.

Def. 4.3.7 (dywergencja pola wektorowego)

Niech

)

,

,

(

R

Q

P

F





będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V



R

3

. Dywergencję pola

wektorowego

F



określamy wzorem:

z

R

y

Q

x

P

F

F

def





























div

.

Fakt 4.3.8 (własności dywergencji)

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły na obszarze V



R

3

oraz niech pola wektorowe

F



i

G



będą

różniczkowalne w sposób ciągły na tym obszarze. Wtedy

a)





G

b

F

a

G

b

F

a









div

div

div







, gdzie a, b



R,

b)

 





F

f

F

f

F

f









div

grad

div





,

c)





G

F

F

G

G

F

















rot

rot

div







,

d)

 

0



F



rot

div

, gdzie pole wektorowe

F



ma współrzędne dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V.

4.4 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA

Tw. 4.4.1 (wzór Gaussa)
Jeżeli

1.



jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V



R

3

,

2. pole wektorowe

)

,

,

(

R

Q

P

F





jest różniczkowalne w sposób ciągły na V,

to









V

dV

F

S

d

F









div

.

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Gaussa) przyjmuje postać:

dV

z

R

y

Q

x

P

dy

dx

R

dx

dz

Q

dz

dy

P

V









































.

Rys. 4.4.1 Ilustracja do wzoru Gaussa

Tw. 4.4.2 (wzór Stokesa)
Jeżeli

1.



jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg



jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym

zgodnie z orientacją płata



,

2. pole wektorowe

)

,

,

(

R

Q

P

F





jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie



(łącznie z brzegiem



),

to















S

d

F

r

d

F













rot

.

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Stokesa) przyjmuje postać:





















































































dy

dx

y

P

x

Q

dx

dz

x

R

z

P

dz

dy

z

Q

y

R

Rdz

Qdy

Pdx

.

Rys. 4.4.2 Ilustracja do wzoru Stokesa

Uwaga. Wzór Greena podany w rozdziale 2.4 jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że





xOy jest płatem zorientowanym o brzegu



oraz, że pole wektorowe

F



określone na tym płacie ma postać

)

0

,

,

(

Q

P

F





,

przy czym funkcje P i Q zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy



































dy

dx

y

P

x

Q

Qdy

Pdx

.

4.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Fakt 4.5.1 (zastosowania w geometrii)
Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym



zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:





























zdxdy

ydzdx

xdydz

ydzdx

xdydz

zdxdy

V

3

1

.

Fakt 4.5.2 (zastosowania w fizyce)
1. Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany



(ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża się

wzorem:







S

d

z

y

x

v

A







)

,

,

(

,

gdzie

)

,

,

(

z

y

x

v



oznacza prędkość cieczy w punkcie (x,y,z) tego płata.

2. Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego



, który jest zanurzony w tej cieczy,

wyraża się wzorem:



























zdxdy

zdzdx

zdydz

C

P

,

,



.