METODY OBLICZENIOWE

Elementy analizy matematycznej II

ROZWIJANIE W SZEREG TAYLORA

Rozwijanie funkcji jednej zmiennej

taylor (wyrażenie, punkt

1

, n)

Rozwijanie funkcji wielu zmiennych

mtaylor (wyrażenie, punkt

2

, n)

Oznaczenia:

wyrażenie – wyrażenie algebraiczne reprezentujące rozwijaną funkcję.
punkt

1

– równanie np. x = x

0

określające punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.

punkt

2

– zbiór lub lista równań określających punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.

n – (opcjonalny argument) liczba wyrazów rozwinięcia. Domyślnie program oblicza sześć

wyrazów rozwinięcia funkcji

CAŁKOWANIE

Całka nieoznaczona

int (

wyrażenie

, symbol)

Całka oznaczona

int (

wyrażenie

, symbol = a..b)

Całka wielokrotna

int (

wyrażenie

, [symbol

1

= a..b, symbol

2

= c..d, . . .])

Oznaczenia:

wyrażenie – całkowane wyrażenie.
symbol – nazwa zmiennej ze względu na którą całkujemy.

a, b, c, d – liczby oznaczające granice całkowania. Jeśli liczby te zadane są w formie

zmiennoprzecinkowej do całkowania użyte są metody numeryczne.

1. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję

)

3

cos(

)

(

x

x

f



w punkcie

0



x

dla domyślnej

wartości n określającej liczbę wyrazów rozwinięcia.

b) Następnie w jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szereg.

Uwaga: Przed wykreśleniem szeregu należy, za pomocą komendy convert z
opcją polynom, zamienić go na wyrażenie typu wielomianowego.

2. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję

x

x

x

f

2

e

)

(



w punkcie

1



x

dla

3

n



i

8

n



.

b) W jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szeregi.

c) Obliczyć wartość funkcji

)

(x

f

oraz wartość każdego rozwinięcia w

5

x

 

.

Odp: f(-5) = 0.2156, (n = 3) 1.1604, (n = 8) 0.2119

3. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję dwóch zmiennych

2

( , )

ln( )

f x y

x

y



w

punkcie

2

π

,

π





y

x

dla

3

n



i

9

n



.

b) Podać wartość funkcji

)

,

(

y

x

f

oraz każdego rozwinięcia w punkcie

5,

3

x

y





.

Odp. f(5,3) = 27.4653, (n = 3) 26.8084, (n = 9) 27.4448

4. Obliczyć całki:

a) ln(

)

x

x

dx



Odp:

2

2

1

ln(

)

ln( )

2

4

x

x

x x

x

x





b)



2

0

2

)

2

sin(

)

(

cos



dx

x

x

Odp:

1

2

c)

2

2

3

1

2

4

2

2

3

1

4

(

)

x

x

x

y

dy dx







































Odp:

39

2



5. Znaleźć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

1

e

2

5

1

2

4











x

y

i

x

y

.

Wskazówka: a) Wykreślić obie krzywe. b) Określić granice całkowania rozwiązując
odpowiednie równania. c) Obliczyć odpowiednią całkę oznaczoną.

Odp: 6.1818

6. Za pomocą komendy int obliczyć numerycznie

1

0

sin(

)

x

x

dx



.

Odp: 0.7029578376

7. Zaimplementować w formie procedury wzór trapezów

1

0

1

2

2

n

i

n

i

h

I

Y

Y

Y

























W powyższym wzorze h jest stałą odległością pomiędzy kolejnymi węzłami X

i

, i = 0, ..., n,

a Y

i

oznaczają wartości funkcji w tych punktach.

Parametrami formalnymi procedury będą: nazwa tablicy zawierającej wartości Y

i

, liczba

podprzedziałów – n oraz h.

8. Wykorzystać procedurę zdefiniowaną w zadaniu 7 do obliczenia całki z funkcji dyskretnej,

wygenerowanej poniższym kodem oraz zbadać dokładność obliczeń w zależności od liczby
węzłów.

> f:=x->ln(x^2+1):
> n:=10: # liczba podprzedzialów (liczba węzlów - 1)
> a:=0.: b:=4.: h:=(b-a)/n;
> X:=Array(0..n,[seq(a+h*i,i=0..n)]);
> Y:=map(f,X);

Wskazówka: dokładność obliczeń zbadać obliczając błąd względny procentowy pomiędzy
otrzymanym wynikiem, a całką obliczoną za pomocą procedur ścisłych (symbolicznych) z
funkcji analitycznej (zmienna f).