METODY OBLICZENIOWE

Elementy analizy matematycznej I

SYMBOLICZNE OBLICZANIE GRANIC I POCHODNYCH

OBLICZANIE GRANIC

limit

(wyrażenie, punkt, kierunek)

wyrażenie – wyrażenie algebraiczne.

punkt

– równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica wyrażenia np.

0

x

x

=

. Zamiast skończonej wartości x

0

można padać nazwę infinity

(nieskończoność).

kierunek

– dodatkowy parametr pozwalający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje

wartości right lub left.

OBLICZANIE POCHODNYCH

diff

(wyrażenie, symbol)

wyrażenie – różniczkowane wyrażenie.

symbol

– określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich
symboli.

D

[n](funkcja)

funkcja

– nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej

różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej
Maple’a

.

n

– numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla

pochodnych wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.

Zadania

1. Obliczyć następujące granice:

a)

tg( )

tg( )

tg( )

π

π

π

2

2

2

lim 2

, lim 2

, lim 2

x

x

x

x

x

x

−

+

→

→

→

Odp: nieokreślona, , 0

∞

b)

π

4

cos( ) sin( )

lim

cos(2 )

t

t

t

t

→

−

Odp.

2

2

c)

1

lim 1

n

n

n

→∞





+









Odp.

e

2. Za pomocą

komendy

diff

i operatora

D

obliczy

ć

nast

ę

puj

ą

ce pochodne:

a)

(

)

( ) ,

( )

5 arctg sin(2 )

f x

f x

x

′

=

Odp.

2

10 cos(2 )

1 sin (2 )

x

x

+

b)

2

( ) ,

( )

ln( )

f

x

f x

x

x

′′

=

w punkcie

0.5

x =

Odp. 1.6137

c)

3

2

2

2

( , )

,

( , )

e

x y

f x y

x

f x y

x y

y

∂

=

+

∂ ∂

w punkcie

1,

2

x

y

=

= − Odp.

3

4

3. Wyznaczyć ekstrema funkcji

2

( )

3

e

x

f x

x

x

=

+

−

. Określić ich charakter (minimum,

maksimum).

NUMERYCZNE OBLICZANIE POCHODNYCH

fdiff

(wyrażenie, symbol, punkt)

wyrażenie – różniczkowane wyrażenie.

symbol

– określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest lista odpowiednich
symboli.

punkt

– równanie postaci

0

x

x

=

lub, dla pochodnych funkcji wielu zmiennych, lista

równań określających punkt, w którym liczona jest pochodna.

Zadania

1. Obliczyć numerycznie pochodną

3

2

f

x

y

∂

∂

∂

funkcji

( )

sin

( , )

y

x

f x y

x

y

=

+

w punkcie

3,

2

x

y

=

= .

Odp: 55.79782256

2. Dla wygenerowanej w oparciu o poniższy kod funkcji dyskretnej (X

i

, Y

i

), i = 1, ..., n

obliczyć pierwszą pochodną (w każdym punkcie) za pomocą wzorów różnicowych
trójpunktowych. Zbadać dokładność otrzymanych wyników w zależności od liczby
punktów.

> f:=x->x^x;

> n:=10: # liczba punktów

> a:=1.: b:=3.: h:=(b-a)/(n-1):

> X:=[seq(a+i*h,i=0..n-1)]; # lista pierwszych wspólrzędnych

> Y:=map(f,X); # lista drugich wspólrzędnych

> plot(zip((x,y)->[x,y],X,Y),style=point);

Tok postępowania:

a) Wprowadzić w formie funkcji poniższe wzory trójpunktowe. Argumentem funkcji

będzie numer punktu w którym obliczana jest pochodna.

1

2

3

4

2

i

i

i

Y

Y

Y

i

h

+

+

−

+

−

→

– wzór prawostronny

1

1

2

i

i

Y

Y

i

h

+

−

−

→

– wzór centralny

2

1

4

3

2

i

i

i

Y

Y

Y

i

h

−

−

−

+

→

– wzór lewostronny

b) Wykorzystać wprowadzone wzory do obliczenia pochodnej w każdym punkcie, w

którym określona jest funkcja. W punktach skrajnych użyć wzorów jednostronnych, w
pozostałych punktach wykorzystać wzór centralny.

c) Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a

wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f) i
ewaluowanej w odpowiednich punktach.

d) Dokonać identycznych obliczeń jak w punkcie b i c zwiększając liczbę punktów, w

których określona jest funkcja na n = 20.

3. Obliczyć pochodną funkcji dyskretnej z zadania 2 wykorzystując wielomian

interpolacyjny. Zbadać dokładność obliczeń w zależności od liczby punktów, przyjąć
n

= 10 i 20.

Tok postępowania:

a) Dokonać interpolacji punktów (X

i

, Y

i

), i = 1, ..., n z zadania 2. Przyjąć precyzję

obliczeń Digits:=20.

b) Zróżniczkować otrzymany wielomian interpolacyjny.

c) Obliczyć wartość pochodnej wielomianu interpolacyjnego w każdym punkcie X

i

,

1,...,

i

n

=

.

d) Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a

wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f w
zadaniu 2) i ewaluowanej w odpowiednich punktach.