METODY OBLICZENIOWE 

 

Elementy analizy matematycznej I 

 
 

SYMBOLICZNE OBLICZANIE GRANIC I POCHODNYCH 

 
 

OBLICZANIE GRANIC 

 
 
limit

 (wyrażenie, punkt, kierunek) 

 

wyrażenie – wyrażenie algebraiczne. 

punkt

 – równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica wyrażenia np. 

0

x

x

=

. Zamiast skończonej wartości x

0

 można padać nazwę infinity 

(nieskończoność). 

kierunek

 – dodatkowy parametr pozwalający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje 

wartości right lub left.  

 
 
 

OBLICZANIE POCHODNYCH 

 
 
diff

 (wyrażenie, symbol) 

 

wyrażenie – różniczkowane wyrażenie. 

symbol

 – określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych 

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich 
symboli. 

 
 
D

 [n](funkcja) 

 

funkcja 

– nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej 

różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej 
Maple’a

. 

n

 – numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla 

pochodnych wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.  

 
 
 

 
 
 
 
Zadania 
 

1.  Obliczyć następujące granice:    
 

a) 

tg( )

tg( )

tg( )

π

π

π

2

2

2

lim 2

, lim 2

, lim 2

x

x

x

x

x

x

−

+

→

→

→

        Odp: nieokreślona,  , 0

∞

 

 

b) 

π

4

cos( ) sin( )

lim

cos(2 )

t

t

t

t

→

−

 

 

 

Odp. 

2

2

 

 

c) 

1

lim 1

n

n

n

→∞





+









   

 

 

Odp. 

e

 

 

2.  Za pomocą

 komendy 

diff

 i operatora 

D

 obliczy

ć

 nast

ę

puj

ą

ce pochodne:  

 

a) 

(

)

( ) ,

( )

5 arctg sin(2 )

f x

f x

x

′

=

 

 

 

 

Odp. 

2

10 cos(2 )

1 sin (2 )

x

x

+

 

 
b) 

2

( ) ,

( )

ln( )

f

x

f x

x

x

′′

=

 w punkcie 

0.5

x =

  

 

Odp. 1.6137 

 

c)  

3

2

2

2

( , )

,

( , )

e

x y

f x y

x

f x y

x y

y

∂

=

+

∂ ∂

 w punkcie 

1,

2

x

y

=

= −   Odp. 

3

4

 

 

 
3.  Wyznaczyć ekstrema funkcji 

2

( )

3

e

x

f x

x

x

=

+

−

. Określić ich charakter (minimum, 

maksimum). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

NUMERYCZNE OBLICZANIE POCHODNYCH 

 
 
fdiff

 (wyrażenie, symbol, punkt) 

 

wyrażenie – różniczkowane wyrażenie. 

symbol

 – określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych 

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest lista odpowiednich 
symboli. 

punkt

 – równanie postaci 

0

x

x

=

 lub, dla pochodnych funkcji wielu zmiennych, lista 

równań określających punkt, w którym liczona jest pochodna.   

 
 
 
Zadania 

1. Obliczyć numerycznie pochodną 

3

2

f

x

y

∂

∂

∂

 funkcji 

( )

sin

( , )

y

x

f x y

x

y

=

+

 w punkcie 

3,

2

x

y

=

= . 

Odp: 55.79782256 

 
 
2. Dla wygenerowanej w oparciu o poniższy kod funkcji dyskretnej (X

i

, Y

i

), i = 1, ..., n 

obliczyć pierwszą pochodną (w każdym punkcie) za pomocą wzorów różnicowych 
trójpunktowych. Zbadać dokładność otrzymanych wyników w zależności od liczby 
punktów. 

 

> f:=x->x^x;

 

> n:=10: # liczba punktów

 

> a:=1.: b:=3.: h:=(b-a)/(n-1):

 

> X:=[seq(a+i*h,i=0..n-1)]; # lista pierwszych wspólrzędnych

 

> Y:=map(f,X); # lista drugich wspólrzędnych

 

> plot(zip((x,y)->[x,y],X,Y),style=point);

 

 
     Tok postępowania: 
 

a)  Wprowadzić w formie funkcji poniższe wzory trójpunktowe. Argumentem funkcji 

będzie numer punktu w którym obliczana jest pochodna. 

 

1

2

3

4

2

i

i

i

Y

Y

Y

i

h

+

+

−

+

−

→

 – wzór prawostronny  

1

1

2

i

i

Y

Y

i

h

+

−

−

→

– wzór centralny 

2

1

4

3

2

i

i

i

Y

Y

Y

i

h

−

−

−

+

→

– wzór lewostronny 

 

b)  Wykorzystać wprowadzone wzory do obliczenia pochodnej w każdym punkcie, w 

którym określona jest funkcja. W punktach skrajnych użyć wzorów jednostronnych, w 
pozostałych punktach wykorzystać wzór centralny.  

 
c)  Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a 

wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f) i 
ewaluowanej w odpowiednich punktach.  

 

d)  Dokonać identycznych obliczeń jak w punkcie b i c zwiększając liczbę punktów, w 

których określona jest funkcja na n = 20.  

 
 
 
3.  Obliczyć pochodną funkcji dyskretnej z zadania 2 wykorzystując wielomian 

interpolacyjny. Zbadać dokładność obliczeń w zależności od liczby punktów, przyjąć       
n

 = 10 i 20. 

 
Tok postępowania: 

 

a)  Dokonać interpolacji punktów (X

i

, Y

i

), i = 1, ..., n  z zadania 2. Przyjąć precyzję 

obliczeń Digits:=20. 
 

b)  Zróżniczkować otrzymany wielomian interpolacyjny. 

 

c)  Obliczyć wartość pochodnej wielomianu interpolacyjnego w każdym punkcie X

i

, 

1,...,

i

n

=

.  

 

d)  Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a 

wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f w 
zadaniu 2) i ewaluowanej w odpowiednich punktach.