POCHODNE FUNKCJI

Narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

Definicja

Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja .

Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie . Z kolei punkt nazywamy punktem różniczkowalności funkcji .

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem . Czasem używa się też symboli:

Stosowane są również inne oznaczenia.

Przykład

Niech W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej w dowolnym punkcie .

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność w punkcie oznacza istnienie stycznej do wykresu w punkcie nierównoległej do osi , zaś wartość jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi ).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna – stromy wykres, niewielka pochodna – wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna – wykres opadający itp.).

Różniczkowalność w zbiorze

Jeśli dziedziną funkcji jest zbiór otwarty i jeśli ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze , a funkcję , która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę , nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli jest funkcją drogi od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową.

Jeśli jest funkcją prędkości od czasu, to jest przyspieszeniem.

Druga i dalsze pochodne

Jeżeli pochodna funkcji jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez i nazywa pochodną drugiego rzędu funkcji lub prościej drugą pochodną funkcji .

Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

,

albo arabskimi – jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą jej stopień ujmuje się w nawiasy:

Zgodnie z tą konwencją, samą funkcję oznacza się czasem jako jej własną "pochodną zerową":

W równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się również kropkami nad funkcją (zmienną w równaniach różniczkowych):

itp.

Dla funkcji liczbę nazywamy rzędem pochodnej.

n-krotna różniczkowalność

O funkcji, która ma drugą pochodną (w punkcie lub w przedziale), mówimy że jest dwukrotnie różniczkowalna (odpowiednio w punkcie lub przedziale). Podobnie dla dalszych pochodnych. Ogólnie, jeżeli funkcja ma pochodnych na zbiorze otwartym, to nazywamy ją n-krotnie różniczkowalną na tym zbiorze.

Klasa

Jeżeli funkcja w zbiorze otwartym ma pochodnych i n-ta pochodna jest ciągła na , to nazywamy funkcją klasy .

WŁASNOŚCI POCHODNYCH

• Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.

• Funkcja różniczkowalna w jest w tym punkcie ciągła.

Podstawowe wzory

Niech będą różniczkowalne na zbiorze otwartym , zaś będzie ustalonym skalarem (tzw. stałą). Zachodzą wtedy poniższe wzory:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze .
W tym wypadku zakładamy, że jest różniczkowalna na oraz jest różniczkowalna na .

Pojęcie pochodnej wprowadzane jest nie tylko dla funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna	Uwagi

• W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.

Zastosowania

Pochodne funkcji mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej otrzymać można informacje o bardziej złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:

• matematyka – badania przebiegu zmienności funkcji, w tym szukanie jej ekstremów:

  • monotoniczność funkcji – jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca, podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne, funkcja jest w przedziale niemalejąca, a jeśli niedodatnie - nierosnąca,

  • punkt, w którym pochodna zmienia znak jest punktem krytycznym funkcji,

  • wypukłość funkcji – o ile w danym przedziale istnieje druga pochodna i jest ona nieujemna, to funkcja jest wypukła ("wypukła w dół"), gdy jest niedodatnia, to funkcja jest wklęsła ("wypukła w górę"),

  • pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się za pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych (sprawdzenie dany punkt jest punktem przegięcia, czy ekstremum lokalnym),