EKSTEREMUM FUNKCJI

Warunek konieczny istnienia ekstremum (Twierdzenie Fermata)

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i pochodną

f '(x0), to f '(x0) = 0.

Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których pochodna jest równa zeru, bądź w których nie istnieje.

I warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz ma pochodną f '(x0) w pewnym sąsiedztwie

S(x0, δ) = S-(x0, δ)∪S+(x0, δ)

oraz

f '(x0) < 0 dla każdego x∈S-(x0, δ) i f '(x0) > 0 dla każdego x∈S+(x0, δ),

to funkcja f ma w punkcie x0 minimum (właściwe);

f '(x0) > 0 dla każdego x∈S-(x0, δ) i f '(x0) < 0 dla każdego x∈S+(x0, δ),

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (właściwe).

Mniej dokładnie określimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum, jeżeli pochodna

przechodząc przez punkt x0 zmienia znak.

II warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:

- ma pochodną f ''(x) w pewnym otoczeniu

U(x0, δ),

- f ''(x) jest ciągła w punkcie x0,

- f '(x0) = 0 i f ''(x0) ≠ 0,

to funkcja f ma w punkcie x0:

a) minimum właściwe, gdy f ''(x0) > 0

b) maksimum właściwe, gdy f ''(x0) < 0.

Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.

Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.

Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.

Istnieją funkcje nie posiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni:

• minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte U punktu takie, że dla każdego

więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

• maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego

więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od

(ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

• właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od czyli nie ma wartości równych dla formalnie:

dla każdego

• właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od formalnie:

dla każdego

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym ma w punkcie swojej dziedziny:

• minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

• maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

• właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości większe od

• właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości mniejsze od

Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.

Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.