1. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

1.1 POJĘCIA WSTĘPNE

Def. 1.1.1 (równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:
(R)

)

,

(

'

y

t

f

y



.

Uwaga. Będziemy się również posługiwali tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci

0

)

,

(

)

,

(





dy

y

t

Q

dt

y

t

P

.

Jednak najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu pierwszego jest równanie postaci

0

)

'

,

,

(



y

y

t

F

.

Inaczej mówiąc równanie różniczkowe rzędu pierwszego jest zależnością między funkcją niewiadomą, zmienną niezależną i
pierwszą pochodną funkcji niewiadomej.

Def. 1.1.2 (rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję y(t) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R) na przedziale (a,b), jeżeli jest ona różniczkowalna na tym
przedziale oraz zamienia to równanie w tożsamość





)

(

,

)

(

'

t

y

t

f

t

y



,

prawdziwą dla wszystkich t



(a,b). Wykres (rys. 1) rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.

Rys. 1 Krzywa całkowa

Uwaga. Analogicznie określamy rozwiązania na przedziałach postaci: [a,b), (a,b], [a,b], (-



,b), (-



,b], [a,



), (-



,



). Przy

czym w przypadku, gdy rozwiązanie określone jest na przedziale domkniętym z jednego lub obu końców, przez jego pochodną
na końcu przedziału rozumiemy odpowiednią pochodną jednostronną. Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci
uwikłanej

0

)

,

(





y

t

nazywamy całką tego równania. Ponieważ każde rozwiązanie jest całką (niekoniecznie odwrotnie), więc często w odniesieniu
do rozwiązań używa się także terminu całka. Stąd mówimy zwyczajowo scałkować równanie różniczkowe, zamiast rozwiązać
równanie.

Def. 1.1.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunek

(W)

0

0

)

(

y

t

y



nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko

(RW)

0

0

)

(

),

,

(

'

y

t

y

y

t

f

y





Przy czym liczby t

0

i y

0

nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem początkowym.

Def. 1.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale
zawierającym t

0

i spełnia warunek (W).

Rys. 2

Uwaga. W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego, polega na znalezieniu wśród wszystkich
krzywych całkowych równania (R) tej, która przechodzi przez punkt (t

0

,y

0

) (rys.2). Jednak zagadnienie to niekoniecznie musi

mieć jednoznaczne rozwiązanie. Może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie danego zagadnienia początkowego. Istnienie
rozwiązań zagadnienia początkowego oraz ich jednoznaczność jest jednym z głównych problemów teorii równań
różniczkowych zwyczajnych.

Tw. 1.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (R))

Niech funkcja f(t,y) oraz jej pochodna cząstkowa

y

f





będą określone i ciągłe na obszarze domkniętym D



R

2

. Wtedy dla

każdego punktu (t

0

,y

0

)



D, zagadnienie początkowe (RW) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Uwaga. Inaczej mówiąc przy dowolnych wartościach początkowych wybranych z obszaru D istnieje zawsze rozwiązanie
zagadnienia początkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o tych samych wartościach początkowych (W),
przy czym każde z rozwiązań określone jest na pewnym przedziale zawierającym punkt t

0

, to rozwiązania te pokrywają się na

wspólnej części rozważanych przedziałów.

Def. 1.1.6 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji

)

,

( C

t

y

y



,

zależnych od parametru rzeczywistego C, nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (R), jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest jego rozwiązaniem,
2. dla każdego warunku początkowego

0

0

)

(

y

t

y



, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne można dobrać stałą C

tak, aby

0

0

)

,

(

y

C

t

y



.

Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonej wartości parametru C nazywamy rozwiązaniem
szczególnym tego równania.

Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametru C można otrzymać
rozwiązanie zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, określone w postaci uwikłanej

0

)

,

,

(





C

y

t

,

nazywamy całką ogólną tego równania.


1.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Def. 1.2.1 (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
(S)

)

(

)

(

'

y

h

t

g

y



.

Uwaga. Zauważmy, że jeżeli h(y

0

) = 0 dla pewnego y

0

, to funkcja y(t)



y

0

jest jednym z rozwiązań powyższego równania. W

formie różniczkowej o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać

dt

t

g

y

h

dy

)

(

)

(



.

Fakt 1.2.2 (całka ogólna równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y)



0 dla każdego y



(c,d).

Wtedy całka ogólna równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem









C

dt

t

g

y

h

dy

)

(

)

(

Uwaga. Całki w powyższym wzorze rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.

Tw. 1.2.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y)



0 dla każdego y



(c,d).

Wtedy dla każdego punktu (t

0

,y

0

), gdzie t

0



(a,b), y

0



(c,d), zagadnienie początkowe

0

0

)

(

),

(

)

(

'

y

t

y

y

h

t

g

y





ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t

0

,y

0

) prostokąta (a,b)



(c,d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys.3)

równania y’ = g(t)h(y).

Rys. 3

1.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE

Def. 1.3.1 (równanie różniczkowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci

(J)















t

y

f

y'

.

Uwaga. Jeżeli f(u)



u, to równanie jednorodne przyjmuje postać

t

y

y



'

i całkuje się przy pomocy metody rozdzielonych

zmiennych. Jego rozwiązanie ogólne dane jest wtedy wzorem y(t) = Ct, gdzie C



R. jeżeli f(u

0

) = u

0

dla pewnego u

0

, to

jedynym rozwiązaniem równania (J) jest funkcja y(t) = u

0

t.

Fakt 1.3.2 (o zamianie zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennych

y=ut

sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych postaci

tu’ = f(u) – u

.

Tw. 1.3.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (J))
Niech funkcja f(u) będzie ciągła na przedziale (a,b) i niech spełnia na nim warunek f(u)



u. Wtedy dla każdego punktu (t

0

,y

0

)

takiego, że

b

t

y

a





0

0

zagadnienie początkowe

0

0

)

(

,

'

y

t

y

t

y

f

y

















ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rys. 4

Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t

0

,y

0

) obszaru

















b

t

y

a

y

t

:

)

,

(

,

przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 4) równania (J).

1.4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE

Def. 1.4.1 (równanie różniczkowe liniowe)
Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci
(L)

)

(

)

(

'

t

q

y

t

p

y





.

Jeżeli q(t)



0, to równanie nazywamy niejednorodnym. W przypadku przeciwnym nazywamy je jednorodnym.

Uwaga. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych y’=g(t)h(y), w którym przyjęto g(t) = – p(t), h(y) = y.

Tw. 1.4.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (L))
Niech funkcje p(t) i q(t) będą ciągłe na przedziale (a,b), gdzie –





a < b





. Wtedy dla każdego punktu (t

0

,y

0

), gdzie t

0



(a,b) oraz y

0



R, zagadnienie początkowe

0

0

)

(

),

(

)

(

'

y

t

y

t

q

y

t

p

y







ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a,b).

Rys. 5

Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt pasa (a,b)



R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 5) równania

różniczkowego liniowego.

1.5 RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE BERNOULLIEGO

Def. 1.5.1 (równanie różniczkowe Bernoulliego)
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci

r

y

t

q

y

t

p

y

)

(

)

(

'





,

gdzie r



R-{0,1}.

Uwaga. Gdyby dopuścić r = 0, to równanie Bernoulliego byłoby równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.
Natomiast dla r = 1, równanie to byłoby równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Zauważmy jeszcze, że dla r > 0
funkcja y(t)



0 jest zawsze jednym z rozwiązań równania Bernoilliego.

Fakt 1.5.2 (sprowadzanie równania Bernoulliego do równania liniowego)
Równanie Bernoulliego

r

y

t

q

y

t

p

y

)

(

)

(

'





,

gdzie r



0, 1, przez zamianę zmiennych

r

y

z





1

sprowadza się do równania liniowego niejednorodnego postaci

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

'

t

q

r

z

t

p

r

z









.

1. 6 KRZYWE ORTOGONALNE

Def. 1.6.1 (równanie rodziny krzywych)
Jeżeli równanie

0

)

,

,

(





C

y

t

dla każdej wartości parametru C z pewnego przedziału określa krzywą, to nazywamy je równaniem rodziny krzywych (rys. 6).

Def. 1.6.1 (rodzina krzywych ortogonalnych)
Mówimy, że rodziny krzywych



(t,y,C) = 0,



(t,y,C) = 0 są ortogonalne, jeżeli w każdym punkcie przecięcia krzywych z obu

rodzin, krzywe te tworzą między sobą kąt prosty (rys. 7).

Rys. 6

Rys. 7

Fakt 1.6.2 (równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych)
Jeżeli F(t,y,y’) = 0 jest równaniem różniczkowym rodziny krzywych, to równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonal-
nych ma postać

0

'

1

,

,

















y

y

t

F

.

1.7 POJĘCIA WSTĘPNE DLA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WYŻSZYCH RZĘDÓW

Def. 1.7.1 (równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci

(R)

)

,...,

'

,

,

(

)

1

(

)

(





n

n

y

y

y

t

f

y

.

Uwaga. Najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu n jest wyrażenie postaci

0

)

,...,

'

,

,

(

)

(



n

y

y

y

t

F

.

Def. 1.7.2 (rozwiązanie równania różniczkowego n-tego rzędu)
Funkcję y(t), różniczkowalną n-krotnie na przedziale otwartym (a,b), nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R)
na tym przedziale, jeżeli zamienia to równanie w tożsamość





)

(

),...,

(

'

),

(

,

)

(

)

1

(

)

(

t

y

t

y

t

y

t

f

t

y

n

n





prawdziwą dla wszystkich t należących do przedziału t



(a,b). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego

krzywą całkową.

Def. 1.7.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunki

(W)

1

0

)

1

(

1

0

0

0

)

(

,...,

)

(

'

,

)

(











n

n

y

t

y

y

t

y

y

t

y

,

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Uwaga. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko

(RW)





1

0

)

1

(

1

0

0

0

)

1

(

)

(

)

(

,...,

)

(

'

,

)

(

,

,...,

'

,

,















n

n

n

n

y

t

y

y

t

y

y

t

y

y

y

y

t

f

y

,

przy czym liczby t

0

i y

0

, y

1

, ..., y

n-1

nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem

początkowym.

Def. 1.7.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW) jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na przedziale
zawierającym punkt t

0

i jeżeli spełnia warunki (W).

Def. 1.7.5 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji

)

,...,

,

,

(

2

1

n

C

C

C

t

y

y



zależnych od n rzeczywistych parametrów C

1

, C

2

, ..., C

n

nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania





)

1

(

)

(

,...,

'

,

,





n

n

y

y

y

t

f

y

, jeżeli:

1. każda funkcja tej rodziny jest rozwiązaniem tego równania,
2. dla każdego układu warunków początkowych

0

0

)

(

y

t

y



,

1

0

)

(

'

y

t

y



, ...,

1

0

)

1

(

)

(







n

n

y

t

y

, dla którego rozwiązanie

istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać stałe C

1

, C

2

, ..., C

n

tak, aby

1

2

1

0

)

1

(

1

2

1

0

0

2

1

0

)

,...,

,

,

(

,...,

)

,...,

,

,

(

'

,

)

,...,

,

,

(











n

n

n

n

n

y

C

C

C

t

y

y

C

C

C

t

y

y

C

C

C

t

y

.

Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonych wartościach parametrów C

1

, C

2

, ..., C

n

nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego równania.

Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametrów C

1

, C

2

, ..., C

n

można otrzymać rozwiązanie zagadnienia początkowego.

1.8 RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO

Fakt 1.8.1 (równanie różniczkowe postaci y’’ = f(t,y’))
Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci

)

'

,

(

'

'

y

t

f

y



przez podstawienie y’ = u sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego postaci

)

,

(

'

u

t

f

u



.

Fakt 1.8.2 (równanie różniczkowe postaci y’’ = f(y,y’))
Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci

)

'

,

(

'

'

y

y

f

y



przez podstawienie y = q(y) sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego postaci

)

,

(

q

y

f

dy

dq

q



.