Analiza Matematyczna 1

MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057

Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 15 jednostek odpowiadających ko-

lejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden podpunkt z każdego zadania.
Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone literą (P) są proste.
Te zadania należy rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką (*) są trudniejsze. Te
nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów.

Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych.

W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy
te można wykorzystać m.in. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdo-
wania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań
algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp. Szczególnie polecamy stronę internetową
Wolfram Alpha.

Można także korzystać z darmowych programów: Maxima, Microsoft Mathe-

matics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnych: Derive, Mathematica, Matlab,
Maple, Scientific WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych
do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji.

Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w

egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można
znaleźć na stronie internetowej

http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html

Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych

przez studentów na sprawdzianach z matematyki.

http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜skoczylas/typowe bledy studentow.pdf

Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas

Wrocław, wrzesień 2013

Lista 1

1. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:

(a) „Amsterdam jest stolicą Holandii”; (b) „liczba 123888 jest podzielna przez 8”;
(c) „a

2

+ b

2

= c

2

”;

(d) „trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest ostrokątny”;

(e) „2

5

­ 32”;

(f) „∆ = b

2

− 4ac”.

2. Napisać zaprzeczenia zdań:

(a) „jem śniadanie i słucham radia”;

(b) „kwadrat nie jest pięciokątem”;

(c) „stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”; (d) „jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen”;
(e) „liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3”.

1

3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
(a) „nieprawda, że funkcja f(x) = x

2

jest rosnąca na R”;

(b) „(−1)

44

= −1 lub 2008 jest liczbą parzystą”;

(c) „funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3

x

nieparzysta”;

(d) „jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;
(e) „liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna
przez 9”.

4. Rozwiązania równań i nierówności zawierających funkcje p i q zapisać, używając spójników logicz-
nych, jako rozwiązania równań i nierówności zawierających tylko jedną funkcję:

(a) p(x)q(x) = 0;

(b) p(x)q(x) < 0;

(c)

p(x)
q(x)

­ 0;

(d) p(x)

q

q(x) ¬ 0.

5. Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi:

(a) ¬ (p ∨ q) =⇒ [(¬p) ∧ (¬q)] ; (b) p =⇒ [(q ∧ ¬q) =⇒ r] ;
(c) (p =⇒ q) ⇐⇒ [(¬p) ∨ q] ;

(d) [p ∧ (¬q)] ∨ [(¬p) ∧ q]?

6. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:

(a)

_

x

∈R

sin x =

1
2

;

(b)

^

x

∈R

x

2

+ 4x + 3 > 0;

(c)

^

x

∈R

_

y

∈R

x

2

− y

2

= 0;

(d)

_

y

∈R

^

x

∈R

xy = 0;

(e)

^

x

∈R

^

y

∈R

(y ¬ x) ∨ (y > x);

(f)

^

y

∈R

_

x

∈R

! x ∈



−

π

2

,

π

2



∧ tg x = y.

7. Dla podanych par zbiorów A, B ⊂ R wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A

c

, B

c

, A△B:

(a) A = (0, 5), B = [0, 7]; (b) A = (−∞, 3), B = [−1, ∞); (c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}.

Wskazać te pary A, B, dla których A ⊂ B.

8 (P). Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b i
naszkicować ich wykresy:

(a) y = 1;

(b) y − x = 0;

(c) y = −x + 4;

(d) y + 2x = 2;

(e) 3x + 4y − 2 = 0;

(f) x − 5y = 3.

9 (P). Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i naszkicować ich wy-
kresy:

(a) f(x) = −x

2

+ x;

(b) f(x) = 2x

2

+ 1;

(c) f(x) = x

2

+ x +

1
4

;

(d) f(x) = x

2

+ 2x − 3;

(e) f(x) = −2x

2

− 2x +

3
2

;

(f) f(x) = −x

2

− 3x −

9
4

.

Lista 2

10. Określić i narysować dziedziny funkcji:

(a) f(x) =

x

x

2

− 2x − 3

; (b) f(x) =

x − 2

x

2

+ 4

; (c) f(x) =

p

16 − x

2

; (d) f(x) =

x − 1

√

x − 1

.

11. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach:

(a) f(x) = −4x + 5, R; (b) f(x) =

√

3 − x, (−∞, 3]; (c) f(x) = 4x − x

2

, [2, ∞).

12. Określić funkcje złożone f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g oraz podać ich dziedziny, jeżeli:

(a) f(x) = x

2

, g(x) = x + 1;

(b) f(x) =

1
x

, g(x) = x

2

;

(c) f(x) =

√

x, g(x) = x

4

;

(d) f(x) = |x|, g(x) =

√

x + 1.

2

13. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:

(a) f(x) = 2x − 3, R;

(b) f(x) =

1
x

,

R

\ {0};

(c) f(x) = x

4

,

[0, ∞).

14 (P). Korzystając z własności logarytmów obliczyć:

(a) log

6

3 + log

6

12;

(b) log

3

18 − log

3

2;

(c) 9 log

6

3

√

36;

(d) 3 log

a

4 + log

a

1
4 −

4 log

a

2; (e) 3 log

4

√

3 −

1
2

log

4

3 + 3 log

4

2 − log

4

6; (f)

log

2

54 − log

2

6

log

2

27 − log

2

9

.

15. Naszkicować wykresy funkcji:

(a) y = (x + 1)

4

; (b) y =

√

x − 2; (c) y =

1

(x + 3)

2

;

(d) y = 2

x

+1

;

(e) y =



1
3



x

−2

;

(f) y = 4

|x|

;

(g) y = 5 + log

2

x;

(h) y = |log 100x|; (i) y = log

1
3

|x|

9

.

16. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:

(a) f(x) =

x + 1
x − 1

;

(b) f(x) = 3 −

3

√

x + 2;

(c) f(x) = 2

x

−1

;

(d) f(x) = 4

1
x

;

(e) f(x) = log(x + 2); (f) f(x) = log

1
2

2x;

(g) f(x) = log

3
2

(x + 1).

Lista 3

17 (P). Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować wykresy funkcji:

(a) y = sin 2x;

(b) y = sin

x

3

;

(c) y = sin



x +

π

4



;

(d) y = 1 + sin x;

(e) y =

1
2

sin x − 1;

(f) y = sin 2



x −

π

6



.

18. Naszkicować wykresy funkcji:

(a) y = cos x −






1
2

cos x






; (b) y = 1 + ctg



x +

π

4



; (c) y = tg x + | tg x|; (d) y = |tg x| ctg x.

19. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:

(a)

1 + tg α

1 + ctg α

= tg α;

(b) sin

4

α+cos

4

α = 1−

1
2

sin

2

2α;

(c) tg α + ctg α =

2

sin 2α

;

(d) tg

α

2

=

1 − cos α

sin α

;

(e) sin

4

α−cos

4

α = sin

2

α−cos

2

α;

(f)

1

cos α −

cos α = sin α tg α.

Dla jakich kątów α są one prawdziwe?

20 (P). Podaj wartości wyrażeń:

(a) arcsin

√

2

2

+ arccos

1
2

; (b) arc ctg 1 · arc tg 1; (c)

arcsin

−

√

3

2

!

arcsin 1

; (d) arc tg

√

3 − arc ctg

√

3.

21. Określić dziedziny funkcji:

(a) f(x) = arcsin(2x + 1);

(b) f(x) = arccos



x

2

+

1
2



;

(c) f(x) = arc tg

1

x + 1

;

(d) f(x) = arc ctg 2

x

.

3

22*. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:

(a) f(x) = sin x, x ∈



π

2

,

3π

2



;

(b) f(x) = cos x, x ∈ [π, 2π];

(c) f(x) = tg x, x ∈



−

3π

2

, −

π

2



;

(d) f(x) = ctg x, x ∈ (π, 2π).

Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.

Lista 4

23. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:

(a) a

n

=

2 + cos n

3 − 2 sin n

;

(b) a

n

=

n

√

2

n

+ 1;

(c) a

n

=

4

n

− 1

2

n

+ 3

;

(d) a

n

=

√

n + 8 −

√

n + 3;

(e*) a

n

=

1

4

1

+ 1

+

1

4

2

+ 2

+ . . . +

1

4

n

+ n

;

(f) a

n

= 1 − 3

n

.

24. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

(a) a

n

=

2n + 1

n + 2

;

(b) a

n

=

n

n

2

+ 1

;

(c) a

n

=

n!

10

n

;

(d) a

n

=

1

n

2

− 6n + 10

;

(e) a

n

=

4

n

2

n

+ 3

n

;

(f) a

n

=

p

n

2

+ 1 − n.

25. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:

(a) lim

n

→∞

3 − n
n + 4

= −1;

(b) lim

n

→∞

1

n

2

= 0;

(c) lim

n

→∞

2

n

= ∞.

26. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:

(a) lim

n

→∞

3n − 1

n + 4

;

(b) lim

n

→∞

n + 1

2n

2

+ 1

;

(c) lim

n

→∞

n

3

+ 2n

2

+ 1

n − 3n

3

;

(d) lim

n

→∞

n

20

+ 2

3

(n

3

+ 1)

20

;

(e) lim

n

→∞

1 + 3 + . . . + (2n − 1)

2 + 4 + . . . + 2n

;

(f) lim

n

→∞

5

n

− 4

n

5

n

− 3

n

;

(g) lim

n

→∞

n

2

+ 1

n! + 1

(2n + 1)(n + 1)!

; (h) lim

n

→∞

p

n

2

+ 4n + 1 −

p

n

2

+ 2n



; (i) lim

n

→∞

q

n + 6

√

n + 1 −

√

n



.

27. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:

(a) lim

n

→∞

2n + (−1)

n

3n + 2

;

(b) lim

n

→∞

⌊nπ⌋

n

;

(c) lim

n

→∞

n

√

3 + sin n;

(d) lim

n

→∞

n

r

1

n

+

2

n

2

+

3

n

3

; (e) lim

n

→∞



1

n

2

+ 1

+

1

n

2

+ 2

+ . . . +

1

n

2

+ n



; (f) lim

n

→∞

n

s

3

n

+ 2

n

5

n

+ 4

n

.

28. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:

(a) lim

n

→∞



1 +

1

n



3n

−2

; (b) lim

n

→∞



5n + 2
5n + 1



15n

; (c) lim

n

→∞



3n

3n + 1



n

; (d) lim

n

→∞



n + 4
n + 3



5

−2n

.

29. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

(a) lim

n

→∞

n

2

+ 1

n

;

(b) lim

n

→∞



n

4

− 3n

3

− 2n

2

− 1



;

(c) lim

n

→∞

(1 + 2

n

− 3

n

);

(d) lim

n

→∞



n + 1

2n



n

;

(e) lim

n

→∞

1 − (n + 1)!

n! + 2

;

(f) lim

n

→∞

arc tg n

arc ctg n

.

4

30. Będziemy mówili, że ciągi (a

n

), (b

n

) o dodatnich wyrazach, zbieżne do granicy właściwej lub

niewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy

lim

n

→∞

a

n

b

n

= 1.

Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie równe:
(a) a

n

= n

2

+ 2, b

n

=

p

2n

4

+ 1;

(b) a

n

= n

4

− n

3

− 10, b

n

= n

4

; (c) a

n

=

n

√

1 + 2

n

+ 3

n

, b

n

= 3;

(d) a

n

=

1

3

n

+ 5

n

, b

n

=

1

2

n

+ 6

n

; (e) a

n

= (n + 1)!, b

n

= n · n!;

(f*) a

n

= n!, b

n

= a

n

, (a > 0).

Jeżeli granica lim

n

→∞

a

n

b

n

jest liczbą dodatnią, to mówimy, że ciągi (a

n

), (b

n

) są tego samego rzędu. Które

z podanych par ciągów są tego samego rzędu?

Lista 5

31. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:

(a) lim

x

→3

(x − 2)

5

= 1;

(b) lim

x

→∞

2

x

= 0;

(c) lim

x

→ 2

+

1

x − 2

= ∞.

32. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:

(a) lim

x

→1

x

2

− 1

x

2

− x + 1

;

(b) lim

x

→2

x

2

− 4

x

2

− x − 2

;

(c) lim

x

→0

x +

√

x

√

x

;

(d) lim

x

→1

x

3

− 1

x

4

− 1

;

(e) lim

x

→∞

x

2

− 5x + 4

x(x − 5)

; (f) lim

x

→6

√

x − 2 − 2

x − 6

; (g) lim

x

→−∞

p

x

2

+ 1 + x



; (h) lim

x

→∞

2

x

+ 1

3

x

+ 2

;

(i) lim

x

→

π

2

−

tg

2

x + 1

tg

2

x + 5

;

(j) lim

x

→0

sin

2

x

1 − cos x

.

33. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:

(a) lim

x

→0

x sgn x;

(b) lim

x

→0

2

1

x

3

; (c) lim

x

→2

x

2

− 4

|x − 2|

; (d) lim

x

→0

x arc tg

1
x

.

34. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:

(a) lim

x

→0

+

√

x cos

1

x

2

= 0; (b) lim

x

→0

x

3

arc tg

1

x

= 0; (c) lim

x

→−∞

2

−x

+ sin x

2

−x

+ cos x

= 1; (d) lim

x

→∞

2+sin x

x

2

= 0.

35. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:

(a) lim

x

→0

sin

2

3x

x

2

;

(b) lim

x

→∞

tg

1

x

tg

2

x

;

(c) lim

x

→0

arcsin 2x

arc tg x

;

(d) lim

x

→∞

x

2

arc tg

1

x

;

(e) lim

x

→

π

2

cos 5x
cos 3x

;

(f) lim

x

→0

e

3x

− 1

sin 2x

;

(g) lim

x

→0

ln (1 +

3

√

x)

x

;

(h*) lim

x

→−∞

ln (1 + 2

x

)

3

x

;

(i) lim

x

→0

+

2

x

− 1

4

√

x

− 1

;

(j) lim

x

→0

(1 + 2x)

1
x

;

(k) lim

x

→0

[1 + tg(2x)]

ctg x

;

(l) lim

x

→0

3

√

1 + x −

6

√

1 − x

x

.

36. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:

(a) f(x) =

x

3

+ x

2

x

2

− 4

;

(b) f(x) =

2x

3

(x + 1)

2

;

(c) f(x) =

x − 3

√

x

2

− 9

;

(d) f(x) =

√

1 + x

2

x

;

(e) f(x) =

3

x

3

x

− 9

;

(f) f(x) =

sin

2

x

x

3

;

(g) f(x) =

cos x

e

x

+ 1

;

(h) f(x) = x − arc tg x;

(i*) f(x) =



1 +

1

x



x

.

5

Lista 6

37. Dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R:

(a) f(x) =







a
x

+1 dla x < −1,

b − 2x dla x ­ −1;

(b) f(x) =











sin x dla |x| ­

π

2

,

ax+b dla |x| <

π

2

;

(c) f(x) =











ax

2

+1 dla x < −1,

2x

dla −1 ¬ x ¬ 0,

x

3

+bx dla x > 0.

Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji ciągłych.

38 (P). Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o wykresach:

(a)

y

x

a

y = f (x)

(b)

y

x

a

y = f (x)

(c)

y

x

a

y = f (x)

(d)

y

x

a

y = f (x)

(e)

y

x

a

y = f (x)

(f)

y

x

a

y = f (x)

39. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj:

(a) f(x) =



















x + 2

x

2

+ x + 2

dla x 6= 1, 2

0

dla x = 1,

1

dla x = 2;

(b) f(x) =







arc tg

1

x

dla x 6= 0,

0

dla x = 0;

(c) f(x) =











x

2

−1

√

x−1

dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),

3

dla x = 1;

(d) f(x) =







|x| + x

x

2

dla x 6= 0,

0

dla x = 0;

(e) f(x) = sgn [x(x − 1)];

(f) f(x) =







1 − cos

1

x

dla x 6= 0,

0

dla x = 0.

40. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:

(a) x

3

+ 6x − 2 = 0, [0, 1];

(b) x sin x = 7,



2π,

5π

2



;

(c) 1 =

sin x

2

+ x,



0,

π

2



;

(d) x

100

+ x − 1 = 0,



1
2

, 1



;

(e) 3

x

+ x = 3, [0, 1];

(f) x2

x

= 1, [0, 1].

Wyznaczyć rozwiązania równania (a) 0.125.

41*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia
ekstremalne mają rozwiązania:
(a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
(b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy
obwód;
(c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe
pole (założyć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta).

6

Lista 7

42. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:

(a) f(x) = x

2

− 3x, gdzie x ∈ R;

(b) f(x) =

1

x + 1

, gdzie x 6= −1;

(c) f(x) =

√

x, gdzie x > 0;

(d) f(x) = tg x, gdzie x 6=

π

2

+ kπ dla k ∈ Z.

43. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wska-
zanych punktach:

(a) f(x) =





x

2

− x





, x

0

= 1;

(b) f(x) = sin x · sgn (x), x

0

= 0.

Naszkicować wykresy tych funkcji.

44. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x

0

= 0:

(a) f(x) = 3 −

5

√

x;

(c) f(x) =

q

| sin x|.

45. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne
funkcji:

(a) y = f(x) cos g(x); (b) y =

q

f

2

(x) − g

2

(x); (c) y = arc tg f(x)g(x);

(d) y = ln

f (x)

g(x)

;

(e y = tg

f (x)

g(x)

;

(f) y = f(x)g



1

x



.

46. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:

(a) y =

x

2

+ 1

x − 1

;

(b) y = 3 cos x + tg x;

(c) y =

e

x

+1

sin x

;

(d) y =



x

3

+

1

x

2



e

x

;

(e) y = 1 +

4

√

x

tg

√

x

;

(f) y = e

x

arc tg x;

(g) y = ln



sin

2

x + 1



;

(h) y =

3

q

arcsin (x

2

);

(i) y = e

e

x

;

(j) y =

2

sin

2

x

3

cos

2

x

;

(k*) y = x

tg x

;

(l*) y =

x

√

x.

47*. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f

−1

(y

0

), jeżeli:

(a) f(x) = x + ln x, y

0

= e + 1;

(b) f(x) = cos x − 3x, y

0

= 1;

(c) f(x) =

3

√

x +

5

√

x +

7

√

x, y

0

= 3;

(d) f(x) = x

3

+ 3

x

, y

0

= 4.

48 (P). Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

(a) f(x) = arcsin

x

2

, (1, f (1));

(b) f(x) = ln



x

2

+ e



, (0, f (0));

(c) f(x) = e

tg x

,



π

4

, f



π

4



;

(d) f(x) =

√

2

x

+ 1, (3, f(3)); (e) f(x) =

2x

1 + x

2

,



√

2, f



√

2



; (f*) f(x) =

x

√

x, (e, f (e)).

49. (a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x

4

− 2x + 5, która jest równoległa do

prostej y = 2x + 3.
(b) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f(x) =

√

x, która tworzy kąt

π

4

z dodatnią częścią osi Ox.

(c) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej
2x + 6y − 1 = 0.
(d) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x arc tg

1

x

, w punkcie jego przecięcia z prostą

πx = 4y.

7

50*. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:

(a) |arc tg x − arc tg y| ¬ |x − y| dla x, y ∈ R; (b) ln

y
x

< y − x dla 1 ¬ x < y;

(c) x ¬ arcsin x ¬

x

√

1 − x

2

dla 0 ¬ x < 1;

(d) e

x

> ex dla x > 1.

51. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:

(a) lim

x

→∞

ln (2

x

+ 1)

x

;

(b) lim

x

→1

ln sin

π

2

x

ln x

;

(c) lim

x

→0

x − arc tg x

x

2

;

(d) lim

x

→1

x

10

− 10x + 9

x

5

− 5x + 4

;

(e) lim

x

→0

ln cos x

ln cos 3x

;

(f) lim

x

→∞

x arc ctg x;

(g) lim

x

→0

+

x ln x;

(h) lim

x

→π

−

(π − x) tg

x

2

;

(i) lim

x

→0

−



1

x

− ctg x



;

(j) lim

x

→0

(cos x)

1
x

;

(k) lim

x

→∞



2

π

arc tg x



x

;

(l) lim

x

→0

+

(1 + x)

ln x

.

Lista 8

52. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:

(a) f(x) = x

3

− 30x

2

+ 225x;

(b) f(x) =

x

4

4 −

x

3

3 −

x

2

;

(c) f(x) = 4x +

1
x

;

(d) f(x) =

x

3

3 − x

2

;

(e) f(x) = x − 3

3

√

x;

(f) f(x) = xe

−3x

;

(g) f(x) = x ln

2

x;

(h) f(x) =

x

ln x

;

(i) f(x) =

1

x ln x

.

53. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:

(a) f(x) = x

3

− 4x

2

;

(b) f(x) = x +

1
x

;

(c) f(x) =

2

x

x

;

(d) f(x) = (x + 1)e

−x

;

(e) f(x) =

x + 1

x

2

+ 1

;

(f) f(x) =





x

2

− 5x − 6





;

(g) f(x) = x ln x;

(h) f(x) =

p

3x − x

3

;

(i) f(x) = 2 arc tg x − ln



1 + x

2



.

54. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

(a) f(x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x, [1, 5]; (b) f(x) = arc tg

1 − x
1 + x

, [0, 1];

(c) f(x) = (x − 3)

2

e

|x|

, [−1, 4];

(d) f(x) = 1 −





9 − x

2





, [−5, 1]; (f) f(x) = 2 sin x + sin 2x,



0,

3
2

π



.

55 (P). Obliczyć f

′

, f

′′

, f

′′′

funkcji:

(a) f(x) = 4x

7

− 5x

3

+ 2x;

(b) f(x) = x

3

−

2

x

;

(c) f(x) =

e

x

x

;

(d) f(x) = arc tg x;

(e) f(x) = sin

3

x + cos

3

x;

(f) f(x) = x

3

ln x.

56. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:

(a) f(x) = x(x − 1)(x − 3);

(b) f(x) = xe

−x

;

(c) f(x) =

x

3

x

2

+ 12

;

(d) f(x) = ln



1 + x

2



;

(e) f(x) =

1

1 − x

2

;

(f) f(x) = x −

2
3

x

3

− 4 ln |x|;

(g) f(x) = sin x +

1
8

sin 2x;

(h) f(x) = e

arc tg x

;

(i) f(x) =

ln x

√

x

.

8

Lista 9

57. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:

(a) f(x) = (x − 1)

2

(x + 2);

(b) f(x) =

x

3

x − 1

;

(c) f(x) =

√

x

x − 1

;

(d) f(x) = 3 −

4
x

−

4

x

2

;

(e) f(x) = x

p

1 − x

2

;

(f) f(x) =

x

ln x

;

(g) f(x) = xe

2x

;

(h*) f(x) = sin x + sin 3x;

(i) f(x) = x

2

ln x.

58. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu
10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostar-
czana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem
morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platfor-
mie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza
wynosi 200 000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić ruro-
ciąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?

59. Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku
trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?

60. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność
22.50 m

3

i kwadratową podłogę. Koszt 1 m

2

blachy po-

trzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi
20 zł, a ścian bocznych – 30 zł. Jakie powinny być
wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był naj-
mniejszy?

61. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego
pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bo-
kiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak
najmniej siatki?

62. Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak,
aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych czę-
ściach była najmniejsza.

b

b

b

b

10 km

Rafineria

Platforma

wiertnicza

x

16 km

α

r

rzeka

S

a

b

Lista 10

63. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x

0

oraz n :

(a) f(x) = x

3

, x

0

= −1, n = 4; (b) f(x) =

1

x

2

, x

0

= 1, n = 2;

(c) f(x) = sin 2x, x

0

= π, n = 3;

(d) f(x) = e

−x

, x

0

= 0, n = 5;

(e) f(x) = arc tg x, x

0

= 0, n = 3; (f) f(x) = ln x, x

0

= e, n = 4.

64. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange’a dla funkcji:

(a) f(x) = sin

x

3

;

(b) f(x) = cosh x;

(c) f(x) = cos x;

(d) f(x) =

x

e

x

.

65. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:

(a) tg x ≈ x, |x| ¬

π

12

;

(b) cos

2

x ≈ 1 − x

2

, |x| ¬ 0.1;

9

(c)

√

1 + x ≈ 1 +

x

2 −

x

2

8

, |x| ¬ 0.25;

(d) ln(1 − x) ≈ −x −

x

2

2 −

x

3

3

, |x| < 0.1.

66. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:

(a)

1
e

z dokładnością 10

−3

;

(b)

3

√

0.997 z dokładnością 10

−3

;

(c) ln 1.1 z dokładnością 10

−4

;

(d) sin 0.1 z dokładnością 10

−5

.

Lista 11

67. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć:

(a)

1

Z

−2

(2x − 1) dx;

(b)

3

Z

2

x

2

dx;

(c)

2

Z

−1

e

x

dx.

Wskazówka. Ad. (a0, (c). Zastosować odpowiednio wzory

1 + 2 + . . . + n =

n

(n + 1)

2

,

1

2

+ 2

2

+ · · · + n

2

=

n

(n + 1)(2n + 1)

6

;

Ad. (c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego

a

+ aq + . . . + aq

n

−1

= a

1 − q

n

1 − q

oraz wykorzystać równość lim

h

→

0

e

h

− 1

h

= 1.

68 (P). Uzasadnić, że funkcje F

1

i F

2

są funkcjami pierwotnymi dla wskazanych funkcji f :

a) F

1

(x) = 1 + arcsin x, F

2

(x) = 5 − arccos x, f(x) =

1

√

1 − x

2

;

b) F

1

(x) = 3 − cos

2

x, F

2

(x) = 2 −

1
2

cos 2x, f(x) = sin 2x;

c) F

1

(x) = tg

2

x − 2, F

2

(x) =

1

cos

2

+ 5, f(x) = tg x.

69. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki:

(a)

2

Z

1



√

x +

1

√

x



dx;

(b)

1

Z

0

x − 1
x + 1

dx;

(c)

9

Z

0

dx

x

2

+ 1

;

(d)

2

Z

−1

x



1 + x

3



dx;

(e)

2

Z

1



1

x

3

−

2

x

2

+

1

x

4



dx;

(f)

2π

Z

π

(sin x + cos

2

x) dx.

70. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić
równości:

(a) lim

n

→∞



1

n

√

n



√

1 + n +

√

2 + n + . . . +

√

n + n





=

2
3



2

√

2 − 1



;

(b) lim

n

→∞

1

3

+ 2

3

+ . . . + n

3

n

4

=

1
4

; (c) lim

n

→∞



1

n



cos

π

2n

+ cos

2π
2n

+ . . . + cos

nπ

2n



=

2

π

.

Lista 12

71. Obliczyć podane całki nieoznaczone:

(a)

Z



x

3

+

4

x

− 3

√

x



dx;

(b)

Z

(1 − x) dx

1 + √x

;

(c)

Z

x

4

dx

x

2

+ 1

;

(d)

Z

cos 2x dx

cos x − sin x

;

(e)

Z

x

3

+

3

√

x

2

− 1

√

x

dx;

(f)

Z

2

x

− 5

x

10

x

dx.

10

72. Obliczyć pola trapezów krzywoliniowych:

(a)

x

y

y = −4x

2

+ 4x + 6

y = 3

(b)

x

y

y = 4x

2

− 8x

y = x

(c)

x

y

y = −3x

2

+ 3x + 7

y = 3x

2

− 6x + 1

(d)

x

y

x = y

2

− 2y

x = 3

(e)

x

y

x = 8 − y

2

x = y

2

(f)

x

y

y = 2 − x

x = y

2

73. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:

(a) y = 2x − x

2

, x + y = 0;

(b) y = x

2

, y =

1
2

x

2

, y = 3x;

(c) y =

1

x

2

, y = x, y = 4;

(d) y = 1, y =

4

x

2

+ 1

;

(e) y = 2

x

, y = 2, x = 0;

(f) y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π);

(g) y = πx

2

, x = πy

2

;

(h) yx

4

= 1, y = 1, y = 16;

(i) y

2

= −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.

Lista 13

74. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

(a)

Z

xe

−3x

dx;

(b)

Z

x

2

2

x

dx;

(c)

Z

√

x arc tg

√

x dx;

(d)

Z

x dx

cos

2

x

;

(e)

Z

x

2

sin x dx;

(f)

Z

arccos x dx

√

x + 1

;

(g)

Z

ln(x + 1) dx;

(h)

Z

arccos x dx;

(i)

Z

e

2x

sin x dx;

(j)

Z

sin x sin 3x dx;

(k)

Z

sin 3x cos x dx;

(l)

Z

cos x cos 5x dx.

75. Metodą całkowania przez części obliczyć oznaczone:

(a)

1

Z

−1

xe

2x

dx;

(b)

1

Z

0

x

2

e

2x

dx;

(c)

e

Z

√

e

ln x

x

2

dx;

(d)

π

4

Z

0

x sin 2x dx;

(e)

π

Z

0

x(1 + cos x) dx;

(f)

1

Z

0

arcsin x dx.

76. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:

(a)

Z

cos √x

√

x

dx;

(b)

Z

√

1 + 4x

x

dx;

(c)

Z

(x+1) sin



x

2

+2x+2



dx;

(d)

Z

cos x dx

√

1 + sin x

;

(e)

Z

dx

ch x

;

(f)

Z

(5−3x)

10

dx;

(g)

Z

x

2

5

p

5x

3

+1 dx;

(h)

Z

dx

2 + √x

;

11

(i)

Z

ln x

x

dx;

(j)

Z

e

x

dx

e

2x

+ 1

; (k)

Z

5 sin x dx

3−2 cos x

; (l)

Z

x

3

e

x

2

dx.

77. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:

(a)

π

Z

0

sin xe

cos x

dx, cos x = t;

(b)

3

Z

1

x dx

√

x + 1

, 1 + x = t;

(c)

1

Z

0

x

√

1 + x dx,

√

1 + x = t;

(d)

6

Z

1

dx

1 +

√

3x − 2

, 3x − 2 = t

2

;

(e)

e

Z

1

ln x dx, ln x = t;

(f)

1
4

Z

0

dx

√

x(1 − x)

, x = t

2

;

(g)

3

Z

0

p

9 − x

2

dx, x = 3 sin t;

(g)

1
2

ln 3

Z

0

e

x

dx

1 + e

2x

, e

x

= t;

(i)

e

2

Z

e

3

√

x − x

3

dx

x

4

, x =

1

t

.

Lista 14

78 (P). Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:

(a)

Z

dx

(x − 3)

7

; (b)

Z

dx

x + 5

; (c)

Z

5 dx

(2 − 7x)

3

; (d)

Z

8 dx

9x + 20

.

79. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:

(a)

Z

dx

x

2

+ 4x + 29

; (b)

Z

(6x + 3) dx

x

2

+ x + 4

; (c)

Z

(4x + 2) dx

x

2

− 10x + 29

; (d)

Z

(x − 1) dx

9x

2

+ 6x + 2

.

80. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:

(a)

Z

(x + 2) dx

x(x − 2)

;

(b)

Z

x

2

dx

x + 1

;

(c)

Z

dx

(x − 1)x

2

;

(d)

Z

dx

(x

2

+ 1) (x

2

+ 4)

; (e)

Z

(4x + 1) dx

2x

2

+ x + 1

;

(f)

Z

2 dx

x

2

+ 6x + 18

;

(g)

Z

(5 − 4x) dx

x

2

− 4x + 20

;

(h)

Z

x

2

dx

x

2

+ 2x + 5

; (i)

Z

dx

x (x

2

+ 4)

.

81. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:

(a)

Z

sin

3

x dx;

(b)

Z

sin

4

x cos

3

x dx;

(c)

Z

cos

4

x dx;

(d)

Z

sin

3

x cos

6

x dx;

(e)

Z

cos

2

x cos 2x dx;

(f*)

Z

sin

2

2x sin

2

x dx.

82. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:

(a)

Z

dx

sin x + tg x

;

(b)

Z

1 + tg x

cos x

dx;

(c)

Z

dx

1 + 2 cos

2

x

;

(d)

Z

sin

2

x dx

1 + cos x

;

(e)

Z

dx

1 − tg x

;

(f)

Z

sin

5

x dx

cos

3

x

;

(g)

Z

dx

cos x

;

(h)

Z

dx

sin x + cos x

;

(i)

Z

dx

3 sin x + 4 cos x + 5

.

12

Lista 15

83. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:

(a)

√

x +

√

y = 1, x = 0, y = 0;

(b) 4y = x

2

, y =

8

x

2

+ 4

;

(c) y = ln x, x = e, y = −1;

(d) y = tg x, y = ctg x,



0 < x <

π

2



.

84. Obliczyć długości krzywych:

(a) y = ln

e

x

+ 1

e

x

− 1

, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;

(b) y = x

2

, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;

(c) y = 2

√

x

3

, gdzie 0 ¬ x ¬ 11;

(d) y = cosh x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;

(e) y = e

x

, gdzie

1
2

ln 2 ¬ x ¬

1
2

ln 3; (f) 24xy = y

4

+ 48, gdzie 2 ¬ y ¬ 4;

(g) y =

x

5

10

+

1

6x

3

, gdzie 1 ¬ x ¬ 2;

(h) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬

π

4

.

85. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:

(a) T : 0¬x¬2, 0 ¬ y ¬ 2x − x

2

, Ox;

(b) T : 0¬x¬

√

5, 0 ¬ y ¬

2

√

x

2

+ 4

, Oy;

(c) T : 0¬x¬

π

4

, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;

(d) T : 0¬x¬1, x

2

¬ y ¬

√

x, Oy;

(e) T : 0¬x¬1, 0 ¬ y ¬ x

3

, Oy;

(f) T : 1¬x¬3, 0 ¬ y ¬

1
x

, Oy;

(g) T : 1¬x ¬4,

4

x

¬ y ¬ 5−x, Ox;

(h) T : 0¬x ¬

π

2

, 0 ¬ y ¬ sin x+cos x, Ox;

(i) T : 0¬x ¬π, 0 ¬ y ¬ sin x, y = 2;

(j) T : 0¬x ¬1, 0 ¬ y ¬ x − x

2

, x = 2.

86. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych
osi:

(a) f(x) = cos x, 0 ¬ x ¬

π

2

, Ox;

(b) f(x) =

√

4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;

(c) f(x) = ln x, 1 ¬ x ¬

√

3, Oy;

(d) f(x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy;

(e) f(x) =

p

4 − x

2

, −1 ¬ x ¬ 1, Ox; (f) f(x) =

√

x



1−

x

3



, 1 ¬ x ¬ 3, Ox;

(g) f(x) =

x − 1

9

, 1 ¬ x ¬ 10, Oy;

(h) f(x) =

x

2

2

, 0 ¬ x ¬

√

3, Oy.

87. (a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia (współczynnik pro-
porcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć
do długości L.
(b) Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m. Ob-
liczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do
opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa wody γ = 1000 kg/m

3

.

88. (a) Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z prędkością początkową v

0

= 10 m/s

i przyspieszeniem a

0

= 2 m/s

2

. Po czasie t

1

= 10 s punkt ten zaczął poruszać się z opóźnieniem

a

1

= −1 m/s

2

. Znaleźć położenie punktu po czasie t

2

= 20 s od chwili rozpoczęcia ruchu.

(b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędko-
ściami odpowiednio v

1

(t) = 10t + t

3

, v

2

(t) = 6t, gdzie t ­ 0. Po jakim czasie nastąpi zderzenie tych

cząstek?

13