Analiza Matematyczna 1
MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057
Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 15 jednostek odpowiadających ko-
lejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden podpunkt z każdego zadania.
Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone literą (P) są proste.
Te zadania należy rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką (*) są trudniejsze. Te
nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów.
Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych.
W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy
te można wykorzystać m.in. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdo-
wania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań
algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp. Szczególnie polecamy stronę internetową
Wolfram Alpha.
Można także korzystać z darmowych programów: Maxima, Microsoft Mathe-
matics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnych: Derive, Mathematica, Matlab,
Maple, Scientific WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych
do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji.
Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w
egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można
znaleźć na stronie internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych
przez studentów na sprawdzianach z matematyki.
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜skoczylas/typowe bledy studentow.pdf
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Wrocław, wrzesień 2013
Lista 1
1. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
(a) „Amsterdam jest stolicą Holandii”; (b) „liczba 123888 jest podzielna przez 8”;
(c) „a
2
+ b
2
= c
2
”;
(d) „trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest ostrokątny”;
(e) „2
5
32”;
(f) „∆ = b
2
− 4ac”.
2. Napisać zaprzeczenia zdań:
(a) „jem śniadanie i słucham radia”;
(b) „kwadrat nie jest pięciokątem”;
(c) „stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”; (d) „jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen”;
(e) „liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3”.
1
3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
(a) „nieprawda, że funkcja f(x) = x
2
jest rosnąca na R”;
(b) „(−1)
44
= −1 lub 2008 jest liczbą parzystą”;
(c) „funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3
x
nieparzysta”;
(d) „jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;
(e) „liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna
przez 9”.
4. Rozwiązania równań i nierówności zawierających funkcje p i q zapisać, używając spójników logicz-
nych, jako rozwiązania równań i nierówności zawierających tylko jedną funkcję:
(a) p(x)q(x) = 0;
(b) p(x)q(x) < 0;
(c)
p(x)
q(x)
0;
(d) p(x)
q
q(x) ¬ 0.
5. Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi:
(a) ¬ (p ∨ q) =⇒ [(¬p) ∧ (¬q)] ; (b) p =⇒ [(q ∧ ¬q) =⇒ r] ;
(c) (p =⇒ q) ⇐⇒ [(¬p) ∨ q] ;
(d) [p ∧ (¬q)] ∨ [(¬p) ∧ q]?
6. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:
(a)
_
x
∈R
sin x =
1
2
;
(b)
^
x
∈R
x
2
+ 4x + 3 > 0;
(c)
^
x
∈R
_
y
∈R
x
2
− y
2
= 0;
(d)
_
y
∈R
^
x
∈R
xy = 0;
(e)
^
x
∈R
^
y
∈R
(y ¬ x) ∨ (y > x);
(f)
^
y
∈R
_
x
∈R
! x ∈
−
π
2
,
π
2
∧ tg x = y.
7. Dla podanych par zbiorów A, B ⊂ R wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A
c
, B
c
, A△B:
(a) A = (0, 5), B = [0, 7]; (b) A = (−∞, 3), B = [−1, ∞); (c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}.
Wskazać te pary A, B, dla których A ⊂ B.
8 (P). Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b i
naszkicować ich wykresy:
(a) y = 1;
(b) y − x = 0;
(c) y = −x + 4;
(d) y + 2x = 2;
(e) 3x + 4y − 2 = 0;
(f) x − 5y = 3.
9 (P). Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i naszkicować ich wy-
kresy:
(a) f(x) = −x
2
+ x;
(b) f(x) = 2x
2
+ 1;
(c) f(x) = x
2
+ x +
1
4
;
(d) f(x) = x
2
+ 2x − 3;
(e) f(x) = −2x
2
− 2x +
3
2
;
(f) f(x) = −x
2
− 3x −
9
4
.
Lista 2
10. Określić i narysować dziedziny funkcji:
(a) f(x) =
x
x
2
− 2x − 3
; (b) f(x) =
x − 2
x
2
+ 4
; (c) f(x) =
p
16 − x
2
; (d) f(x) =
x − 1
√
x − 1
.
11. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach:
(a) f(x) = −4x + 5, R; (b) f(x) =
√
3 − x, (−∞, 3]; (c) f(x) = 4x − x
2
, [2, ∞).
12. Określić funkcje złożone f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g oraz podać ich dziedziny, jeżeli:
(a) f(x) = x
2
, g(x) = x + 1;
(b) f(x) =
1
x
, g(x) = x
2
;
(c) f(x) =
√
x, g(x) = x
4
;
(d) f(x) = |x|, g(x) =
√
x + 1.
2
13. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
(a) f(x) = 2x − 3, R;
(b) f(x) =
1
x
,
R
\ {0};
(c) f(x) = x
4
,
[0, ∞).
14 (P). Korzystając z własności logarytmów obliczyć:
(a) log
6
3 + log
6
12;
(b) log
3
18 − log
3
2;
(c) 9 log
6
3
√
36;
(d) 3 log
a
4 + log
a
1
4 −
4 log
a
2; (e) 3 log
4
√
3 −
1
2
log
4
3 + 3 log
4
2 − log
4
6; (f)
log
2
54 − log
2
6
log
2
27 − log
2
9
.
15. Naszkicować wykresy funkcji:
(a) y = (x + 1)
4
; (b) y =
√
x − 2; (c) y =
1
(x + 3)
2
;
(d) y = 2
x
+1
;
(e) y =
1
3
x
−2
;
(f) y = 4
|x|
;
(g) y = 5 + log
2
x;
(h) y = |log 100x|; (i) y = log
1
3
|x|
9
.
16. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
(a) f(x) =
x + 1
x − 1
;
(b) f(x) = 3 −
3
√
x + 2;
(c) f(x) = 2
x
−1
;
(d) f(x) = 4
1
x
;
(e) f(x) = log(x + 2); (f) f(x) = log
1
2
2x;
(g) f(x) = log
3
2
(x + 1).
Lista 3
17 (P). Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować wykresy funkcji:
(a) y = sin 2x;
(b) y = sin
x
3
;
(c) y = sin
x +
π
4
;
(d) y = 1 + sin x;
(e) y =
1
2
sin x − 1;
(f) y = sin 2
x −
π
6
.
18. Naszkicować wykresy funkcji:
(a) y = cos x −
1
2
cos x
; (b) y = 1 + ctg
x +
π
4
; (c) y = tg x + | tg x|; (d) y = |tg x| ctg x.
19. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
(a)
1 + tg α
1 + ctg α
= tg α;
(b) sin
4
α+cos
4
α = 1−
1
2
sin
2
2α;
(c) tg α + ctg α =
2
sin 2α
;
(d) tg
α
2
=
1 − cos α
sin α
;
(e) sin
4
α−cos
4
α = sin
2
α−cos
2
α;
(f)
1
cos α −
cos α = sin α tg α.
Dla jakich kątów α są one prawdziwe?
20 (P). Podaj wartości wyrażeń:
(a) arcsin
√
2
2
+ arccos
1
2
; (b) arc ctg 1 · arc tg 1; (c)
arcsin
−
√
3
2
!
arcsin 1
; (d) arc tg
√
3 − arc ctg
√
3.
21. Określić dziedziny funkcji:
(a) f(x) = arcsin(2x + 1);
(b) f(x) = arccos
x
2
+
1
2
;
(c) f(x) = arc tg
1
x + 1
;
(d) f(x) = arc ctg 2
x
.
3
22*. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
(a) f(x) = sin x, x ∈
π
2
,
3π
2
;
(b) f(x) = cos x, x ∈ [π, 2π];
(c) f(x) = tg x, x ∈
−
3π
2
, −
π
2
;
(d) f(x) = ctg x, x ∈ (π, 2π).
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista 4
23. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
(a) a
n
=
2 + cos n
3 − 2 sin n
;
(b) a
n
=
n
√
2
n
+ 1;
(c) a
n
=
4
n
− 1
2
n
+ 3
;
(d) a
n
=
√
n + 8 −
√
n + 3;
(e*) a
n
=
1
4
1
+ 1
+
1
4
2
+ 2
+ . . . +
1
4
n
+ n
;
(f) a
n
= 1 − 3
n
.
24. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
(a) a
n
=
2n + 1
n + 2
;
(b) a
n
=
n
n
2
+ 1
;
(c) a
n
=
n!
10
n
;
(d) a
n
=
1
n
2
− 6n + 10
;
(e) a
n
=
4
n
2
n
+ 3
n
;
(f) a
n
=
p
n
2
+ 1 − n.
25. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
(a) lim
n
→∞
3 − n
n + 4
= −1;
(b) lim
n
→∞
1
n
2
= 0;
(c) lim
n
→∞
2
n
= ∞.
26. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
(a) lim
n
→∞
3n − 1
n + 4
;
(b) lim
n
→∞
n + 1
2n
2
+ 1
;
(c) lim
n
→∞
n
3
+ 2n
2
+ 1
n − 3n
3
;
(d) lim
n
→∞
n
20
+ 2
3
(n
3
+ 1)
20
;
(e) lim
n
→∞
1 + 3 + . . . + (2n − 1)
2 + 4 + . . . + 2n
;
(f) lim
n
→∞
5
n
− 4
n
5
n
− 3
n
;
(g) lim
n
→∞
n
2
+ 1
n! + 1
(2n + 1)(n + 1)!
; (h) lim
n
→∞
p
n
2
+ 4n + 1 −
p
n
2
+ 2n
; (i) lim
n
→∞
q
n + 6
√
n + 1 −
√
n
.
27. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
(a) lim
n
→∞
2n + (−1)
n
3n + 2
;
(b) lim
n
→∞
⌊nπ⌋
n
;
(c) lim
n
→∞
n
√
3 + sin n;
(d) lim
n
→∞
n
r
1
n
+
2
n
2
+
3
n
3
; (e) lim
n
→∞
1
n
2
+ 1
+
1
n
2
+ 2
+ . . . +
1
n
2
+ n
; (f) lim
n
→∞
n
s
3
n
+ 2
n
5
n
+ 4
n
.
28. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
(a) lim
n
→∞
1 +
1
n
3n
−2
; (b) lim
n
→∞
5n + 2
5n + 1
15n
; (c) lim
n
→∞
3n
3n + 1
n
; (d) lim
n
→∞
n + 4
n + 3
5
−2n
.
29. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
(a) lim
n
→∞
n
2
+ 1
n
;
(b) lim
n
→∞
n
4
− 3n
3
− 2n
2
− 1
;
(c) lim
n
→∞
(1 + 2
n
− 3
n
);
(d) lim
n
→∞
n + 1
2n
n
;
(e) lim
n
→∞
1 − (n + 1)!
n! + 2
;
(f) lim
n
→∞
arc tg n
arc ctg n
.
4
30. Będziemy mówili, że ciągi (a
n
), (b
n
) o dodatnich wyrazach, zbieżne do granicy właściwej lub
niewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy
lim
n
→∞
a
n
b
n
= 1.
Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie równe:
(a) a
n
= n
2
+ 2, b
n
=
p
2n
4
+ 1;
(b) a
n
= n
4
− n
3
− 10, b
n
= n
4
; (c) a
n
=
n
√
1 + 2
n
+ 3
n
, b
n
= 3;
(d) a
n
=
1
3
n
+ 5
n
, b
n
=
1
2
n
+ 6
n
; (e) a
n
= (n + 1)!, b
n
= n · n!;
(f*) a
n
= n!, b
n
= a
n
, (a > 0).
Jeżeli granica lim
n
→∞
a
n
b
n
jest liczbą dodatnią, to mówimy, że ciągi (a
n
), (b
n
) są tego samego rzędu. Które
z podanych par ciągów są tego samego rzędu?
Lista 5
31. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
(a) lim
x
→3
(x − 2)
5
= 1;
(b) lim
x
→∞
2
x
= 0;
(c) lim
x
→ 2
+
1
x − 2
= ∞.
32. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
(a) lim
x
→1
x
2
− 1
x
2
− x + 1
;
(b) lim
x
→2
x
2
− 4
x
2
− x − 2
;
(c) lim
x
→0
x +
√
x
√
x
;
(d) lim
x
→1
x
3
− 1
x
4
− 1
;
(e) lim
x
→∞
x
2
− 5x + 4
x(x − 5)
; (f) lim
x
→6
√
x − 2 − 2
x − 6
; (g) lim
x
→−∞
p
x
2
+ 1 + x
; (h) lim
x
→∞
2
x
+ 1
3
x
+ 2
;
(i) lim
x
→
π
2
−
tg
2
x + 1
tg
2
x + 5
;
(j) lim
x
→0
sin
2
x
1 − cos x
.
33. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
(a) lim
x
→0
x sgn x;
(b) lim
x
→0
2
1
x
3
; (c) lim
x
→2
x
2
− 4
|x − 2|
; (d) lim
x
→0
x arc tg
1
x
.
34. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
(a) lim
x
→0
+
√
x cos
1
x
2
= 0; (b) lim
x
→0
x
3
arc tg
1
x
= 0; (c) lim
x
→−∞
2
−x
+ sin x
2
−x
+ cos x
= 1; (d) lim
x
→∞
2+sin x
x
2
= 0.
35. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
(a) lim
x
→0
sin
2
3x
x
2
;
(b) lim
x
→∞
tg
1
x
tg
2
x
;
(c) lim
x
→0
arcsin 2x
arc tg x
;
(d) lim
x
→∞
x
2
arc tg
1
x
;
(e) lim
x
→
π
2
cos 5x
cos 3x
;
(f) lim
x
→0
e
3x
− 1
sin 2x
;
(g) lim
x
→0
ln (1 +
3
√
x)
x
;
(h*) lim
x
→−∞
ln (1 + 2
x
)
3
x
;
(i) lim
x
→0
+
2
x
− 1
4
√
x
− 1
;
(j) lim
x
→0
(1 + 2x)
1
x
;
(k) lim
x
→0
[1 + tg(2x)]
ctg x
;
(l) lim
x
→0
3
√
1 + x −
6
√
1 − x
x
.
36. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
(a) f(x) =
x
3
+ x
2
x
2
− 4
;
(b) f(x) =
2x
3
(x + 1)
2
;
(c) f(x) =
x − 3
√
x
2
− 9
;
(d) f(x) =
√
1 + x
2
x
;
(e) f(x) =
3
x
3
x
− 9
;
(f) f(x) =
sin
2
x
x
3
;
(g) f(x) =
cos x
e
x
+ 1
;
(h) f(x) = x − arc tg x;
(i*) f(x) =
1 +
1
x
x
.
5
Lista 6
37. Dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R:
(a) f(x) =
a
x
+1 dla x < −1,
b − 2x dla x −1;
(b) f(x) =
sin x dla |x|
π
2
,
ax+b dla |x| <
π
2
;
(c) f(x) =
ax
2
+1 dla x < −1,
2x
dla −1 ¬ x ¬ 0,
x
3
+bx dla x > 0.
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji ciągłych.
38 (P). Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o wykresach:
(a)
y
x
a
y = f (x)
(b)
y
x
a
y = f (x)
(c)
y
x
a
y = f (x)
(d)
y
x
a
y = f (x)
(e)
y
x
a
y = f (x)
(f)
y
x
a
y = f (x)
39. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj:
(a) f(x) =
x + 2
x
2
+ x + 2
dla x 6= 1, 2
0
dla x = 1,
1
dla x = 2;
(b) f(x) =
arc tg
1
x
dla x 6= 0,
0
dla x = 0;
(c) f(x) =
x
2
−1
√
x−1
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
3
dla x = 1;
(d) f(x) =
|x| + x
x
2
dla x 6= 0,
0
dla x = 0;
(e) f(x) = sgn [x(x − 1)];
(f) f(x) =
1 − cos
1
x
dla x 6= 0,
0
dla x = 0.
40. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
(a) x
3
+ 6x − 2 = 0, [0, 1];
(b) x sin x = 7,
2π,
5π
2
;
(c) 1 =
sin x
2
+ x,
0,
π
2
;
(d) x
100
+ x − 1 = 0,
1
2
, 1
;
(e) 3
x
+ x = 3, [0, 1];
(f) x2
x
= 1, [0, 1].
Wyznaczyć rozwiązania równania (a) 0.125.
41*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia
ekstremalne mają rozwiązania:
(a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
(b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy
obwód;
(c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe
pole (założyć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta).
6
Lista 7
42. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
(a) f(x) = x
2
− 3x, gdzie x ∈ R;
(b) f(x) =
1
x + 1
, gdzie x 6= −1;
(c) f(x) =
√
x, gdzie x > 0;
(d) f(x) = tg x, gdzie x 6=
π
2
+ kπ dla k ∈ Z.
43. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wska-
zanych punktach:
(a) f(x) =
x
2
− x
, x
0
= 1;
(b) f(x) = sin x · sgn (x), x
0
= 0.
Naszkicować wykresy tych funkcji.
44. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x
0
= 0:
(a) f(x) = 3 −
5
√
x;
(c) f(x) =
q
| sin x|.
45. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne
funkcji:
(a) y = f(x) cos g(x); (b) y =
q
f
2
(x) − g
2
(x); (c) y = arc tg f(x)g(x);
(d) y = ln
f (x)
g(x)
;
(e y = tg
f (x)
g(x)
;
(f) y = f(x)g
1
x
.
46. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
(a) y =
x
2
+ 1
x − 1
;
(b) y = 3 cos x + tg x;
(c) y =
e
x
+1
sin x
;
(d) y =
x
3
+
1
x
2
e
x
;
(e) y = 1 +
4
√
x
tg
√
x
;
(f) y = e
x
arc tg x;
(g) y = ln
sin
2
x + 1
;
(h) y =
3
q
arcsin (x
2
);
(i) y = e
e
x
;
(j) y =
2
sin
2
x
3
cos
2
x
;
(k*) y = x
tg x
;
(l*) y =
x
√
x.
47*. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f
−1
(y
0
), jeżeli:
(a) f(x) = x + ln x, y
0
= e + 1;
(b) f(x) = cos x − 3x, y
0
= 1;
(c) f(x) =
3
√
x +
5
√
x +
7
√
x, y
0
= 3;
(d) f(x) = x
3
+ 3
x
, y
0
= 4.
48 (P). Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
(a) f(x) = arcsin
x
2
, (1, f (1));
(b) f(x) = ln
x
2
+ e
, (0, f (0));
(c) f(x) = e
tg x
,
π
4
, f
π
4
;
(d) f(x) =
√
2
x
+ 1, (3, f(3)); (e) f(x) =
2x
1 + x
2
,
√
2, f
√
2
; (f*) f(x) =
x
√
x, (e, f (e)).
49. (a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x
4
− 2x + 5, która jest równoległa do
prostej y = 2x + 3.
(b) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f(x) =
√
x, która tworzy kąt
π
4
z dodatnią częścią osi Ox.
(c) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej
2x + 6y − 1 = 0.
(d) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x arc tg
1
x
, w punkcie jego przecięcia z prostą
πx = 4y.
7
50*. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
(a) |arc tg x − arc tg y| ¬ |x − y| dla x, y ∈ R; (b) ln
y
x
< y − x dla 1 ¬ x < y;
(c) x ¬ arcsin x ¬
x
√
1 − x
2
dla 0 ¬ x < 1;
(d) e
x
> ex dla x > 1.
51. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
(a) lim
x
→∞
ln (2
x
+ 1)
x
;
(b) lim
x
→1
ln sin
π
2
x
ln x
;
(c) lim
x
→0
x − arc tg x
x
2
;
(d) lim
x
→1
x
10
− 10x + 9
x
5
− 5x + 4
;
(e) lim
x
→0
ln cos x
ln cos 3x
;
(f) lim
x
→∞
x arc ctg x;
(g) lim
x
→0
+
x ln x;
(h) lim
x
→π
−
(π − x) tg
x
2
;
(i) lim
x
→0
−
1
x
− ctg x
;
(j) lim
x
→0
(cos x)
1
x
;
(k) lim
x
→∞
2
π
arc tg x
x
;
(l) lim
x
→0
+
(1 + x)
ln x
.
Lista 8
52. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:
(a) f(x) = x
3
− 30x
2
+ 225x;
(b) f(x) =
x
4
4 −
x
3
3 −
x
2
;
(c) f(x) = 4x +
1
x
;
(d) f(x) =
x
3
3 − x
2
;
(e) f(x) = x − 3
3
√
x;
(f) f(x) = xe
−3x
;
(g) f(x) = x ln
2
x;
(h) f(x) =
x
ln x
;
(i) f(x) =
1
x ln x
.
53. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
(a) f(x) = x
3
− 4x
2
;
(b) f(x) = x +
1
x
;
(c) f(x) =
2
x
x
;
(d) f(x) = (x + 1)e
−x
;
(e) f(x) =
x + 1
x
2
+ 1
;
(f) f(x) =
x
2
− 5x − 6
;
(g) f(x) = x ln x;
(h) f(x) =
p
3x − x
3
;
(i) f(x) = 2 arc tg x − ln
1 + x
2
.
54. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
(a) f(x) = 2x
3
− 15x
2
+ 36x, [1, 5]; (b) f(x) = arc tg
1 − x
1 + x
, [0, 1];
(c) f(x) = (x − 3)
2
e
|x|
, [−1, 4];
(d) f(x) = 1 −
9 − x
2
, [−5, 1]; (f) f(x) = 2 sin x + sin 2x,
0,
3
2
π
.
55 (P). Obliczyć f
′
, f
′′
, f
′′′
funkcji:
(a) f(x) = 4x
7
− 5x
3
+ 2x;
(b) f(x) = x
3
−
2
x
;
(c) f(x) =
e
x
x
;
(d) f(x) = arc tg x;
(e) f(x) = sin
3
x + cos
3
x;
(f) f(x) = x
3
ln x.
56. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:
(a) f(x) = x(x − 1)(x − 3);
(b) f(x) = xe
−x
;
(c) f(x) =
x
3
x
2
+ 12
;
(d) f(x) = ln
1 + x
2
;
(e) f(x) =
1
1 − x
2
;
(f) f(x) = x −
2
3
x
3
− 4 ln |x|;
(g) f(x) = sin x +
1
8
sin 2x;
(h) f(x) = e
arc tg x
;
(i) f(x) =
ln x
√
x
.
8
Lista 9
57. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
(a) f(x) = (x − 1)
2
(x + 2);
(b) f(x) =
x
3
x − 1
;
(c) f(x) =
√
x
x − 1
;
(d) f(x) = 3 −
4
x
−
4
x
2
;
(e) f(x) = x
p
1 − x
2
;
(f) f(x) =
x
ln x
;
(g) f(x) = xe
2x
;
(h*) f(x) = sin x + sin 3x;
(i) f(x) = x
2
ln x.
58. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu
10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostar-
czana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem
morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platfor-
mie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza
wynosi 200 000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić ruro-
ciąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
59. Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku
trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
60. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność
22.50 m
3
i kwadratową podłogę. Koszt 1 m
2
blachy po-
trzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi
20 zł, a ścian bocznych – 30 zł. Jakie powinny być
wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był naj-
mniejszy?
61. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego
pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bo-
kiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak
najmniej siatki?
62. Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak,
aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych czę-
ściach była najmniejsza.
b
b
b
b
10 km
Rafineria
Platforma
wiertnicza
x
16 km
α
r
rzeka
S
a
b
Lista 10
63. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x
0
oraz n :
(a) f(x) = x
3
, x
0
= −1, n = 4; (b) f(x) =
1
x
2
, x
0
= 1, n = 2;
(c) f(x) = sin 2x, x
0
= π, n = 3;
(d) f(x) = e
−x
, x
0
= 0, n = 5;
(e) f(x) = arc tg x, x
0
= 0, n = 3; (f) f(x) = ln x, x
0
= e, n = 4.
64. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange’a dla funkcji:
(a) f(x) = sin
x
3
;
(b) f(x) = cosh x;
(c) f(x) = cos x;
(d) f(x) =
x
e
x
.
65. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
(a) tg x ≈ x, |x| ¬
π
12
;
(b) cos
2
x ≈ 1 − x
2
, |x| ¬ 0.1;
9
(c)
√
1 + x ≈ 1 +
x
2 −
x
2
8
, |x| ¬ 0.25;
(d) ln(1 − x) ≈ −x −
x
2
2 −
x
3
3
, |x| < 0.1.
66. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
(a)
1
e
z dokładnością 10
−3
;
(b)
3
√
0.997 z dokładnością 10
−3
;
(c) ln 1.1 z dokładnością 10
−4
;
(d) sin 0.1 z dokładnością 10
−5
.
Lista 11
67. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć:
(a)
1
Z
−2
(2x − 1) dx;
(b)
3
Z
2
x
2
dx;
(c)
2
Z
−1
e
x
dx.
Wskazówka. Ad. (a0, (c). Zastosować odpowiednio wzory
1 + 2 + . . . + n =
n
(n + 1)
2
,
1
2
+ 2
2
+ · · · + n
2
=
n
(n + 1)(2n + 1)
6
;
Ad. (c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego
a
+ aq + . . . + aq
n
−1
= a
1 − q
n
1 − q
oraz wykorzystać równość lim
h
→
0
e
h
− 1
h
= 1.
68 (P). Uzasadnić, że funkcje F
1
i F
2
są funkcjami pierwotnymi dla wskazanych funkcji f :
a) F
1
(x) = 1 + arcsin x, F
2
(x) = 5 − arccos x, f(x) =
1
√
1 − x
2
;
b) F
1
(x) = 3 − cos
2
x, F
2
(x) = 2 −
1
2
cos 2x, f(x) = sin 2x;
c) F
1
(x) = tg
2
x − 2, F
2
(x) =
1
cos
2
+ 5, f(x) = tg x.
69. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki:
(a)
2
Z
1
√
x +
1
√
x
dx;
(b)
1
Z
0
x − 1
x + 1
dx;
(c)
9
Z
0
dx
x
2
+ 1
;
(d)
2
Z
−1
x
1 + x
3
dx;
(e)
2
Z
1
1
x
3
−
2
x
2
+
1
x
4
dx;
(f)
2π
Z
π
(sin x + cos
2
x) dx.
70. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić
równości:
(a) lim
n
→∞
1
n
√
n
√
1 + n +
√
2 + n + . . . +
√
n + n
=
2
3
2
√
2 − 1
;
(b) lim
n
→∞
1
3
+ 2
3
+ . . . + n
3
n
4
=
1
4
; (c) lim
n
→∞
1
n
cos
π
2n
+ cos
2π
2n
+ . . . + cos
nπ
2n
=
2
π
.
Lista 12
71. Obliczyć podane całki nieoznaczone:
(a)
Z
x
3
+
4
x
− 3
√
x
dx;
(b)
Z
(1 − x) dx
1 + √x
;
(c)
Z
x
4
dx
x
2
+ 1
;
(d)
Z
cos 2x dx
cos x − sin x
;
(e)
Z
x
3
+
3
√
x
2
− 1
√
x
dx;
(f)
Z
2
x
− 5
x
10
x
dx.
10
72. Obliczyć pola trapezów krzywoliniowych:
(a)
x
y
y = −4x
2
+ 4x + 6
y = 3
(b)
x
y
y = 4x
2
− 8x
y = x
(c)
x
y
y = −3x
2
+ 3x + 7
y = 3x
2
− 6x + 1
(d)
x
y
x = y
2
− 2y
x = 3
(e)
x
y
x = 8 − y
2
x = y
2
(f)
x
y
y = 2 − x
x = y
2
73. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y = 2x − x
2
, x + y = 0;
(b) y = x
2
, y =
1
2
x
2
, y = 3x;
(c) y =
1
x
2
, y = x, y = 4;
(d) y = 1, y =
4
x
2
+ 1
;
(e) y = 2
x
, y = 2, x = 0;
(f) y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π);
(g) y = πx
2
, x = πy
2
;
(h) yx
4
= 1, y = 1, y = 16;
(i) y
2
= −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.
Lista 13
74. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
(a)
Z
xe
−3x
dx;
(b)
Z
x
2
2
x
dx;
(c)
Z
√
x arc tg
√
x dx;
(d)
Z
x dx
cos
2
x
;
(e)
Z
x
2
sin x dx;
(f)
Z
arccos x dx
√
x + 1
;
(g)
Z
ln(x + 1) dx;
(h)
Z
arccos x dx;
(i)
Z
e
2x
sin x dx;
(j)
Z
sin x sin 3x dx;
(k)
Z
sin 3x cos x dx;
(l)
Z
cos x cos 5x dx.
75. Metodą całkowania przez części obliczyć oznaczone:
(a)
1
Z
−1
xe
2x
dx;
(b)
1
Z
0
x
2
e
2x
dx;
(c)
e
Z
√
e
ln x
x
2
dx;
(d)
π
4
Z
0
x sin 2x dx;
(e)
π
Z
0
x(1 + cos x) dx;
(f)
1
Z
0
arcsin x dx.
76. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
(a)
Z
cos √x
√
x
dx;
(b)
Z
√
1 + 4x
x
dx;
(c)
Z
(x+1) sin
x
2
+2x+2
dx;
(d)
Z
cos x dx
√
1 + sin x
;
(e)
Z
dx
ch x
;
(f)
Z
(5−3x)
10
dx;
(g)
Z
x
2
5
p
5x
3
+1 dx;
(h)
Z
dx
2 + √x
;
11
(i)
Z
ln x
x
dx;
(j)
Z
e
x
dx
e
2x
+ 1
; (k)
Z
5 sin x dx
3−2 cos x
; (l)
Z
x
3
e
x
2
dx.
77. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
(a)
π
Z
0
sin xe
cos x
dx, cos x = t;
(b)
3
Z
1
x dx
√
x + 1
, 1 + x = t;
(c)
1
Z
0
x
√
1 + x dx,
√
1 + x = t;
(d)
6
Z
1
dx
1 +
√
3x − 2
, 3x − 2 = t
2
;
(e)
e
Z
1
ln x dx, ln x = t;
(f)
1
4
Z
0
dx
√
x(1 − x)
, x = t
2
;
(g)
3
Z
0
p
9 − x
2
dx, x = 3 sin t;
(g)
1
2
ln 3
Z
0
e
x
dx
1 + e
2x
, e
x
= t;
(i)
e
2
Z
e
3
√
x − x
3
dx
x
4
, x =
1
t
.
Lista 14
78 (P). Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:
(a)
Z
dx
(x − 3)
7
; (b)
Z
dx
x + 5
; (c)
Z
5 dx
(2 − 7x)
3
; (d)
Z
8 dx
9x + 20
.
79. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:
(a)
Z
dx
x
2
+ 4x + 29
; (b)
Z
(6x + 3) dx
x
2
+ x + 4
; (c)
Z
(4x + 2) dx
x
2
− 10x + 29
; (d)
Z
(x − 1) dx
9x
2
+ 6x + 2
.
80. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
(a)
Z
(x + 2) dx
x(x − 2)
;
(b)
Z
x
2
dx
x + 1
;
(c)
Z
dx
(x − 1)x
2
;
(d)
Z
dx
(x
2
+ 1) (x
2
+ 4)
; (e)
Z
(4x + 1) dx
2x
2
+ x + 1
;
(f)
Z
2 dx
x
2
+ 6x + 18
;
(g)
Z
(5 − 4x) dx
x
2
− 4x + 20
;
(h)
Z
x
2
dx
x
2
+ 2x + 5
; (i)
Z
dx
x (x
2
+ 4)
.
81. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:
(a)
Z
sin
3
x dx;
(b)
Z
sin
4
x cos
3
x dx;
(c)
Z
cos
4
x dx;
(d)
Z
sin
3
x cos
6
x dx;
(e)
Z
cos
2
x cos 2x dx;
(f*)
Z
sin
2
2x sin
2
x dx.
82. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:
(a)
Z
dx
sin x + tg x
;
(b)
Z
1 + tg x
cos x
dx;
(c)
Z
dx
1 + 2 cos
2
x
;
(d)
Z
sin
2
x dx
1 + cos x
;
(e)
Z
dx
1 − tg x
;
(f)
Z
sin
5
x dx
cos
3
x
;
(g)
Z
dx
cos x
;
(h)
Z
dx
sin x + cos x
;
(i)
Z
dx
3 sin x + 4 cos x + 5
.
12
Lista 15
83. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a)
√
x +
√
y = 1, x = 0, y = 0;
(b) 4y = x
2
, y =
8
x
2
+ 4
;
(c) y = ln x, x = e, y = −1;
(d) y = tg x, y = ctg x,
0 < x <
π
2
.
84. Obliczyć długości krzywych:
(a) y = ln
e
x
+ 1
e
x
− 1
, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;
(b) y = x
2
, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
(c) y = 2
√
x
3
, gdzie 0 ¬ x ¬ 11;
(d) y = cosh x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
(e) y = e
x
, gdzie
1
2
ln 2 ¬ x ¬
1
2
ln 3; (f) 24xy = y
4
+ 48, gdzie 2 ¬ y ¬ 4;
(g) y =
x
5
10
+
1
6x
3
, gdzie 1 ¬ x ¬ 2;
(h) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
4
.
85. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
(a) T : 0¬x¬2, 0 ¬ y ¬ 2x − x
2
, Ox;
(b) T : 0¬x¬
√
5, 0 ¬ y ¬
2
√
x
2
+ 4
, Oy;
(c) T : 0¬x¬
π
4
, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;
(d) T : 0¬x¬1, x
2
¬ y ¬
√
x, Oy;
(e) T : 0¬x¬1, 0 ¬ y ¬ x
3
, Oy;
(f) T : 1¬x¬3, 0 ¬ y ¬
1
x
, Oy;
(g) T : 1¬x ¬4,
4
x
¬ y ¬ 5−x, Ox;
(h) T : 0¬x ¬
π
2
, 0 ¬ y ¬ sin x+cos x, Ox;
(i) T : 0¬x ¬π, 0 ¬ y ¬ sin x, y = 2;
(j) T : 0¬x ¬1, 0 ¬ y ¬ x − x
2
, x = 2.
86. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych
osi:
(a) f(x) = cos x, 0 ¬ x ¬
π
2
, Ox;
(b) f(x) =
√
4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
(c) f(x) = ln x, 1 ¬ x ¬
√
3, Oy;
(d) f(x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy;
(e) f(x) =
p
4 − x
2
, −1 ¬ x ¬ 1, Ox; (f) f(x) =
√
x
1−
x
3
, 1 ¬ x ¬ 3, Ox;
(g) f(x) =
x − 1
9
, 1 ¬ x ¬ 10, Oy;
(h) f(x) =
x
2
2
, 0 ¬ x ¬
√
3, Oy.
87. (a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia (współczynnik pro-
porcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć
do długości L.
(b) Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m. Ob-
liczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do
opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa wody γ = 1000 kg/m
3
.
88. (a) Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z prędkością początkową v
0
= 10 m/s
i przyspieszeniem a
0
= 2 m/s
2
. Po czasie t
1
= 10 s punkt ten zaczął poruszać się z opóźnieniem
a
1
= −1 m/s
2
. Znaleźć położenie punktu po czasie t
2
= 20 s od chwili rozpoczęcia ruchu.
(b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędko-
ściami odpowiednio v
1
(t) = 10t + t
3
, v
2
(t) = 6t, gdzie t 0. Po jakim czasie nastąpi zderzenie tych
cząstek?
13