Analiza Matematyczna II

Lista zada´n

Jacek Cicho´n

Informatyka, WPPT PWr

Wrocław 2011

1

Przestrze ´n R

n

Zadanie 1 — Oblicz k ˛

at pomi˛edzy wektorami (1, 1, 1) i (0, 0, 1).

Zadanie 2 — Niech A = (1, 2), B = (3, 4), C = (−2, −1). Korzystaj ˛

ac z iloczynu

skalarnego oblicz długo´sci boków oraz wszystkie k ˛

aty w trójk ˛

acie ABC.

Zadanie 3 — Niech A = (1, 2, 1), B = (3, 4, 1), C = (−2, −1, 3). Korzystaj ˛

ac z

iloczynu skalarnego oblicz długo´sci boków oraz wszystkie k ˛

aty w trójk ˛

acie ABC

Zadanie 4 — Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkty (1, 2, 0), (0, 1, 2),

(1, 1, 1) oraz oblicz odległos´c punktu (2, 2, 1) od tej płaszczyzny.

Zadanie 5 — Poka˙z, ˙ze dla dowolnego x ∈ R

n

mamy |x| ≤

P

n
i=1

|x

i

|.

Zadanie 6 — Poka˙z, ˙ze je´sli hx, yi = 0 to |x + y|

2

= |x|

2

+ |y|

2

.

Zadanie 7 — Przekształcenie liniowe T : R

n

→ R

n

zachowuje norm˛e je´sli |x| =

|T (x)| oraz zachowuje iloczyn skalarny je´sli hx, yi = hT (x), T (y)i dla dowolnych
x, y ∈ R

n

.

1. Poka˙z, ˙ze odwzorowanie liniowe T zachowuje norm˛e wtedy i tylko wtedy, gdy

zachowuje iloczyn skalarny.

2. Poka˙z, ˙ze przekształcenie liniowe zachowuj ˛

ace norm˛e jest ró˙znowarto´sciowe.

Zadanie 8 — Odwzorowanie liniowe T : R

n

→ R

n

zachowuje k ˛

aty je´sli

∠(x, y) =

∠(T (x), T (y)) dla dowolnych x, y ∈ R

n

. Poka˙z, ˙ze je´sli T zachowuje norm˛e to za-

chowuje k ˛

aty.

Zadanie 9 — Niech T : R

2

→ R

2

b˛edzie odwzorowaniem liniowym o macierzy

M

T

=



cos t

sin t

− sin t

cos t



.

1. Poka˙z, ˙ze T zachowuje k ˛

aty.

2. Poka˙z, ˙ze

∠(x, T (x)) = t dla ka˙zdego x ∈ R

n

.

Zadanie 10 — Na przestrzeni R

2

okre´slamy metryk˛e wzorem d

1

((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) =

|x

1

− x

2

| + |y

1

− y

2

|.

1. Sprawd´z, ˙ze funkcja ta jest metryk ˛

a.

2. Wyznacz K((0, 0), 1) w tej metryce

3. Poka˙z, ˙ze metryka ta jest niezmiennicza na translacje

1

Zadanie 11 — Na przestrzeni R

2

okre´slamy metryk˛e wzorem d

∞

((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) =

max{|x

1

− x

2

|, |y

1

− y

2

|}.

1. Sprawd´z, ˙ze funkcja ta jest metryk ˛

a.

2. Wyznacz K((0, 0), 1) w tej metryce

3. Poka˙z, ˙ze metryka ta jest niezmiennicza na translacje

Zadanie 12 — Niech (X, d) b˛edzie przestrzeni ˛

a metryczn ˛

a z metryk ˛

a d okre´slon ˛

a

wzorem

d(x, y) =



0

:

x = y

1

:

x 6= y

1. Niech x ∈ X. Wyznacz K(x, 1) oraz K(x, 2).

2. Niech (a

n

) b˛edzie ci ˛

agiem elementów przestrzeni X oraz g ∈ X Poka˙z, ˙ze

(lim

n

a

n

= g) ⇔ (∃n)(∀m > n)(a

n

= g)

Zadanie 13 — Oblicz granice nast˛epuj ˛

acego ci ˛

agu

a

n

=

 n + 1

n + 2

,

2n + 1

2n + n

2

,

n

p

n

2

+ 1,



1 −

2

n



n



.

punktów przestrzeni R

4

.

Zadanie 14 — Poka˙z, ˙ze definicja granicy w przestrzeni metrycznej jest okre´slona
jednoznacznie, czyli, ˙ze je´sli lim

n

a

n

= g

1

oraz lim

n

a

n

= g

2

to g

1

= g

2

.

Wska-

zówka: Załó˙z, ˙ze g

1

6= g

2

. Niech r = d(g

1

, g

2

). Wtedy r > 0. Poka˙z, ˙ze B(g

1

, r/2) ∩

B(g

2

, r/2) = ∅. Skorzystaj teraz z definicji granicy.

Zadanie 15 — Niech (a

n

)

n≥0

b˛edzie ci ˛

agiem elementów przestrzeni metrycznej (X, d)

oraz niech g ∈ X. Poka˙z, ˙ze lim

n

a

n

= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n

d(a

n

, g) = 0.

Zadanie 16 — Niech (X, ρ) oraz (Y, η) b˛ed ˛

a przestrzeniami metrycznymi. Na pro-

dukcie X × Y okre´slamy funkcj˛e

d ((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) =

p

ρ

2

(x

1

, x

2

) + η

2

(y

1

, y

2

) .

1. Poka˙z, ˙ze (X × y, d) jest przestrzeni ˛

a metryczn ˛

a.

2. Niech ((x

n

, y

n

))

n≥0

b˛edzie ci ˛

agiem elementów przestrzeni X × Y oraz niech

g = (g

1

, g

2

) ∈ X × Y . Poka˙z, ˙ze lim

n

(x

n

, y

n

) = g wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

n

x

n

= g

1

oraz lim

n

y

n

= g

2

3. Uogólnij to zadanie na produkt dowolnej sko´nczonej liczby przestrzeni me-

trycznych.

Zadanie 17 — Niech A, B b˛ed ˛

a podzbiorami otwartymi przestrzeni metrycznej X.

Poka˙z, ˙ze A ∩ B jest równie˙z otwartym podzbiorem przestrzeni X.

Zadanie 18 — Niech F b˛edzie dowoln ˛

a rozdzin ˛

a podzbiorów otwartych przestrzeni

metrycznej X. Poka˙z, ˙ze

S F jest równie˙z otwartym podzbiorem przestrzeni X.

Zadanie 19 — Niech A, B b˛ed ˛

a podzbiorami domkni˛etymi przestrzeni metrycznej X.

Poka˙z, ˙ze A ∩ B jest równie˙z domkni˛etym podzbiorem przestrzeni X.

Zadanie 20 — Niech F b˛edzie dowoln ˛

a rozdzin ˛

a podzbiorów domknietych przestrzeni

metrycznej X. Poka˙z, ˙ze

T F jest równie˙z domkni˛etym podzbiorem przestrzeni X.

2

2

Granice funkcji, ci ˛

agło´s´c

Zadanie 21 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace granice (lub poka˙z, ˙ze granice te nie istniej ˛

a)

1. lim

(x,y)→(1,2)

(x + xy + 2, x sin(x + y))

2. lim

(x,y)→(0,0)

x

2

y

x

2

+y

2

3. lim

(x,y)→(0,0)

x

2

−y

2

x

2

+y

2

, lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

2

+y

2

, lim

(x,y)→(0,0)

x−y

x

2

+y

2

4. lim

(x,y)→(0,0)

2x

2

y

x

2

+y

2

, lim

(x,y)→(π,π)

x sin

x+y

2

5. lim

(x,y)→(0,0)

x ln(x

2

+ y

2

).

Zadanie 22 — Niech f (x, y) =

x

2

x

2

+y

2

. Poka˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby a ∈ [0, 1] istnieje

taki ci ˛

ag punktów ((x

n

, y

n

))

n≥0

zbie˙zny do punktu (0, 0) taki, ˙ze lim

n

f (x

n

, y

n

) = a.

Zadanie 23 — Jakie jest globalne minimum funkcji f (x, y) = (x−2y)

2

+1 i w jakich

punktach jest ono osi ˛

agane?

Zadanie 24 — Jakie jest globalne maksimum funkcji g(x, y) =

2

x

2

+y

2

+1

i w jakich

punktach jest ono osi ˛

agane?

Zadanie 25 — Niech w

1

(x

1

, . . . , x

n

), . . . , w

k

(x

1

, . . . , x

n

) b˛ed ˛

a funkcjami wymier-

nymi zmiennych x

1

, . . . , x

n

. Niech F : R

n

→ R

k

b˛edzie okre´slona wzorem

F (x

1

, . . . , x

n

) = (w

1

(x

1

, . . . , x

n

), . . . , w

k

(x

1

, . . . , x

n

)) .

Poka˙z, ˙ze F jest ci ˛

agła. Opisz jej dziedzin˛e.

Zadanie 26 — Niech (X, d) b˛edzie przestrzeni ˛

a metryczn ˛

a zdefiniowan ˛

a w zadaniu

12.

1. Niech (Y, ρ) bedzie dowolna przestrzeni ˛

a metryczn ˛

a. Poka˙z, ˙ze ka˙zda funkcja

f : X → Y jest ci ˛

agła.

2. Poka˙z, ˙ze jesli f : R → (X, d) jest ci ˛

agła, to jest stała.

Zadanie 27 — Niech f : (X, d) → (Y, ρ) b˛edzie ci ˛

agła oraz niech b ∈ Y . Poka˙z, ˙ze

zbiór f

−1

({b}) jest zbiorem domkni˛etym.

3

Ró˙zniczkowanie

Zadanie 28 — Oblicz pochodne cz ˛

astkowe nast˛epuj ˛

acych funkcji:

1. f (x, y, z) = x

y

2. f (x, y, z) = x

y+z

3. f (x, y, z) = x

4. f (x, y) = sin(x cos y)

5. f (x, y, z) = (x + y)

z

6. f (x, y) = sin(xy).

Zadanie 29 — Wyznacz wszystkie pochodne cz ˛

astkowe rz˛edu ≤ 3 funkcji f (x, y, z) =

x

4

y

3

z

2

.

Zadanie 30 — Niech f (x, y, z) =

1

√

x

2

+y

2

+z

2

. Poka˙z, ˙ze funkcja f spełnia nast˛epu-

j ˛

ace równanie

∂

2

f

∂x

2

+

∂

2

f

∂y

2

+

∂

2

f

∂y

2

= 0

3

Zadanie 31 — Załó˙zmy, ˙ze funkcja g : R → R jest ci ˛

agła. Znajd´z pochodne cz ˛

ast-

kowe nast˛epuj ˛

acych funkcji

1. f (x, y) =

R

x+y

a

g(t)dt.

2. f (x, y) =

R

y

x

g(t)dt.

Zadanie 32 — Niech f, g : R → R b˛ed ˛

a funkcjami rózniczkowalnymi. Niech h(x, t) =

f (x + at) + g(x − at) Poka˙z, ˙ze funkcja h spełnia nast˛epuj ˛

ace równanie

∂

2

h

∂t

2

= a

2

∂

2

h

∂x

2

Zadanie 33 — Niech f : R

2

→ R b˛edzie okreslona wzorem f(x, y) =

p|xy|. Po-

ka˙z, ˙ze f nie jest rózniczkowalna w punkcje (0, 0).

Zadanie 34 — Załó´zmy, ˙ze f : R

n

→ R spelnia nierównosc |f(x)| ≤ |x|

2

. Poka˙z, ˙ze

f jest ró˙zniczkowalna w punkcie 0.

Zadanie 35 — Niech f (t) = (r cos(ωt), r sin(ωt)).

1. Wyznacz f

0

(t), |f

0

(t)|, f

00

(t), |f

00

(t)|.

2. Poka˙z, ˙ze hf (t), f

0

(t)i = 0 i podaj fizyczn ˛

a interpretacj˛e tego faktu.

Zadanie 36 — Niech f (x, y) = hx, yi. Wyznacz f

0

(x, y).

Zadanie 37 — Załó˙zmy, ˙ze f : R

n

→ R jest taka, ˙ze f

0

(x) = 0 w ka˙zdym punkcie

x. Poka˙z, ˙ze f jest funkcj ˛

a stał ˛

a.

Zadanie 38 — Niech f (0, 0) = 0 oraz

f (x, y) = xy

x

2

− y

2

x

2

+ y

2

,

jesli

(x, y) 6= (0, 0)

Poka˙z, ˙ze

1. f ,

∂f
∂x

,

∂f
∂y

s ˛

a ci ˛

agłe.

2. Pochodne cz ˛

astkowe

∂

2

f

∂x∂y

,

∂

2

f

∂y∂x

istniej ˛

a w ka˙zdym punkcie przestrzeni R

2

i s ˛

a

ci ˛

agłe poza punktem (0, 0).

3.

∂

2

f

∂x∂y

(0, 0) = 1,

∂

2

f

∂y∂x

(0, 0) = −1

Zadanie 39 — Znajd´z ekstrema lokalne funkcji:

1. f (x, y) = x

2

+ y

2

+

2

xy

2. g(x, y) = xy ln(x + y)

3. h(x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y

4. k(x, y) = xy +

1

x

+

1
y

5. l(x, y) = e

2x

x + y

2

+ 2y

6. n(x, y) = sin(x) sin(y) sin(x + y)

7. m(x, y) = sin(x) + cos(y) + cos(x − y)

8. p(x, y) = x

3

− 2xy + y

2

− x

Zadanie 40 — Poka˙z, ˙ze funkcja f (x, y) = (1 + e

x

) cos(y) + xe

x

ma niesko´nczenie

wiele lokalnych minimów ale nie ma ˙zadnego lokalnego maksimum.

Zadanie 41 — Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

1. f (x, y, z) = x

4

− y

3

+ 2z

3

− 2x

2

+ 6y

2

− 3z

2

4

2. g(x, y, z) = x

3

+ xy + y

2

− 2xz + 2z

2

+ 3y − 1

3. h(x, y, z) = xyz(4 − x − y − z)

4. m(x, y, z) = sin(x + y + z) − sin x − sin y − sin z

Zadanie 42 — Rozwi´n w szereg Taylora funkcj˛e f (x, y) = x

2

+ y

2

− 2xy w punkcie

(1, 1).

Zadanie 43 — Rozwi´n w szereg Taylora funkcj˛e f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

− 3xyz

w punkcie (1, 1, 1).

Zadanie 44 — Wyznacz przybli˙zenie Taylora rz˛edu 2 funkcji f (x, y) =

cos x
cos y

w punk-

cie (0, 0).

Zadanie 45 — Wyznacz przybli˙zenie Taylora rz˛edu 2 funkcji f (x, y, x) =

1

1+x

2

+y

2

+z

2

w punkcie (0, 0, 0).

Zadanie 46 — Poka˙z, ˙ze int(A) jest najwi˛ekszym (w sensie inkluzji) zbiorem otwar-
tym zawartym w zbiorze A.

Zadanie 47 — Poka˙z, ˙ze int(A) = (cl(A

c

))

c

oraz cl(A) = (int(A

c

))

c

.

Zadanie 48 — Poka˙z, ˙ze cl(A) jest najmniejszym zbiorem domkni˛etym zawieraj ˛

a-

cym zbiór A.

Zadanie 49 — Poka˙z, ˙ze

1. int(int(A)) = int(A),

2. cl(cl(A)) = cl(A),

3. int(A) ∩ int(B) = int(A ∩ B),

4. cl(A) ∪ cl(B) = cl(A ∪ B),

5. int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B),

6. cl(A ∩ B) ⊆ cl(A) ∩ cl(B).

7. Podaj przykład dwóch zbiorów A, B ⊆ R takich, ˙ze int(A)∪int(B) 6= int(A∪

B).

Zadanie 50 — Niech A = ([0, 1] ∩ Q) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ [5, 6]. Wyznacz zbiory cl(A),
int(A), cl(int(A)), int(cl(A)), int(cl(int(A))), cl(int(cl(A))).

Zadanie 51 — Napisz równania płaszczyzn stycznych oraz wektora normalnego do
powierzchni w R

3

wyznaczonych podan ˛

a funkcj ˛

a w podanym punkcie:

1. f (x, y) = 1 − (x

2

+ y

2

), P = (1, 1, f (1, 1))

2. f (x, y) = xe

x+y

, P = (0, 0, 0)

Zadanie 52 — Wyznacz waro´s´c minimaln ˛

a oraz maksymaln ˛

a funkcji f (x, y) = x

2

−

x + y

2

− 4y na zbiorze D = {(x, y) ∈ R

2

: 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∧ x + y ≤ 3}.

Zadanie 53 — Wyznacz waro´s´c minimaln ˛

a oraz maksymaln ˛

a funkcji f (x, y) =

e

x−y

x

2

+y

2

na zbiorze D = {(x, y) ∈ R

2

: 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 9}.

Zadanie 54 — Poka˙z, ˙ze suma dwóch zbiorów zwartych jest zwarta.

Zadanie 55 — Poka˙z, ˙ze przekrój dowolnej rodziny zbiorów zwartych jest zwarta.

Zadanie 56 — Korzystaj ˛

ac z twierdzenia o funkcji uwikłanej znajd´z równanie prostej

stycznej do hiperboli zadanej równaniem

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1 w punkcie (x

0

, y

0

).

5

Zadanie 57 — Załó˙zmy, ˙ze z = F (x, y) jest funkcj ˛

a klasy C

1

, F (a, b) = 1 oraz

∂F

∂x

(a, b) 6= 0 lub

∂F

∂y

(a, b) 6= 0. Poka˙z, ˙ze

∂F

∂x

(a, b)(x − a) +

∂F

∂y

(a, b)(y − b) = 0

jest równaniem prostej stycznej do krzywej zadanej równaniem F (x, y) = 0 w punkcie
(a, b).

Zadanie 58 — Wyznacz równanie prostej stycznej do krzywej y + ln y + x

3

= 0 w

punkcie (−1, 1).

Zadanie 59 — Korzystaj ˛

ac z metody mno˙zników Lagrange’a wyznacz maksimum i

minimum funkcji f (x, y) = 5x − 3y na zbiorze D = {(x, y) : x

2

+ y

2

= 136}.

Zadanie 60 — Korzystaj ˛

ac z metody mno˙zników Lagrange’a wyznacz maksimum i

minimum funkcji f (x, y) = 4x

2

+ 10y

2

na zbiorze D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 4}.

Zadanie 61 — Wyznacz ekstrema funkcji f (x, y, z) = 4y − 2z na zbiorze wyznaczo-
nym przez warunki 2x − y − z = 2 oraz x

2

+ y

2

= 1.

Zadanie 62 — Zmaksymalizuj funkcj˛e f (x

1

, . . . , x

n

) = −

P

n
i=1

x

1

ln x

1

na zbiorze

D = {~

x ∈ R

n

:

P

i

x

1

= 1 ∧ x

1

> 0 ∧ . . . ∧ x

n

> 0}.

4

Całkowanie

Zadanie 63 — Załó˙zmy, ˙ze A

0

⊇ A

1

⊇ A

2

⊇ . . . jest ci ˛

agiem niepustych zbiorów

zwartych. Poka˙z, ˙ze

T

n

A

n

6= ∅. Czy podobny fakt jest prawdziwy dla zbiorów

domkni˛etych?

Zadanie 64 — Niech A ⊆ R

n

oraz x ∈ R

n

. Niech A + x = {a + x : a ∈ A}. Poka˙z,

˙ze λ

∗

(A) = λ

∗

(A + x).

Zadanie 65 — Niech ~a = (a

1

, . . . , a

n

) ∈ R

n

. Rozwa˙zmy odwzorowanie liniowe

L : R

n

→ R

n

okre´slone wzorem L(x) = h~a, xi. Poka˙z, ˙ze dla dowolnego A ⊆ R

n

mamy λ

∗

(L(A)) = a

1

· · · a

n

· λ

∗

(A).

Wskazówka: Poka˙z to najpierw dla dowolnego

przedziału; skorzystaj z tego, ˙ze dla dowolnego przedziału P ⊂ R

n

mamy λ

∗

(P ) =

vol(P ).

Zadanie 66 — Poka˙z, ˙ze funkcja f : R

n

→ R jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnych a, b ∈ R zbiór f

−1

((a, b)) jest mierzalny.

Zadanie 67 — Poka˙z, ˙ze ka˙zdy otwarty podzbiór R jest sum ˛

a przeliczalnej rodziny

odcinków otwartych.

Zadanie 68 — Poka˙z, ˙ze funkcja f : R

n

→ R jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnego zbioru otwartego U ⊆ R zbiór f

−1

(U ) jest mierzalny.

Wskazówka:

Skorzystaj z poprzedniego zadania.

Zadanie 69 — Niech (X, d) i (Y, ρ) b˛ed ˛

a przestrzeniami metrycznymi. Niech f :

X → Y . Poka˙z, ˙ze funkcja f jest ci ˛

agła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego

zbioru otwartego U ⊆ R zbiór f

−1

(U ) jest otwarty.

Zadanie 70 — Załó˙zmy, ˙ze funkcje f, g : R

n

→ R s ˛a mierzalne. Poka˙z, ˙ze zbiory

{x : f (x) < g(x)}, {x : f (x) = g(x)}, {x : f (x) ≤ g(x)} s ˛

a mierzalne.

Wskazówka:

Zauwa˙z, ˙ze f (x) < g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy (∃q ∈ Q)(f (x) < q < g(x)).

Zadanie 71 — Oblicz całki z nast˛epuj ˛

acych funkcji prostych:

6

1.f

1

(x) = 1

Q

(x), (x ∈ R)

2.f

2

(x) = 1

[0,1]

(x) + 2 · 1

[0,2]

(x), (x ∈ R)

3.f

3

(x) = a · 1

P

(x), (x ∈ R

n

), gdzie P jest dowolnym przedziałem w R

n

i a jest

ustalon ˛

a liczba rzeczywist ˛

a.

4.f

4

(x) = 1

[0,2]×[0,2]

(x) + 1

[1,3]×[1,3]

(x), gdzie x ∈ R

2

.

Zadanie 72 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace całki

1.

R

[0,1]×[1,2]

(xy

2

)dxdy

2.

R

[1,2]

2

x
y

dxdy

3.

R

1

0

R

1

0

xe

x+y

dxdy

4.

R

π

0

R

π

0

| sin(x + y)|dxdy

5.

RR

D

byc dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

< y < 1}

6.

R

1

0

R

1

0

max(x, 2y)dxdy

7.

RR

D

x sin(xy)dxdy, gdzie D = [0, 1] × [0, 2π].

8.

R

1

0

R

1

0

e

x−y

dxdy

9.

R

1

0

R

1

0

|x − y|dxdy

Zadanie 73 — Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛

a funkcjami całkowalnymi zmiennej rze-

czywistej. Poka˙z, ˙ze

R

R

2

f (x)g(y)dxdy =

R

R

f (x)dx ·

R

R

g(y)dy.

Zadanie 74 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace całki:

1.

RRR

[0,1]

3

(xyz)dxdydz

2.

RRR

[0,1]

3

(x + y + z)dxdydz

3.

RRR

T

(x

2

+ y

2

+ z

2

)dxdydz, gdzie T = {(x, y, z) : x ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥

0 ∧ x + y + z <= a}.

Zadanie 75 — Znajd´z obj˛eto´s´c przeci˛ecia dwóch cylindrów C

1

= {(x, y, z) : x

2

+

y

2

≤ r

2

} oraz C

2

= {(x, y, z) : x

2

+ z

2

≤ r

2

}.

Zadanie 76 — Wytnijmy z kuli K={(x, y, z) : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1} paraboloid˛e B=

{(x, y, z) : z > x

2

+ y

2

}. Oblicz obj˛eto´s´c bryły K \ A.

Zadanie 77 — Niech f (x, y) =

x

2

−y

2

(x

2

+y

2

)

2

.

1. Poka˙z, ˙ze funkcja f jest lebesgowsko mierzalna.

2. Poka˙z, ˙ze funkcja f nie jest całkowalna w sensie Lebesque’a na zbiorze [0, 1]

2

.

3. Oblicz

R

1

0



R

1

0

f (x, y)dy)



dx.

Wskazówka: Przyda´c ci sie mo˙ze nast˛epuj ˛

aca

to˙zsamo´s´c (x

2

− y

2

)/(x

2

+ y

2

)

2

= (x

2

+ y

2

− 2y

2

)/(x

2

+ y

2

)

2

= 1/(x

2

+ y

2

) −

2y

2

/(x

2

+y

2

)

2

oraz nast˛epuj ˛

aca obserwacja yd(1/(x

2

+y

2

))/dy = −2y

2

/(x

2

+

y

2

)

2

.

4. Oblicz

R

1

0



R

1

0

f (x, y)dx)



dy

5. Porównaj otrzymane wyniki z twierdzeniem Fubbiniego.

Zadanie 78 — Oblicz całki

1.

R

[0,1]

n

max(x

1

, . . . , x

n

)dx

1

. . . dx

n

2.

R

[0,1]

n

min(x

1

, . . . , x

n

)dx

1

. . . dx

n

7

Zadanie 79 —

Zasada Cavalieriego

Niech A i B b˛ed ˛

a dwoma mierzalnymi

podzbiorami R

2

. Niech A

x

= {y : (x, y) ∈ A} oraz B

x

= {y : (x, y) ∈ B}. Załózmy,

˙ze dla ka˙zdego x ∈ R λ

(1)

(A

x

) = λ

(1)

(B

x

). Poka˙z, ˙ze λ

(2)

(A) = λ

(2)

(B).

Uogólnij to zadanie na wieksz ˛

a liczb˛e wymiarów.

Zadanie 80 — Niech T b˛edzie niezdegenerowanym trójk ˛

atem na płaszczy´znie R

2

o

wszystkich współrz˛ednych całkowitych. Poka˙z, ˙ze λ

2

(P ) ≥

1
2

. Uogólnij to zadanie na

trzy wymiary.

Zadanie 81 — Oblicz całki

RR

K

sin(x

2

+ y

2

)dxdy i

RR

K

sin

p

x

2

+ y

2

dxdy na kole

K = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ π

2

}.

Zadanie 82 — Wyprowad´z wzór na obj˛eto´s´c elipsoidy zadanej wzorem

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

≤ 1 sprowadzaj ˛

ac ten problem do wzoru na obj˛eto´s´c kuli.

Zadanie 83 — Oblicz całk˛e

RR

D

(x

2

+ y

2

)dxdy na obszarze D = {(x, y) : (x − a)

2

+

y

2

≤ a

2

}.

Zadanie 84 — Oblicz całki

RR

R

2

1

1+x

2

+y

2

dxdy oraz

RRR

R

3

1

1+x

2

+y

2

+z

2

dxdydz.

Wska-

zówka: Zastosuj współrz˛edne biegunowe i sferyczne.

Zadanie 85 — Policzy´c obj˛eto´s´c bryły ograniczonej przez powierzchni˛e sto˙zka z =
p

x

2

+ y

2

le˙z ˛

ac ˛

a nad powierzchni ˛

a koła x

2

+ y

2

≤ 1.

Wskazówka: Zastosuj współ-

rz˛edne walcowe.

Zadanie 86 — Oblicz obj˛eto´s´c bryły

D = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤

p

x

2

+ y

2

∧ x

2

+ y

2

≤ 1}

Wskazówka: Zastosuj współrz˛edne cylindryczne.

Zadanie 87 —

1. Oblicz obj˛eto´s´c bryły ograniczonej powierzchni ˛

a zadan ˛

a rów-

naniem (x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

= x

2

+ y

2

.

Wskazówka: Zastosuj współrz˛edne cylin-

dryczne.

2. Oblicz obj˛eto´s´c bryły ograniczonej powierzchni ˛

a zadan ˛

a równaniem (

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

)

2

=

x

2

a

2

+

y

2

c

2

.

Wskazówka: Zastosuj odwzorowanie J (x, y, z) =

(ax, by, cz) i sprowad´z to zadanie do wynku z poprzedniego punktu.

Zadanie 88 — Niech L : R

n

→ R

n

b˛edzie odwzorowaniem liniowym. Niech D b˛e-

dzie mierzalnym podzbiorem zbiorem R

n

. Jaki jest zwi ˛

azek pomi˛edzy miarami zbio-

rów D oraz ~

L(D)?

Zadanie 89 — Załózmy, ˙ze σ > 0. Oblicz całk˛e

R

R

e

−

(x−µ)2

2σ2

dx.

Wskazówka: Zredu-

kuj to zadanie do wzoru

R

R

e

−x

2

dx =

√

π, który udowodnili´smy na wykładzie.

5

Elementy Analizy Wektorowej

Uwaga: całk˛e

R

γ

~

F • ~

dl oznaczamy równie˙z symbolem

R (F

1

(~

x)dx

1

+. . . +F

n

(~

x)d

xn

)

Zadanie 90 — Oblicz

R

γ

(xydx + (y − x)dy) po krzywej γ ł ˛

acz ˛

acej punkty (0, 0) i

(1, 1) wzdlu˙z nastepuj ˛

acych krzywych:

1. linia y = x

2. parabola y = x

2

3. paraboli y =

√

x

8

Zadanie 91 — Niech γ : [0, 2π] → R

2

b˛edzie parametryzacj ˛

a okr˛egu o promieniu

r oraz niech δ b˛edzie parametryzacj ˛

a kwadratu o wierzchołkach (0, 0), (π, 0),(π, π) i

(0, π). Oblicz nastepuj ˛

ace całki:

1.

R

γ

(xydx + (x + y)dy),

R

δ

(xydx + (x + y)dy)

2.

R

γ

((x − y)dx + (x + y)dy),

R

δ

((x − y)dx + (x + y)dy)

Zadanie 92 — Niech F (x, y, z) = (x, y, z) oraz r(t) = (cos t, sin t, t

2

) dla t ∈

[0, 2π]. Oblicz

R

r

~

F • ~

dl.

Zadanie 93 — Niech γ : [a, b] → R

n

b˛edzie gładkie i ~

F : R

n

→ R

n

b˛edzie polem

wektorowym. Definiujemy (−γ) : [a, b] → R

n

wzorem (−γ)(t) = γ((a − t) + b).

Poka˙z, ˙ze

R

(−γ)

~

F • ~

dl = −

R

γ

~

F • ~

dl.

Zadanie 94 — Poka˙z, ˙ze

R

γ

(F + G) • ~

dl =

R

γ

F • ~

dl +

R

γ

G • ~

dl.

9