2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
2.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 2.1.1 (Równanie różniczkowe liniowe rzędu n)
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n nazywamy równanie postaci
(L
n
)
)
(
)
(
'
)
(
...
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
.
Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali p(t) i q(t) zamiast odpowiednio p
1
(t) i p
2
(t). Równanie różniczkowe liniowe rzędu
drugiego ma wtedy postać
(L
2
)
)
(
)
(
'
)
(
'
'
t
h
y
t
q
y
t
p
y
.
Tw. 2.1.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równania (L
n
))
Niech funkcje p
1
(t), p
2
(t), ..., p
n
(t) i h(t) będą ciągłe na przedziale (a,b). Wtedy dla każdego punktu (t
0
, y
0
, y
1
, ..., y
n-1
)
(a,b)
R
n
zagadnienie początkowe
)
(
)
(
'
)
(
...
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
,
1
0
)
1
(
1
0
0
0
)
(
...,
,
)
(
'
,
)
(
n
n
y
t
y
y
t
y
y
t
y
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a,b).
2.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE
Def. 2.2.1 (równanie różniczkowe liniowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym rzędu n nazywamy równanie postaci
(LJ
n
)
0
)
(
'
)
(
...
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
.
Uwaga. Dla równania drugiego rzędu w tym przypadku (LJ
2
) piszemy p(t) i q(t) zamiast odpowiednio p
1
(t) i p
2
(t), czyli
(LJ
2
)
0
)
(
'
)
(
'
'
y
t
q
y
t
p
y
.
Fakt 2.2.2 (o kombinacji liniowej rozwiązań równania jednorodnego)
Niech
(t),
(t) będą rozwiązaniami równania jednorodnego (LJ
n
). Wtedy dla dowolnych stałych
,
funkcja
)
(
)
(
)
(
t
t
t
y
jest także rozwiązaniem tego równania.
Uwaga. Inaczej mówiąc, dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego jest
również rozwiązaniem tego równania.
Def. 2.2.3 (układ fundamentalny równania (LJ
n
))
Układ n rozwiązań (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) równania jednorodnego (LJ
n
) określonych na przedziale (a,b) nazywamy układem
fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego t
(a,b) spełniony jest warunek
0
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
det
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
n
n
n
n
n
n
.
Uwaga. Powyższy wyznacznik oznaczamy przez W(y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) i nazywamy wrońskianem układu funkcji (y
1
(t), y
2
(t),
..., y
n
(t)).
Fakt 2.2.4 (Wzór Liouville’a)
Niech (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) będzie układem n rozwiązań równania jednorodnego (LJ
n
) określonych na przedziale (a,b). Wtedy
ich wrońskian W(t) = W(y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) spełnia warunek
t
t
d
p
e
t
W
t
W
0
1
)
(
0
)
(
)
(
,
gdzie t
0
jest dowolnym punktem z przedziału (a,b).
Fakt 2.2.5 (o postaci rozwiązania ogólnego równania liniowego jednorodnego)
Niech (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (LJ
n
). Wtedy rozwiązanie ogólne tego
równania dane jest wzorem
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
t
y
C
t
y
C
t
y
C
t
y
n
n
,
gdzie C
1
, C
2
, ..., C
n
są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.
Uwaga. Przypominamy, że z rozwiązania ogólnego przez odpowiedni dobór stałych C
1
, C
2
, ..., C
n
można otrzymać
rozwiązanie każdego zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego będziemy oznaczali
symbolem y
RORLJ
.
Fakt 2.2.6 (o obniżaniu rzędu równania liniowego jednorodnego)
Niech
(t) będzie różnym od zera rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu n. Wtedy przez
podstawienie
zdt
t
y
)
(
równanie to sprowadza się do równania liniowego jednorodnego rzędu n - 1 (względem nowej zmiennej z).
Uwaga. Jeżeli znamy jedno rozwiązanie równania liniowego jednorodnego rzędu drugiego, to znalezienie rozwiązania
ogólnego tego równania sprowadza się do rozwiązania, otrzymanego przez podstawienie, równania liniowego jednorodnego
rzędu pierwszego.
2.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH
Def. 2.3.1 (równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach)
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci
(LS
n
)
0
'
...
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
y
p
y
p
y
p
y
p
y
n
n
n
n
n
,
gdzie p
1
, p
2
, ..., p
n
R.
Uwaga. Każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach (LS
n
) jest określone na R.
Przypominamy, że zgodnie z poprzednią umową równanie różniczkowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach
ma postać
(LS
2
)
0
'
'
'
qy
py
y
.
Def. 2.3.2 (wielomian i równanie charakterystyczne)
Równanie postaci
0
...
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
p
p
p
p
nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach (LS
n
). Natomiast
wielomian
n
n
n
n
n
p
p
p
p
w
1
2
2
1
1
...
)
(
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
Fakt 2.3.3 (o postaci układu fundamentalnego równania (LS
n
))
Niech
1
,
...,
s
będą rzeczywistymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio k
1
,
...,
k
s
i
niech
m
m
m
s
m
m
m
s
s
s
i
i
i
i
,
...,
,
,
1
1
1
1
1
1
,
gdzie
0
...
2
1
m
będą
zespolonymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio l
1
, ..., l
m
wielomianu charakterystycznego w(
) równania liniowego o
stałych współczynnikach (LS
n
), przy czym k
1
+...+k
s
+2(l
1
+...+l
m
) = n. Wtedy układ fundamentalny tego równania tworzą
funkcje:
.
sin
cos
...,
,
sin
cos
,
sin
cos
........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
sin
cos
...,
,
sin
cos
,
sin
cos
,
,
,
.
..........
..........
..........
,
,...,
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
e
t
t
e
t
t
te
t
te
t
e
t
e
t
e
t
t
e
t
t
te
t
te
t
e
t
e
e
e
t
te
e
e
t
te
e
m
t
l
m
t
l
m
t
m
t
m
t
m
t
t
l
t
l
t
t
t
t
t
t
k
t
t
t
k
t
t
m
m
m
m
m
m
m
m
s
s
s
s
Uwaga. W tym zestawieniu:
1. pierwiastkowi rzeczywistemu jednokrotnemu
odpowiada funkcja
t
e
;
2. pierwiastkowi rzeczywistemu k-krotnemu
odpowiada k funkcji
t
k
t
t
e
t
te
e
1
,...,
,
;
3. parze jednokrotnych sprzężonych ze sobą pierwiastków zespolonych
i
,
i
odpowiada para funkcji
t
e
t
e
t
t
sin
cos
;
4. parze l-krotnych sprzężonych ze sobą pierwiastków zespolonych
i
,
i
odpowiada l par funkcji
t
e
t
t
e
t
t
te
t
te
t
e
t
e
t
l
t
l
t
t
t
t
sin
cos
...,
,
sin
cos
,
sin
cos
1
1
.
Fakt 2.3.4 (algorytm rozwiązywania równań o stałych współczynnikach)
Równanie jednorodne o stałych współczynnikach
(LS
n
)
0
'
...
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
y
p
y
p
y
p
y
p
y
n
n
n
n
n
Równanie charakterystyczne
0
...
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
p
p
p
p
Pierwiastki równania charakterystycznego
n
,...,
,
2
1
Układ fundamentalny równania (LS
n
)
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
y
t
y
t
y
n
Rozwiązanie ogólne równania (LS
n
)
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
t
y
C
t
y
C
t
y
C
y
n
n
RORLS
2.4 RÓWNANIE EULERA
Def. 2.4.1 (równanie Eulera)
Równaniem różniczkowym Eulera rzędu n nazywamy równanie postaci
(E
n
)
0
'
1
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
y
p
ty
p
y
t
p
y
t
p
y
t
n
n
n
n
n
n
n
n
,
gdzie p
1
, p
2
, ..., p
n
R.
Uwaga. Do równania Eulera (E
n
) sprowadza się równanie różniczkowe postaci
0
'
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
1
)
(
y
p
y
b
at
p
y
b
at
p
y
b
at
n
n
n
n
n
n
.
Aby tego dokonać należy podstawić
s
b
at
.
Fakt 2.4.2 (o sprowadzaniu równania Eulera do równania liniowego)
Podstawienie
e
t
przy t > 0 lub
e
t
przy t < 0 sprowadza równanie Eulera do równania różniczkowego liniowego
jednorodnego o stałych współczynnikach.
2.5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE
Def. 2.5.1 (równanie różniczkowe liniowe niejednorodne)
Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu n nazywamy równanie postaci
(LN
n
)
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
gdzie h(t)
0.
Uwaga. Przypominamy, że zgodnie z poprzednią umową równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu drugiego ma
postać
(LN
2
)
)
(
)
(
'
)
(
'
'
t
h
y
t
q
y
t
p
y
.
Fakt 2.5.2 (o postaci rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego)
Niech (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (LJ
n
) i niech
(t) będzie dowolnym
rozwiązaniem równania niejednorodnego (LN
n
). Wtedy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego dane jest wzorem
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
t
t
y
C
t
y
C
t
y
C
t
y
n
n
,
gdzie C
1
, C
2
, ..., C
n
są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.
Uwaga. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (LN
n
) będziemy oznaczali symbolerm y
RORLN
. Zauważmy, że
rozwiązanie to jest sumą rozwiązania ogólnego y
RORLJ
równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania
równania
niejednorodnego, co można zapisać w postaci
y
RORLN
= y
RORLJ
+
.
Każde rozwiązanie równania liniowego jest rozwiązaniem szczególnym tego równania.
2.6 METODA UZMIENNIANIA STAŁYCH
Fakt 2.6.1 (metoda uzmienniania stałych)
Niech (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (LJ
n
). Wtedy funkcja
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
t
y
t
c
t
y
t
c
t
y
t
c
n
n
,
gdzie c
1
(t), c
2
(t), ...,c
n
(t) są dowolnymi rozwiązaniami układu równań
)
(
0
0
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
2
1
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
t
h
t
c
t
c
t
c
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
n
n
n
n
n
n
n
,
jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego (LN
n
).
Uwaga. Powyższy układ równań względem niewiadomych c
1
’(t), c
2
’(t), ...,c
n
’(t) ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego
wyznacznik jest wrońskianem układu fundamentalnego (y
1
(t), y
2
(t), ..., y
n
(t)) równania jednorodnego (LJ
n
), który jest różny od
zera.
2.7 METODA WSPÓŁCZYNNIKÓW NIEOZNACZONYCH – METODA PRZEWIDYWANIA
Def. 2.7.1 (stała kontrolna)
Niech funkcja h(t) ma postać
t
l
l
l
l
k
k
k
k
e
t
b
t
b
t
b
t
b
t
a
t
a
t
a
t
a
t
h
sin
cos
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
.
Stałą kontrolną tej funkcji nazywamy liczbę
i
.
Fakt 2.7.2 (o rozwiązaniach szczególnych równania liniowego niejednorodnego)
Niech prawa strona równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach
)
(
'
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
y
p
y
p
y
p
y
p
y
n
n
n
n
n
ma postać
t
l
l
l
l
k
k
k
k
e
t
b
t
b
t
b
t
b
t
a
t
a
t
a
t
a
t
h
sin
cos
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
i niech w(
) będzie wielomianem charakterystycznym tego równania, a
i
stałą kontrolną funkcji h(t). Wtedy
1. jeżeli
nie jest pierwiastkiem wielomianu w(
), to funkcja postaci
t
m
m
m
m
m
m
m
m
S
e
t
B
t
B
t
B
t
B
t
A
t
A
t
A
t
A
t
y
]
sin
)
(
cos
)
[(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
2. jeżeli
jest s-krotnym pierwiastkiem wielomianu w(
), to funkcja postaci
t
m
m
m
m
m
m
m
m
S
S
e
t
B
t
B
t
B
t
B
t
A
t
A
t
A
t
A
t
t
y
]
sin
)
(
cos
)
[(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
gdzie m = max{k,l}, a A
1
, ..., A
m
, B
1
, ..., B
m
są odpowiednio dobranymi współczynnikami rzeczywistymi, jest rozwiązaniem
szczególnym tego równania.
Fakt 2.7.3 (o superpozycji rozwiązań)
Niech funkcje
(t) i
(t) będą rozwiązaniami odpowiednio równań
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
g
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
.
Wtedy ich suma
(t) +
(t) jest rozwiązaniem równania
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
t
h
t
g
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
t
p
y
n
n
n
n
n
.