ELEMENTY ANALIZY
MATEMATYCZNEJ
POCHODNA FUNKCJI
Matematyczny związek pomiędzy
dwoma wielkościami - zmienną
zależną i zmienną niezależną -
nazywamy funkcją.
W fizyce np. droga przebyta przez
ciało zależy od czasu – jest funkcją
czasu – s(t). Z kolei objętość gazu
jest funkcją temperatury i ciśnienia –
V(T,p), czyli objętość gazu zależy od
dwu zmiennych.
Pochodna funkcji
W ogólności możemy mówić o funkcji wielu
zmiennych.
Załóżmy że y jest funkcją x; y jest zmienną
zależną, x jest zmienną niezależną.
Pochodną funkcji y = f(x) nazywa się
granicę, do której dąży stosunek Δy /Δx
(przyrost funkcji do odpowiedniego
przyrostu zmiennej niezależnej), gdy Δx
dąży do zera:
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
)
(
)
(
lim
lim
0
0
Interpretacja geometryczna
pochodnej
Pochodna ma
następującą
interpretację geometryczną.
Pochodna funkcji w danym punkcie
jest równa tangensowi kąta
nachylenia stycznej do wykresu
funkcji w tym punkcie z osią Ox.
Pochodna funkcji y = f(x) oznaczamy
różnymi symbolami:
'
' y
f
dx
df
dx
dy
Przykłady w fizyce
Pochodna wyraża szybkość zmian
funkcji f(x) przy zmianie argumentu
x, niezależnie od tego czym jest
funkcja.
Np. prędkość, czyli parametr ruchu
zdefiniowana jest jako zmiana
położenia ciała w czasie. Prędkość
jest wektorem stycznym do toru w
każdym punkcie. W układzie s(t):
dt
ds
t
s
t
lim
0
dt
d
t
a
t
lim
0
Różniczka funkcji
Funkcję mającą pochodna w każdym punkcie
pewnego przedziału nazywa się
różniczkowalną w tym przedziale.
Znajdowanie pochodnej nazywa się
różniczkowaniem funkcji.
Różniczką funkcji y = f(x) nazywa się
iloczyn pochodnej tej funkcji przez dowolny
przyrost dx zmiennej niezależnej i oznacza
się symbolem dy
dy = f’ dx.
Różniczki w fizyce - przykłady
gdzie ds jest elementarnym
przemieszczeniem ciała (zwanym
drogą) przebytym w czasie dt z
prędkością υ, a - jest
przyspieszeniem.
dt
a
d
dt
ds
Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu
funkcji
Niech y(x), u(x) oraz v(x) oznaczają
funkcje różniczkowalne. Wówczas:
Pochodna sumy (różnicy) funkcji
Jeśli y = u ± v
to y’ = u’ ± v’
Pochodna iloczynu
Jeśli y = u v to y’ = (u v)’ = u’v + uv’
Pochodna ilorazu
Jeśli y = u/v
to
2
'
'
'
v
uv
v
u
y
Pochodna funkcji uwikłanej (złożonej)
Jeśli y = u[v(x)]
to y’ = u’ v’
Przykład:
gdy y = sinωt, to y’ = cosωt ω
Pochodna wektora
Podstawowe własności różniczkowania funkcji
są zachowane przy obliczaniu pochodnej funkcji
wektorowej względem skalarnego argumentu:
(A + B)’ = A’ + B’
(λA)’ = λ’A + λA
’
= λA
’
(A · B)’ = A’ · B + A · B’
(A x B)’ = A’ x B + A x B’
Uwaga,
skalarnym argumentem najczęściej stosowanym w
fizyce jest czas.
Pochodne wyższych rzędów
Pochodną rzędu drugiego lub drugą
pochodną
funkcji y = f(x)
nazywamy pochodną pierwszej pochodnej
tej funkcji.
Drugą pochodną oznaczamy
symbolami:
)
8
.
3
(
''
''
..
2
2
2
2
y
dx
f
d
dx
y
d
f
y
Druga pochodna w fizyce
Przyspieszenie a jest pierwszą pochodną
prędkości i
drugą pochodną zmiany położenia ciała
(drogi)
względem czasu.
Prędkość bowiem jest definiowana jako
pierwsza pochodna drogi względem czasu.
2
2
dt
s
d
dt
d
a
dt
ds
Pochodne cząstkowe
Rozważmy funkcję dwu zmiennych f(x,y).
Pochodną cząstkową tej funkcji w punkcie
(x
o,
y
o
) względem zmiennej x liczymy tak jak
zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej x;
przy czym zmienną y traktujemy jak stały
parametr.
Analogicznie definiujemy pochodną
cząstkową funkcji f(x,y) względem zmiennej
y.
Pochodne cząstkowe względem zmiennej x i
zmiennej y oznaczamy odpowiednio
:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
'
'
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f
y
x
Operator nabla. Gradient,
diwergencja, rotacja
Operatorem nazywamy symbol
(określający przepis) działania
matematycznego na jakiejś
wielkości. Np. symbol
dx
d
jest
jest operatorem różniczkowania po zmiennej
x.
Operator nabla, zwany operatorem
Hamiltona
z
y
x
k
j
i
Sam operator
(suma iloczynów wersorów i pochodnych
cząstkowych)
nie oznacza żadnej wielkości. Sensu nabiera
w działaniu
na jakąś wielkość.
Ma charakter wektora, więc działa na inne
wielkości tak
jakby był wektorem.
Gradient
–
iloczyn operatora nabla i skalara jest
wektorem
grad
k
j
i
z
y
x
)
(
y
temperatur
gradient
T
z
T
y
T
x
T
T
grad
k
j
i
)
(
Diwergencja
Iloczyn skalarny operatora nabla i
wektora jest skalarem
A
k
j
i
k
j
i
A
div
A
A
A
z
y
x
z
y
x
)
(
.
)
(
.
Rotacja
Iloczyn wektorowy operatora nabla i
wektora jest wektorem:
A
k
j
i
k
j
i
A
rot
A
A
A
z
y
x
z
y
x
)
(
)
(
Operator Laplace’a (laplasjan)
Iloczyn skalarny dwóch operatorów nabla
)
(
.
)
(
.
z
y
x
z
y
x
k
j
i
k
j
i
CAŁKOWANIE
Całkowanie jest działaniem “odwrotnym”
(„uzupełniającym”) do różniczkowania
.
Całka nieoznaczona funkcji f(x) symbolicznie oznaczana
jest jako
Całką funkcji f(x) [ciągłej w przedziale <a,b>] nazywamy
wyrażenie: F(x) + C,
takie, że pochodna funkcji F(x) równa się funkcji f(x):
F’(x) = f(x).
dx
x
f
)
(
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
Zate
m:
gdzie C jest
stałą.
Całka oznaczona
Przez całkę oznaczoną funkcji f(x) w
granicach od a do b rozumiemy:
Przy czym
[funkcja f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>]
a – dolna granica całkowania,
b – górna granica całkowania.
b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
Przykłady zastosowań całek
oznaczonych w fizyce
t
dt
s
0
Na wykresie υ(t) [prędkość w zależności od
czasu] s [droga] jest polem powierzchni pod
krzywą, w granicach od 0 do t.
t
o
dt
I
Q
Na wykresie zależności natężenia prądu
elektrycznego od czasu, czyli I(t), ładunek Q
jest polem powierzchni pod krzywą, w
granicach od 0 do t.
LICZBY ZESPOLONE
Algebraiczna postać liczby zespolonej:
z = a + i b
gdzie; a,b – dowolne liczby rzeczywiste,
i – jednostka urojona; i
2
= -1
przy czym a = Re (z)
b = Im (z)
Trygonometryczna postać liczby
zespolonej:
z = r cosφ + i r sinφ
gdzie liczba zespolona jest punktem na
płaszczyźnie zespolonej.
Wg interpretacji geometrycznej –
położenie punktu dane jest za pomocą
wektora wodzącego r, ustawionego pod
kątem φ względem osi Ox. Składowa x-
owa wektora r jest rzeczywista i wynosi
a = r cosφ,
zaś składowa y-owa jest urojona i wynosi
b = r sinφ.
Postać wykładnicza liczby zespolonej:
z = r e
iφ
gdzie φ jest argumentem liczby zespolonej.
Moduł, tj. wartość bezwzględna liczby
zespolonej jest równa długości wektora
wodzącego:
z* = a - i b = r(cosφ - i sinφ) = r e
-iφ
.
Działania na liczbach zespolonych:
dodawanie
Mnożenie, dzielenie, potęgowanie.
Liczba sprzężona z liczbą z to liczba z*:
b
a
r
z
2
2