CAŁKA NIEOZNACZONA.

Całka nieoznaczona funkcji
nazywamy rodzinę wszystkich pierwotnych i oznaczamy:

, gdy

• 
  - symbol całkowania

• 
  - funkcja podcałkowa

• 
  - stała całkowania

• 
  - zmienna całkowania

• 
  - wyrażenie podcałkowe

Funkcją pierwotną funkcji
określonej w przedziale
skończonym lub nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną
taką, że
dla każdego
. Jeżeli
jest funkcją pierwotną funkcji
, to każda inna funkcja pierwotna funkcji
jest równa
, gdzie
jest pewna stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które ją mają nazywamy funkcjami całkowalnymi.

Całki funkcji elementarnych:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  
  
  

• 
  
  
  
  
  

Tablica całek:

1. 
   
   

2. 
   

3. 
   
   
   

4. 
   
   

5. 
   

6. 
   
   

7. 
   

8. 
   
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    
    
    

12. 
    
    
    

Podstawowe prawa całkowania:

• całkowanie przez podstawienie

, gdzie
i

• całkowanie przez części.

• całka z sumy (różnicy) funkcji

• całka z iloczynu funkcji przez stałą

, gdzie

Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Całki wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne o postaci:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

można sprowadzić do podstawowych wzorów całkowania, a tym samym obliczać na podstawie następujących reguł:

1. Całki typu
   
   gdzie
   

1. Jeżeli n liczbą nieparzystą, to stosujemy podstawienie cos x = t przy obliczaniu pierwszej całki i sin x = t gdy obliczamy drugą całkę.

2. Gdy n jest liczbą parzystą to mamy do wyboru dwie możliwości:

1. przekształcić funkcję podcałkową wg wzorów (obniżenie wykładnika potęgi)

2. wykorzystując wzory rekurencyjne :

1. m - liczba nieparzysta
   
   

2. n - liczba nieparzysta
   
   

3. m, n - parzyste liczby
   ( wzory rekurencyjne)

2. Całki typu
   
   
   

1. Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy cos x = t

2. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy sin x = t

3. Jeśli obie liczby są parzyste, to przekształcamy funkcję podcałkową wykorzystując do tego wzory

3. Całki typu
   ,
   

Obliczamy przez podstawienie nowej zmiennej, zamiast
lub odpowiednio
.

4. Całki typu
   ,
   ,
   

Obliczamy przez przekształcenie iloczynów wyrażeń podcałkowych na sumę, wg wzorów:

Całkowanie funkcji wymiernej.

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci
,
, gdzie
(wielomian stopnia k-tego)

• 
  - funkcja wymierna niewłaściwa

• 
  - funkcja wymierna właściwa

Uwaga:

Każdy wielomian
może być przedstawiony w postaci iloczynu dwumianów
lub trójmianów

- rozkład na ułamki proste w postaci

,

1. Jeżeli
   

to:

2. 
   
   - rozkład na ułamki proste

3. 
   to
   

4. 
   
   doprowadzenie do pochodnej mianownika i zastosowanie

wzoru na arctg .

tzn

Całkowanie funkcji przestępnych (nie algebraicznych).

Do całek funkcji wymiernych sprowadzają się następujące całki (R - funkcja wymierna):

1. 
   

przez podstawienie

;

wtedy

oraz

2. 
   

przez podstawienie

;

wtedy

3. 
   

przez podstawienie

;

wtedy

CAŁKA OZNACZONA.

Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale
, tzn. jeżeli F'(x) = f(x), to ma miejsce wzór

,

przy czym różnica F(b) - F(a) nie zależy od stałej całkowania C.

Prawą stronę równania oznacza się symbolem

lub
.

Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

.

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale
, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale
to zachodzi następujący wzór:

.

Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

Definicja całki oznaczonej.

Jeżeli:

= F(x) + c,

to

W interpretacji geometrycznej całka oznacza pole obszaru płaskiego zawartego między linią linią y=f(x)
0 i osią X:

Właściwości całek oznaczonych.

a) Z definicji całki mamy:

b) Warunki:

• f(x)≥0 =>
  

• f(x)<0 =>
  

• f(x)≤g(x) =>
  

• 
  

• 
  

• 
  

c) Całka sumy równa się sumie całek, co można zapisać:

.

Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.

d) Całka oznaczona posiada własność liniowości.

Wzór ten należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.

---