Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera ma postać
1
N
...
2
,
1
,
0
k
e
X
N
1
x
N
kn
2
j
n
1
N
0
n
k
−
=
∑
=
π
−
=
oznaczając
N
2
j
e
W
π
−
=
, parę dyskretnych przekształceń Fouriera można
przedstawić w postaci
nk
k
1
N
0
k
n
W
x
X
∑
=
−
=
oraz
nk
n
1
N
0
n
k
W
X
N
1
x
−
−
=
∑
=
Proste przekształcenie Fouriera można przedstawić w zapisie
macierzowym następująco
k
n
Cx
X
=
gdzie
X
n
– wektor kolumnowy przedstawiający N zespolonych składowych
widma sygnału,
C – kwadratowa macierz wektorów postaci
N
2
j
e
π
−
,
X
k
– wektor kolumnowy przedstawiający N próbek sygnału x(t).
Dla N=8 macierz ma postać
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
0
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
1. Elementami macierzy kwadratowej są wektory jednostkowe
N
2
j
e
π
−
o różnych orientacjach kątowych.
2. Wierszami macierzy są przyporządkowane kolejne wartości
częstotliwości n=0,1,2...7.
3. Kolumnom macierzy są przyporządkowane kolejne momenty
próbkowania k=0,1,2...7.
Przykład
dla
1
N
kn
2
j
e
0
N
kn
2
j
0
n
=
π
−
=
π
−
→
=
,
/
,
wynik
- wymnożenie wartości próbek przez 1
- n=0
→
f=0 (składowa stała)
dla
N=1
wynik
- n=1
→
f – najniższa składowa widma
- wartość amplitudy składowej sygnału
7
8
14
j
6
8
12
j
5
8
10
j
4
8
8
j
3
8
6
j
2
8
4
j
1
8
2
j
0
0
1
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
X
π
−
π
−
π
−
π
−
π
−
π
−
π
−
+
+
+
+
+
+
+
=
-współczynniki dla x
0
, x
1
, x
2
, x
3
są równe odpowiednim współczyn-
nikom (ze znakiem przeciwnym) dla x
4
, x
5
, x
6
, x
7
.
Wnioski
1. Wszystkie częstotliwości dla
4
n
≥
(ogólniej
2
N
n
≥
) można
traktować jako częstotliwości ujemne w widmie sygnału.
2. Obliczenie każdej kolejnej składowej widma wiąże się ze
zmianą orientacji kątowej wektora jednostkowego o 1/N.
3. Przyrost n o wartość 1 odpowiada podwojeniu częstotli-
wości składowej widma.