Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera ma postać

1

N

...

2

,

1

,

0

k

e

X

N

1

x

N

kn

2

j

n

1

N

0

n

k

−

=

∑

=

π

−

=

oznaczając

N

2

j

e

W

π

−

=

, parę dyskretnych przekształceń Fouriera można

przedstawić w postaci

nk

k

1

N

0

k

n

W

x

X

∑

=

−

=

oraz

nk

n

1

N

0

n

k

W

X

N

1

x

−

−

=

∑

=

Proste przekształcenie Fouriera można przedstawić w zapisie
macierzowym następująco

k

n

Cx

X

=

gdzie

X

n

– wektor kolumnowy przedstawiający N zespolonych składowych

widma sygnału,

C – kwadratowa macierz wektorów postaci

N

2

j

e

π

−

,

X

k

– wektor kolumnowy przedstawiający N próbek sygnału x(t).

Dla N=8 macierz ma postać

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

0

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

X

7

X

1. Elementami macierzy kwadratowej są wektory jednostkowe

N

2

j

e

π

−

o różnych orientacjach kątowych.

2. Wierszami macierzy są przyporządkowane kolejne wartości

częstotliwości n=0,1,2...7.

3. Kolumnom macierzy są przyporządkowane kolejne momenty

próbkowania k=0,1,2...7.

Przykład

dla

1

N

kn

2

j

e

0

N

kn

2

j

0

n

=

π

−

=

π

−

→

=

,

/

,

wynik

- wymnożenie wartości próbek przez 1
- n=0

→

f=0 (składowa stała)

dla

N=1

wynik

- n=1

→

f – najniższa składowa widma

- wartość amplitudy składowej sygnału

7

8

14

j

6

8

12

j

5

8

10

j

4

8

8

j

3

8

6

j

2

8

4

j

1

8

2

j

0

0

1

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

X

π

−

π

−

π

−

π

−

π

−

π

−

π

−

+

+

+

+

+

+

+

=

-współczynniki dla x

0

, x

1

, x

2

, x

3

są równe odpowiednim współczyn-

nikom (ze znakiem przeciwnym) dla x

4

, x

5

, x

6

, x

7

.

Wnioski

1. Wszystkie częstotliwości dla

4

n

≥

(ogólniej

2

N

n

≥

) można

traktować jako częstotliwości ujemne w widmie sygnału.

2. Obliczenie każdej kolejnej składowej widma wiąże się ze

zmianą orientacji kątowej wektora jednostkowego o 1/N.

3. Przyrost n o wartość 1 odpowiada podwojeniu częstotli-

wości składowej widma.