PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Wariacje

$$\left( W_{n}^{k} \right) = \frac{n!}{\left( n - k \right)!}$$

Kombinacje

$$\ \left( C_{n}^{k} \right) = \frac{n!}{k!\left( n - k \right)!}$$

• n − wielkosc zbioru,

• k − liczba ciagu

Bernoulie

$\ P_{\text{nk}}\left( \frac{n}{k} \right) = p^{n}q^{n - k}$

Poisson

$$\ P_{n}\left( k,\lambda \right) = e^{- \lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$$

• n − ilosc prob,

• k − ilosc sukcesow,  

• p − prawd.sukcesu,  

• q − prawd.porazki

• λ − np

(n+1)p − 1 ≤ K₀ ≤ (n+1)p ⇒  n − ilosc prob,  p − prawd.sukcesu

ANALIZA SZEREGU ZŁOŻONEGO

Wariancja

$$\ S^{2}\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}$$

Odchylenie Standardowe

$$S(x) = \sqrt{S^{2}\left( x \right)}$$

Odchylenie przeciętne od wartości średniej

$$d\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left| x_{i} - \left. \ \overset{\overline{}}{x} \right| \right.\ $$

Współczynnik zmienności(zróżnicowania)

$$V\left( x \right) = \frac{S\left( x \right)}{\overset{\overline{}}{x}}100\%,\ \overset{\overline{}}{x} \neq 0$$

ANALIZA SZEREGU ROZDZIELCZEGO

Srednia arytmetyczna

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{x_{i}f_{i}}}{N}$$

• x_i − srodek przedzialu

• f_i −  licznosc w przedziale

• N − ilosc elementow

Dominanta

$$D = X_{\text{oD}} + i_{D}^{,}\frac{f_{D} - f_{D - 1}}{f_{D} - f_{D - 1} + f_{D} - f_{d + 1}}$$

• X_oD − lewy koniec przedzialu dominanty

• i_D^, − rozpietosc przedzialu dominanty

• f_D − licznosc w przedziale dominanty

Mediana

$$M\left( x \right) = X_{\text{oM}} + \frac{i_{M}^{'}}{f_{M}}\left( \frac{N}{2} - \sum_{i = 1}^{M - 1}f_{i} \right)$$

• X_oM − lewy koniec przedzialu mediany

• i_M^′ − rozpietosc przedialu mediany

• f_M − licznosc przedzialu mediany

• $\sum_{i = 1}^{M - 1}f_{i} - licznosc\ z\ \ przedzialow\ przed\ mediana$

Wariancja

$$S^{2}\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{N}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}f_{i}}{N}$$

• f_i − liczebosc w danym przedziale

• N − liczebosc we wszystkich przedzialach

Odchylenie Standardowe 

$$S(x) = \sqrt{S^{2}\left( x \right)}$$

Asymetria

$$\text{\ A}\left( x \right) = \frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{S(x)}\text{\ lub\ A}\left( x \right) = \frac{Q_{3}\left( x \right) + Q_{1}\left( x \right) - 2M(x)}{2Q(x)}$$

Kwartyl I

$$\ Q_{1}\left( x \right) = X_{oQ1} + \frac{i_{Q1}^{'}}{f_{Q1}}\left( \frac{N}{4} - \sum_{i = 1}^{Q1 - 1}f_{i} \right)$$

• X_oQ1 − lewy koniec przedzialu kwartylu

• i_Q1^′ − rozpietosc przedialu kwartylu

• f_Q1 − licznosc przedzialu w kwartylu

• $\sum_{i = 1}^{Q1 - 1}f_{i} - licznosc\ z\ \ przedzialow\ przed\ kwartylem$

Kwartyl III

$$\ Q_{3}\left( x \right) = X_{oQ3} + \frac{i_{Q3}^{'}}{f_{Q3}}\left( \frac{3N}{4} - \sum_{i = 1}^{Q3 - 1}f_{i} \right)$$

• X_oQ3 − lewy koniec przedzialu kwartylu

• i_Q3^′ − rozpietosc przedialu kwartylu

• f_Q3 − licznosc przedzialu w kwartylu

• $\sum_{i = 1}^{Q3 - 1}f_{i} - licznosc\ z\ \ przedzialow\ przed\ kwartylem$

Odchylenie Cwiartkowe

$$Q\left( x \right) = \frac{Q_{3}(x) - Q_{1}(x)}{2}$$

Wspolczynnik zmiennosci 

$$V_{a}\left( x \right) = \frac{Q\left( x \right)}{M(x)}$$