padłe do toru tocznego (koła zasadniczego) aż do przecięcia się z linią równoległą do niego i otrzymujemy chwilowe środki koła tocznego O_l5 0{, 0'( .... Z kolei z tych środków kreślimy promieniem q łuki. Następnie odcinamy z punktów 1, 2, 3,... kolejno odcinki II = Cl', 211 = C2', 3III — C3' aż do przecięcia z poprzednio zakreślonymi lukami. Otrzymana w ten sposób krzywa C, /, //, /// jest cykloidą zwyczajną. Punkty 1' i I leżą na tej samej prostej równoległej do linii tocznej, podobnie 2' i II, jak też 3' i III....

Proste II, 211,3III są prostopadłe do cykloidy w punktach I, II, III, natomiast linia IIID jest styczna do cykloidy w punkcie III.

Na podstawie ogólnych zasad zazębienia (p. 2 i 3) dochodzimy do tego, że linią przypora jest linia CI' II' III', gdyż normalne II, 211, 3111... są równe odcinkom CI', CII', CIII'... i przechodzą przez punkt C.

2. Epicykloida

Powstaje ona (rys. I-5b) przez przetaczanie się koła odtaczającego po torze kołowym zewnętrznym (kole zasadniczym).

D

/

Rys. 1-5. Wykreślenie: a) cykloidy zwyczajnej, b) epicykloidy

Sposób kreślenia odbywa się zupełnie podobnie jak zwyczajnej cykloidy z tym, że:

1. chwilowe środki 0_1S 0[, Oi'... kół odtaczających leżą na okręgu koła o promieniu OO_t w punktach przecięcia się koła z promieniami przeprowadzo­nymi ze środka toru O przez punkty 1, 2, 3;

2. poza tym zamiast prostych występują koła równoległe do toru, a więc III’ III 3'.

2. Hipocykloida

Hipocykloida (rys. 1-6) jest wynikiem toczenia się koła odtaczającego o promieniu q po wewnętrznym torze kołowym o promieniu r_b (kole zasadni­czym). Konstrukcja jak pod a. i b. Mogą przy tym wystąpić cztery charakterysty­czne przypadki:

1. 2q <r_b (rys. I-6a),

2. 2q = r_b (rys. I-6b), hipocykloida jest linią prostą przechodzącą przez śro­

dek toru kołowego O,

kolo zasadnicze o) ,J,

( kolo zasadnicze

Rys. 1-6.

Wykreślanie hipocy- kloidy: a) gdy 2q < r_b3 b) gdy 2 o = r_b

1. 2q > r_b krzywizna hipocykloidy jest skierowana w przeciwnym kierunku niż ruch koła odraczającego,

2. 2q = 2r_b, hipocykloida ogranicza się do jednego jedynego punktu. Wystę­puje wówczas tzw. zazębienie punktowe.

2. Ewolwenta (odwinięta koła)

Ewolwenta (rys. 1-7) powstaje* gdy promień koła odtaczającego q = go, tzn., że linia prosta toczy się po torze kołowym (kole zasadniczym)© pro­mieniu r_b.

Rys. 1-7. Wykreślenie ewolwenty przez: a) odtaczanie linii przyporu (koła otaczającego o q — oo) z koła zasadniczego o promieniu r_b3 b) odwijanie nici z koła zasadniczego o promieniu r_b lub jako wyniku obwodzenia stycznymi t

W zasadzie konstrukcja tej linii jest taka sama jak poprzednich. Z punktu A

odcinamy jednakowe odcinki Al =A1', 12 = 1 ’2’.... Z kolei odcinamy na stycz­nych wystawionych w punktach 1, 2, 3... odcinki 11= Al', 211 — A2'.... Styczne te są równocześnie normalnymi do ewolwenty w odpowiednich punktach, a punkty 1, 2, 3... środkami krzywizny ewolwenty w punktach I, II, III.... Punkty 1', 2', 3'... są wreszcie punktami linii przyporu, gdyż odcinki AlA2', A3' są równe normalnym do ewolwenty II, 211, 3III i przechodzą przez punkt A.

Ponieważ w przekładniach przenoszących duże siły i pracujących przy znacz­niejszych prędkościach przyjęto ewolwentę jako jedyną krzywą tworzącą zarys boku zębów kół zębatych, przeto podamy jeszcze dalsze szczegóły dotyczące tej krzywej.

Poza wyżej podaną metodą można odtworzyć jeszcze ewolwentę (rys. I-7b):

• jako tor (miejsce geometryczne) końcowego punktu A prostej, która przetacza się bez poślizgu po obwodzie koła zasadniczego o promieniu r_b. W prak­tyce używa się nici, drutu lub taśmy stalowej, które nawinięte na cylinder o pro­mieniu r_b, odwijając się z niego, kreślą swym końcem ewolwentę (znajduje to zastosowanie przy nacinaniu zębów wg metody Bilgrama, jak również przy szlifowaniu zębów wg metody Ma aga);

• jako sieć prostych obwiednich t (stycznych) obwodzących ewolwentę (rys. I-7b) w punktach A, A_1} A₂, A₃,.... Na rys. I-7b przedstawiono powstawa­nie ewolwenty przez odwijanie się linii o z koła zasadniczego, przy czym punkt A albo też proste obwiednie t tworzą ewolwentę.

Na podstawie rys. I-7a możemy wykreślić ewolwentę w następujący sposób:

1. Poczynając od punktu A koła zasadniczego dzielimy okrąg tego koła na równe odcinki: Al = 1 2 = 2 3.

2. W punktach 1, 2, 3 kreślimy styczne do koła zasadniczego i odmierzamy

na tych stycznych odcinki: na stycznej w punkcie 1 odcinek II = Al, na stycznej

w punkcie 2 odcinek 211 = A2 itd.

1. Krzywa A, I, II... jest ewolwentą.

9. Wymiary kół zębatych

1. Koło podziałowe, podziałka nominalna i moduł nominalny

Jak już wspomniano we wstępie, koła zębate pracują ze sobą co najmniej parami przez zazębienie się (zęby jednego koła wchodzą we wręby koła drugiego (rys. 1-8)). W pewnej wysokości zębów obydwu kół zębatych można sobie wy­obrazić koła toczne stykające się ze sobą i toczące po sobie bez poślizgu.

Innym bardzo ważnym kołem wyobrażalnym, występującym w każdym kole zębatym oddzielnie, jest koło podziałowe¹’; jest to koło, na którego okręgu odmierza się podziałkę nominalną p (tj. odstęp zęba od zęba, rys. 1-9). 'Koło to dzieli ząb na dwie części: na głowę i na stopę (rys. 0-5 i I-9)²⁾. Można powiedzieć, że na obwodzie koła podziałowego można odmierzyć tyle podziałek nominalnych p, ile jest zębów w kole zębatym, a więc

zp = ttd skąd d= z--

[1-4]

[1-5]

— = m

7C*

d = zm

Zakładając zaś wielkość otrzymamy

Rys. 1-8. Współpraca dwóch kół ze sobą; określenie luzu wierz­chołkowego i obwodowego oraz odległości osi

Wielkość m nazywamy modułem nominalnym¹’ rozpatrywanego koła zębatego. Równanie [1-5] możemy wyrazić słowami: Na średnicy koła podziałowego można odmierzyć tyle modułów nominalnych, ile jest zębów w rozpatrywanym kole zębatym.

Rys. 1-9. Podstawowe wymiary w walcowym kole zębatym; d — średnica podziałowa, d_a — średnica wierzchołkowa, d_f — średni­ca dna wrębów, p — podziałka nominalna (odmierzana na okręgu koła podziałowego), 7 — grubość zęba, e — szerokość wrębu, h_a — wysokość głowy zęba, h_f — wysokość stopy zęba

Tabela 1/1. Ciąg znormalizowanych modułów nominalnych m> mm

wg PN-78/M-88502

				0,05	0,055
0,06	0,07	0,08	0,09	0,1	0,11
0,12	0,14	0,15	0,18	0,2	0,22
0,25	0,28	0,3	0,35	0,4	0,45
0,5	0,55	0,6	0,7	0,8	0,9
1	1,125	1,25	1,375	1,5	1,75
2	2,25	2,5	2,75	3	3,5
4	4,5	5	5,5	6	7
8	9	10	11	12	14
16	18	20	22	25	28
32	36	40	45	50	55
60	70	80	90

Moduły ujęte w ramki są uprzywilejowane

^x) Moduł ten nazywamy nominalnym, tj. określającym dane koło w odróżnieniu od innych modułów, którymi są: moduł normalny, moduł czołowy, moduł zasadniczy, moduł przyporu itp., o których jest mowa zarówno w dalszej treści niniejszego tomu, jak również w po­zostałych dwóch tomach.

I. Przekładnie zewnętrzne o zębach prostych Tabela 1/2. Zależności między modułami i podziałkami, mm

m	P	m	P	m	P	m	P
0,4	1,257	1,5	4,712	6	18,850	25	78,540
0,45	1,414	1,75	5,498	7	21,991	28	87,964
0,5	1,571	2	6,283	8	25,132	32	100,531
0,55	1,728	2,25	7,069	9	28,274	36	113,097
0,6	1,885	2,5	7,854	10	31,416	40	123,664
0,7	2,199	2,75	8,639	11	34,558	45	141,371
0,8	2,513	3	9,425	12	37,699	50	157,079
0,9	2,827	3,5	10,996	14	43,982	55	172,787
1	3,142	4	12,566	16	50,266	60	188,495
1,125	3,613	4,5	14,137	18	56,549	70	219,911
1,25	3,927	5	15,708	20	62,832	80	251,327
1,375	4,322	5,5	17,279	22	69,115	90	282,743

Moduł nominalny i podziałkę nominalną wyrażamy z reguły w mm.

Moduły nominalne zostały znormalizowane, tzn. przyjęto stosować tylko moduły nominalne o ściśle określonych wartościach. Normalizacja modułów nominalnych okazała się konieczna w celu:

• ułatwienia zamienności kół zębatych,

• ograniczenia liczby bardzo drogich narzędzi do nacinania zębów²'.

Moduły znormalizowane podano w tabeli 1/1, zaś w tabeli 1/2 — zależność

między modułem nominalnym i podziałką nominalną.

Poza wyżej podanymi wartościami modułów spotyka się jeszcze ciąg modułów nominalnych Maaga (tab. 1/3). Ciąg ten został obrany w celu ułatwienia prze­prowadzenia tzw. korekcji uzębienia i zazębienia (poprawki Maaga³).

W krajach posługujących się calowym systemem miar występują zamiast modułu:

Circular-Pitch — CP — podziałka wyrażona w calach.

Diametral-Pitch — DP — liczba modułów przypadających na 1 cal dłu­gości średnicy podziałowej.

Między"powyższymi wielkościami a modułem istnieją następujące zależności:

CP

[1-6]

mm

m

[1-7]

cal

[1-8]

CP

m

7_ ^25*^4 _ * _	25,4#	1
^UJ m CP	d	cal

25,4 _ 25,4 DP tr

25,4

TU

~DP

dr: '25,4*”

Powyższe zależności zestawiono w tabelach 1/4 i 1/5.

Tabela 1/3. Ciąg modułów Maaga

Nr noża	m mm	Nr noża	m mm	Nr noża	j m j mm	Nr noża	m mm	Nr noża	m mm
1	1,0000	39	3,8333	77	7,500	115	13,0000	153	20,25
2	1,0625	40	3,9167	78	7,625	116	13,1667	154	20,50
3	1,1250	41	4,0000	79	7,750	117	13,3333	155	20,75
4	1,1875	42	4,0833	80	7,875	118	13,5000	156	21,00
5	1,2500	43	4,1667	81	8,000	119	13,6667	157	21,25
6	1,3125	44	4,2500	82	8,125	120	13,8333	158	21,50
7	1,3750	45	4,3333	83	• 8,250	121	14,0000	159	21,75
8	1,4375	46	4,4167	84	8,375	122	14,1667	160	22,00
9	1,5000	47	4,5000	85	8,500	123	14,3333	161	22,25
10	1,5625	48	4,5833	86	8,625	124	14,5000	162	22,50
11	1,6250	49	4,6667	87	8,750	125	14,6667	163	22,75
12	1,6875	50	4,7500	88	8,875	126	14,8333	164	23,00
13	1,7500	51	4,8333	89	9,000	127	15,00	165	23,25
14	1,8125	52	4,9167	90	9,125	128	15,20	166	23,50
15	1,8750	53	5,0000	91	9,250	129	15,40	167	23,75
16	1,9375	54	5,10	92	9,375	130	15,60	168	24,00
17	2,0000	55	5,20	93	9,500	131	15,80	169	24,25
18	2,0833	56	5,30	94	9,625	132	16,00	170	24,50
19	2,1667	57	5,40	95	9,750	133	16,20	171	24,75
20	2,2500	58	5,50	96	9,875	134	16,40	172	25,00
21	2,3333	59	5,60	97	10,000	135	16,60	173	25,3333
22	2,4167	60	5,70	98	10,167	136	16,80	174	25,6667
23	2,5000	61	5,80	99	10,3333	137	17,00	175	26,0000
24	2,5833	62	5,90	100	10,5000	138	17,20	176	26,3333
25	2,6667	63	6,00	101	10,6667	139	17,40	177	26,6667
26	2,7500	64	6,10	102	10,8333	140	17,60	178	27,0000
27	2,8333	65	6,20	103	11,0000	141	17,80	179	27,3333
28	2,9167	66	6,30	104	11,1667	142	18,00	180	27,6667
29	3,0000	67	6,40	105	11,3333	143	18,20	181	28,0000
30	3,0833	68	6,50	106	11,5000	144	18,40	182	28,3333
31	3,1667	69	6,60	107	11,6667	145	18,60	183	28,6667
32	3,2500	70	6,70	108	11,8333	146	18,80	184	29,0000
33	3,3330	71	6,80	109	12,0000	147	19,00	185	29,3333
34	3,4167	72	6,90	110	12,1667	148	19,20	186	29,6667
35	3,5000	73	7,00	111	12,3333	149	19,40	187	30,0000
36	3,5833	74	7,125	112	12,5000	150	19,60
37	3,6667	75	7,250	113	12,6667	151	19,80
38	3,7500	76	7,375	114	12,8333	152	20,00

Przyjęto tu nominalny kąt zarysu narzędzia <x₀ = 15° oraz normalną wysokość zębów (y — 1)

1. Głowa i stopa zęba. Luz wierzchołkowy

Jak już wspomniano, w p. 9a koło podziałowe dzieli ząb na dwie części, górną zwaną głową i dolną — stopą (rys. 0-6). Obie te części zęba nie pozostają względem siebie w dowolnym stosunku. Pamiętać bowiem należy, że w celu swobodnego przejścia wierzchołka zęba musi się przewidzieć tzw. luz wierzchołko-

Tabela 1/4. Zamiana diametral pitch na moduły

DP l/cal	m mm	DP l/cal	m mm	DP l/cal	m mm	DP l/cal	m mm	DP l/cal	m mm
V.	50,8	3	8,46667	12	2,11666	24	1,05833	42	0,60476
	33,86667	3 Va	7,25714	13	1,95384	25	1,016	44	0,57727
1	25,4	4	6,35	14	1,81428	26	0,97692	46	0,55217
i ^xu	20,32	5	5,08	15	1,69333	28	0,90714	48	0,52916
1 ^x/2	16,93333	6	4,23333	16	1,5875	30	0,84666	50	0,508
i ^zu	14,51428	7	3,62857	17	1,49412	32	0,79375	56	0,45357
2	12,7	8	3,175	18	1,41111	34	0,74706	60	0,42333
2 V*	11,28889	9	2,82222	19	1,33681	36	0,70555
2 V2	10,16	10	2,54	20	1,27	38	0,6684
2 ^4/4	9,23637	11	2,30909	22	1,15454	40	0,635	i

Tabela 1/5. Zamiana circular pitch na moduły

CP cal	m mm	CP cal	m mm	CP cal	m mm	CP cal	m mm	CP cal	m mm
^1/l.6	0,50531	^9/l6	4,54785	1 ^1/l6	8,59039	1 ^5/s	13,13824	3 V*	1 26,27648
V.	1,01063	^6/s	5,05317	1 Vs	9,0957	i *u	14,14887	3 V.	28,29774
^3/l6	1,51594	^11116	5,55845	1 ^3/16	9,60101	1 ^6/8	15,1595	3 ^3/4	30,319
*/«	2,02127	^3U	6,0638	i	10,10634	2	16,17014	4	32,34028
^5/16	2,52658	^13/16	6,56911	1 ^5/l6	10,61165	2 V4	18,19141	4 V.	36,38281
^3/s	3,03189	^7/s	7,07443	1 ^3/s	11,11696	2 V.	20,21267	5	40,42535
^7/l6	3,53720	15/ /16	7,57975	1 ^?/16	11,62227	2 ^3U	22,23394	5 V,	44,46785
*/.	4,04253	1	8,08507	i V,	12,12760	3	| 24,25521

wy. O ten więc luz wierzchołkowy musi być wyższa stopa zęba w kole 2 (rys. 1-8) od głowy zęba w kole 1. Wzorami można przedstawić to następująco

h_fi = h_a2-\~c h_f2 = h_alĄ-c |

A = A_ai+A/x = A_fl2+A_/2 J

gdzie: h_al) h_a2t — wysokość głów zębów w kole 1 i 2, h/₁₃ h_f2 — wysokość stóp zębów w kole 1 i 2, h — całkowita wysokość zęba, c — luz wierzchołkowy.

Całkowita wysokość zęba nie jest wielkością dowolną* gdyż to utrudniało­by zarówno projektowanie, jak też wykonanie. Wiąże się to również z kosztami narzędzi, które są bardzo duże. Określamy ją za pomocą zależności

[MO]

h = 2ymĄ-c

gdzie y — współczynnik wysokości zęba (wartości liczbowe p.I.A.10¹*)

Luz wierzchołkowy nie może być również dowolny. Od niego bowiem zależy całkowita wysokość zęba, a więc i jego wytrzymałość na zginanie. Z drugiej jednak strony nie można zbytnio ograniczać tego luzu, gdyż stwarzałoby to znaczne trudności wykonawcze.

Dawniej przyjmowano ten luz c = 1/6 m.

Obecnie przyjmuje się ze względów wykonawczych

[1-11]

przy czym współczynnik luzu wierzchołkowego c* może przybierać wartości

[1-12]

0,1^0,35

Dla celów konstrukcyjnych wystarczy przyjąć

c = 0,2 m

Należy ponadto stwierdzić, że w różnych państwach i firmach spotyka się i inne wartości, wszystkie jednak mieszczą się w granicach określonych wzorem [1-12].

1. Koło wierzchołkowe i koło dna wrębów (koło stóp)

Koło wierzchołkowe jest to koło ograniczające ząb od strony wierzchołka. Średnicę jego obliczymy ze wzoru

[1-13]

d-_--2h_a

przy czym: znak + występuje przy uzębieniu zewnętrznym,

znak — , gdy koło ma uzębienie wewnętrzne (rys. 1-13).

Podobnie jest z kołem dna wrębów (zwanym inaczej kołem stóp). Średnica jego wynosi

[1-14]

df — d 2h_f

znak — odnosi się do uzębienia zewnętrznego, znak + do uzębienia wewnętrznego (rys. 1-13), gdzie: d_a — średnica koła wierzchołkowego,

d_f — średnica koła dna wrębów (stóp).

*

9. Typy i odmiany zębów

W konstrukcjach spotyka się typy i odmiany zębów przedstawione na schemacie (rys. 1-10).

Przyjąwszy za podstawę rozumowania wzór [1-10] określimy jako zęby normalne te, w których (rys. I-llb)

[1-15]

y= 1

Zęby

norm	la tne
y = 1,h	- 2,2 m
rys.	1-1 Ib
korygowane
^hfk'	^hak^^C
rys. I-	12a i b

y < 1,h <2,2 m

wysoki e y > 1,h > 2,2 m

h = h , - km ad ak

niskie

typy

rys. 1-11 a

rvs. 1-11c

dz i k i e

odmiany

Rys. 1-10.

Typy i odmiany zębów w kołach zębatych

rys. 1-11

rys. I-12c

a więc całkowita wysokość zęba wyniesie przy uwzględnieniu wzorów [1-10] i [I-12a]

[1-16]

h — 2-1 m+0,2 m

h — 2,2 m

[1-17]

h < 2,2 m

[M8]

h >2,2 m

zęby niskie (rys. I-lla)

gdy y < 1 oraz zęby wysokie (rys. I-llc)

gdy y > 1 oraz

Rys. 1-11.

Typy zębów zerowych: a) ni­skie, b) normalne_a c) wysokie; K_p — koło podziałowe

Zębami zerowymi będziemy nazywali takie zęby, w których różnica wysokości stopy i głowy zęba w tym samym zębie koła jest równa luzowi wierzchoł­kowemu (rys. 1-11), a więc

[1-19]

zęby zerowe (rys. 1-11), gdy

h_f—h_a = c

Wszystkie inne przypadki charakteryzują albo zęby korygowane (rys.I- -12a i b), albo dzikie (rys. I-12c). Dla odróżnienia jednak określimy, że dzikie zęby powstają przez skrócenie głowy zarówno zębów zerowych, jak i korygo-

4 Koła zębate t. I

wanych ze względów konstrukcyjnych lub montażowych, albo wreszcie wyko­nawczych (uzębienie wewnętrzne). Spotykamy się z nimi również w kołach stoż­kowych.

Rys. 1-12.

Odmiany zębów:

1. i b) korygowane, c) dzikie; K_f — koło podziałowe

Zestawienie wzorów do określenia wymiarów wysokościowych zęba prostego podano w tab. 1/6.

Tabela 1/6. Zestawienie wzorów do określenia wymiarów wysokościowych zęba prostego

Wysokość	Odmiana zęba	Wzór
	a) zerowy J b) korygowany	c) dziki
Głowy zęba	ha0 = ym	hak = (y+x)m
Stopy zęba	h/o = ym+c	hfk = (y-x)m+c
Całkowita zęba	h = hao+hfo = hak+hfk — 2ym+c	hd = 2 ym-\-c—km

Objaśnienia:

y — współczynnik wysokości zęba, * — współczynnik przesunięcia zarysu zęba (korekcji zęba), k — współczynnik skrócenia głowy zęba dzikiego, c — luz wierzchołkowy.

Zęby normalne znajdują zastosowanie tam, gdzie koła mają przenosić duże obciążenia, a więc w skrzynkach przekładniowych, w przekładniach redukcyjnych itp. Warunki pracy prze­kładni o zębach normalnych są, jak się o tym przekonamy później, szczególnie dogodne.

Zęby niskie spotyka się obecnie w sprzęgłach zębatych, ewolwentowych połączeniach wielo wypustowych oraz w stożkowych kołach zębatych o zębach łukowych; w dawniejszych kon­strukcjach zęby niskie były stosowane w skrzynkach przekładniowych (tab. 1/16).

Zęby wysokie znajdują zastosowanie w przypadkach, gdy zależy na możności znacznego rozstawienia osi, np. w maglu, wyżymaczce, a ponadto można je spotykać w pompach zębatych, których wydajność zależy między innymi od wielkości przestrzeni międzyzębnej.

Dla zębów normalnych-zerowych (z którymi najczęściej się spotykamy) otrzymamy:

[1-23]

[1-24]

h_ao — m

h_f0 — 1,2 m

wysokość głowy zęba wysokość stopy zęba

Przykład 1/1. Obliczyć wymiary wysokościowe zęba normalnego-zerowego o m — 5 mm

(y = 1).

Wysokość głowy zęba wyniesie zgodnie ze wzorem [1-23]

hao = ym — 1*5 = 5 mm

Wysokość stopy zęba ze wzoru [1-24] wyniesie

h/o = 1)2m = 1,2*5 == 6 mm

Całkowitą wysokość zęba można obliczyć w dwojaki sposób: albo jako sumę wysokości głowy i stopy zęba

h ----- hao+hfo = 5 + 6 = 11 mm

albo ze wzoru [1-16]

h = 2 ,2m = 2,2-5 — 11 mm

Przykład 1/2. Obliczyć wymiary wysokościowe zęba normalnego korygowanego o współ­czynniku korekcji x = 0,3 i rnodule m = 5 (y = 1).

Wysokość głowy i stopy zęba:

1. gdy głowa zęba się w^Tydłuży, wówczas obliczamy ze wzoru [I-20b]

hak = (3>+x) m = (1+0,3) 5 — 6,5 mm a ze wzoru [I-21b] , r .

h_fk = (y+0,2-*) m = (1+0,2-0,3) 5 = 0,9-5 - 4,5 mm Całkowita wysokość zęba ze wzoru [1-22]

h = h_ak Ą-hfk = 6,5+4,5 = 11 mm

lub ze wzoru [1-16]

h = 2,2-5 = 11 mm

1. gdy głowa zęba się skróci, wówczas obliczamy ze wzoru [I-20b]

h_ak — (y — x) m = (1—0,3) 5 = 3,5 mm

a ze wzoru [I-21b]

h_fk — (3>+0,2+x) m ~ (1+0,2+0,3) 5 = 7,5 mm

Całkowita wysokość zęba ze wzoru [1-22]

h = hakĄ-hfk — 3,5+7,5 — 11 mm

Przykład 1/3. Obliczyć wymiary wysokościowe zęba wysokiego (o współczynniku wyso­kości y = 1,2), korygowanego o współczynniku korekcji x = +0,3, dzikiego o współczynniku skrócenia zęba k — 0,1, znając ponadto m — 5 mm Ze wzoru [I-20c] obliczymy

h_ad = (1,2 + 0,3-0,1) 5 = 7 mm

zaś ze wzorów [I~21c] i [I-12a] otrzymamy

h_fd — h_fk — (1,2—0,3) 5+0,2-5 = 5,5 mm

Całkowita wysokość zęba wyniesie ze wzoru [I-22c]

h_d = 2-1,2-5+0,2-5-0,1 *5 - 12,5 mm

Przykład 1/4. Istniejące koło ma z = 22 zębów, jego średnica wierzchołkowa wynosi d_a = =96 mm, średnica dna wrębów d_f = 78,4 mm. Jaki moduł i średnicę podziałową ma to koło zębate?

W celu pewniejszego zbadania koła należy jeszcze dokonać pomiaru podziałki (oczywiście po cięciwie). W danym przypadku podziałka wynosi

p k 12,5 mm i) 12 5

Ze wzoru [1-4] otrzymamy m — — = —-— = 3,97 mm

7T TC

Ponieważ cięciwa (wzdłuż której dokonano pomiaru podziałki) jest krótsza od łuku (wzdłuż którego powinno się odmierzać podziałkę), przeto wnioskujemy, że występuje tu moduł m — 4.

Wysokość zębów obliczamy z różnicy średnic wierzchołkowej i dna wrębów

2h = d_a~d_f = 96—78,4 = 17,6 mm, skąd h = 8,8 mm

Obecnie zbadajmy, czy przypadkowo ta wysokość nie jest wysokością zęba normalnego. W tym celu posłużymy się wzorem [1-16], skąd otrzymamy

_{w =} A ₌ M = 4mm 2,2 2,2

W tym przypadku moduł wypadł okrągły; nie jest to jednak oznaką, że istotnie w rozpatry­wanym kole modułem jest m = 4. Dlatego z kolei obliczymy moduł ze średnicy wierzchołkowej, czyli na podstawie połączonych wzorów [1-5], [1-13] i [1-23], a więc

d_a — 96 — zm+2m = (z+2)m, skąd m ^ ^ — *

z+2 22+2

Ponieważ wzór [1-23] dotyczył wysokości głowy zęba normalnego-zerowego, przeto wnio­skujemy, że w danym kole zębatym mamy do czynienia z zębami normalnymi-zerowymi.

Na podstawie wzoru [1-5] obliczymy średnicę podziałową

d = zm = 22 *4 = 88 mm

Przykład 1/5. Istniejące koło ma z — 22 zębów, jego średnica wierzchołkowa wynosi 92,1 mm a średnica dna wrębów 74,4 mm. Jaki moduł ma to koło i jakie to są zęby?

Moduł spróbujemy obliczyć z podziałki odmierzonej na kole zębatym. Z pomiaru tego otrzy­maliśmy podziałkę p = 12,4 mm, skąd obliczymy

3,94i

Rozumując podobnie jak w przykładzie 1/4 dochodzimy do tego, że w rozpatrywanym kole występuje moduł m — 4.

Wysokość zęba obliczymy z różnicy średnic wierzchołkowej i dna wrębów

2h ~ 2 Qi_a+h_f) = d_a-d_f = 9,1-74,4 = 17,7 mm

skąd h — h_a+hf = 8,85 mm

Uwzględniając wzory [1-10], [1-12] i [1-15] otrzymamy

h = 2^m+(0,l-f0,3) m = 2m+(0,l+0,3) m; h — (2,1+2,3) m

Przez wstawienie wartości h uprzednio obliczonej otrzymamy

_m = Ł— ₌ - -ML _{= 4j}22-^3,86 mm

2, l-~ 2,3 2,1 2,3

średnio zaś m — 4,02 mm

Ponieważ najbliższym znormalizowanym modułem jest m = 4, przeto wnioskujemy, że w da­nym kole mamy rzeczywiście m = 4 mm.

Badanie koła nie kończy się jednak na ustaleniu wielkości modułu, lecz musimy jeszcze usta­lić, jakie położenie zajmuje ząb względem koła podziałowego, którego średnicę obliczymy z za­leżności [1-5]

d = zm = 22-4 = 88 mm

Ze wzoru [1-13] otrzymamy

2h„ = d„-d skąd K = ^d“~^d- = ^92jl~⁸?- = 2,05 mm

Widzimy więc z tego, że (pomimo normalnej wysokości zęba) wysokość głowy jest niższa od zerowej określonej wzorem [1-23], zatem wnioskujemy, że mamy do czynienia z zębami nor- malnymi-korygowanymi wg rys. I-12b, w których h_a = h_ak — 2,05 mm.

Wartość współczynnika korekcji obliczymy ze wzoru [I-20b], a więc h_ak = (y~x) m, uwzglę­dniając zaś, że w danym kole występują zęby normalne, otrzymamy zgodnie ze wzorem [1-15] (y — 1)

h_ak “ (1 -\-x)m₉ skąd x — —— — 1 = 1 — —0,49

m 4

Przykład 1/6. Istniejące koło ma 21 zębów; średnica mierzona od dna wrębów z jednej strony koła do wierzchołka zęba po przeciwnej stronie wynosi 104 mm (rys. 1-9). Jaki moduł ma koło i jakie są zęby?

O ile postępowanie w przypadku parzystej liczby zębów było bardzo proste o tyle w danym przypadku, tj. przy nieparzystej liczbie zębów, przedstawia się nieco trudniej.

Mogą przy tym występować dwa przypadki:

1. gdy koło ma otwór, wówczas postępowanie jest podobne jak w przykładach poprzednich, z tą tylko różnicą, że zamiast średnic należy brać pod uwagę promienie;

2. gdy koło jest osadzone na wałku lub jest kołem trzpieniowym, wówczas postępujemy w spo­sób niżej opisany.

Z rys. 1-9 odczytamy, że odległość punktu A (dna wrębu) do punktu B (wierzchołka zęba po przeciwnej stronie) jest równa promieniowi koła podziałowego pomniejszonemu o wysokość stopy zęba, a powiększonemu o promień koła podziałowego i wysokość głowy zęba, a więc

AB=±~h_f+± +h_a = d-Qi_f-K)

Gdy założymy, że mamy do czynienia z zębami zerowymi, wówczas zgodnie ze wzorem [1-19] mamy h_s—h_a # 0,2 w; zatem po wstawieniu tej wartości w równanie poprzednie oraz uwzględ­niwszy równanie [1-5] otrzymamy

AB — (z—0,2) m (a)

Dla naszego przykładu mamy 104 = 20,8 m, skąd m — 104/20,8 = 5 mm

Wynikałoby z tego, że mamy do czynienia z modułem 5. Należy jednak jeszcze sprawdzić to na podstawie podziałki zmierzonej na kole zębatym. Dotychczasowe rozumowanie nie daje odpowiedzi, jaki typ zębów ma rozpatrywane koło — normalne, niskie czy też wysokie. Możemy to raczej stwierdzić po zmierzeniu wysokości zęba.

Jeżeli wysokość zęba wyniesie h_a+h_f = 2,2 m, tj. gdyby w naszym przypadku wysokość zęba wyniosła 2,2 • 5 = 11 mm, wówczas mielibyśmy pewność, że zęby te są normalne-zerowe (zerowe, gdyż tak założyliśmy). Jeżeli natomiast ta wysokość jest mniejsza, może być mowa tylko o zębach niskich, jeśli zaś jest większa, to mamy do czynienia z zębami wysokimi.

Gdyby to koło miało zęby korygowane, wówczas odległość AB (rys. 1-9) może być albo wię­ksza (rys. I-12a) od wartości (a), albo mniejsza (rys. I-12b) w zależności od wartości tego, czy mamy do czynienia z zębami o wydłużonej głowie, a skróconej stopie, czy też z zębami o skróconej gło­wie, a wydłużonej stopie.

Do stwierdzenia, czy zęby omówionego koła są korygowane wg rys. I-12a, czy wg rys. I-12b istnieją jeszcze inne sposoby, które będą omówione podczas rozpatrywania korekcji uzębienia i zazębienia.

W przypadku koła o zębach dzikich we wzorze (a) zmieni się wartość 0,2 na znacznie większą z tym, że wysokość zęba będzie mniejsza od normalnej i to o tyle, o ile została skrócona głowa zęba.

9. Odległość osi kół współpracujących

Z rys. 1-1, 1-8 oraz 1-13 odczytamy, że odległość osi wynosi

[1-25]

a_r = 0₁0 ₂ = r_w2±r_wl

przy czym: znak -f dla zazębienia zewnętrznego (rys. 1-8), znak — dla zazębienia wewnętrznego (rys. 1-13).

Rys. 1-13.

Zależności w walcowej przekładni o zazębieniu wewnętrznym; koło 1 o uzębieniu zewnętrznym, koło 2 — o uzębieniu wewnętrznym, a₀ — ze­rowa odległość osi (dla zazębienia zerowego), d_x — średnica podziałowa koła 1₃ d₂ — średnica podziałowa koła 2> d/z — średnica dna wrębów koła h_a2 ~ wysokość głowy zęba koła 2₃ h_f2 — wysokość zęba koła 2

kolo 2

W szczególnym przypadku, gdy kola toczne pokrywają się z kołami podzia­łowymi, czyli mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym, odległość osi nosi nazwę zerowej odległości osi i wyraża się wzorem

zatem

[I-25a]

B. Zazębienie cykloidalne

1. Zarys boku zęba i linia przypora

Cykloidalne zarysy są tworzone przez koła odtaczające (p. IA 8). Z za­sadniczego równania zazębienia wynika, że współpracujące części zębów (a więc zarys stopy zęba koła 1 i zarys głowy zęba koła 2) muszą mieć wspólną normalną przechodzącą przez punkt centralny C (rys. 1-14), a więc obie odpowiadające sobie części boków muszą być uzyskane przez to samo koło odtaczające (wynika to bowiem z rys. I-5b i 1-6), gdyż tylko w takim przypadku obie normalne, np. C III', mogą się pokrywać. Stąd wynika konstrukcja zarysu zębów cykloidal- nych.

Należy nadmienić, że przy zazębieniu cykloidalnym koła podziałowe są jednocześnie kołami tocznymi i zasadniczymi (stanowiącymi tor po którym przetaczają się koła odtaczające — tworzące zarysy zębów).

Koło odtaczające o promieniu g_l tocząc się kolejno po dwóch kołach zasadniczych (rys. 1-14), które są ponadto w danym przypadku jednocześnie kołami tocznymi i podziałowymi:

po wewnętrznym torze koła zasadniczego 1 tworzy hipocykloidę CD_U stanowiącą część zarysu stopy zęba koła 1,

po zewnętrznym torze koła zasadniczego 2 tworzy epicykloidę CIF_a, tj. zarys głowy zęba koła 2.

W podobny sposób utworzy się pozostałe części zarysu zęba, a więc głowę zęba w kole 1 i stopę zęba w kole 2 przez przetoczenie się innego znów koła odtaczającego o promieniu q₂ kolejno raz po torze zewnętrznym koła zasadniczego 1, a potem po torze wewnętrznym koła zasadniczego 2.

Promienie kół odtaczających mogą być w zasadzie dowolne i różne dla obu części zębów.

Wielkość promieni wywiera jednak wpływ na zarys boku zęba oraz na warunki zazębienia. Im większy jest ten promień, tym bardziej zbliża się zarys stopy zęba do linii prostej wzdłuż promienia przez co ząb jest coraz cieńszy u podsta­wy. Wytrzymałość zęba maleje, a jednocześnie pogarszają się warunki ślizgania, tarcia i zużywania się zębów, jednak stopień pokrycia wówczas wzrasta, a wahania kierunku nacisku są zawarte w węższych granicach (uzyskuje się przez to spokoj­niejszą pracę).

Biorąc te sprzeczne wpływy pod uwagę przyjmuje się

1		i
ei = y ^r!	i	£2 — y ^r2

promień koła zasadniczego.

gdzie: q — promień koła odtaczającego, r — promień koła podziałowego =

Najczęściej jednak stosuje się

[1-26]

Linia przyporu jest linią krzywą E₁ CE₂ (rys. 1-14). Stopień pokrycia (liczba przyporu, wskaźnik przyporu)

[1-27]

Pw

p_w

_ A₁CB₁ A₂ CB«

Rys. 1-14.

Zazębienie cykloidalne: W_xl W₂D₂ — czynne części bo­ków zębów złożone z dwóch części: CW_X — epicykloidy

i CD₁ — hipocykloidy, CW₂ — epicykloidy i CD₂ — hipocy- kloidy; epicykloida jednego zę­ba jest utworzona przez to samo koło odtaczające co hipo­cykloida koła współpracującego

1. Poślizgi

Wielkość poślizgów jednostkowych (uwidoczniona na rys. 1-15) kształtuje się w zazębieniu cykloidalnym korzystniej niż w zazębieniu ewolwentowym. Odpowiednie odcinki na bokach zębów otrzymujemy w sposób następujący:

1. Począwszy od centralnego punktu C dzielimy linię przyporu na jednakowe odcinki; otrzymujemy punkty A₁₉ B_ly Z)₁₅ E_x (rys. 1-15).

Rys. 1-15.

Wyznaczanie odcinków poślizgowych w za­zębieniu (cakloidalnym); w pobliżu cen­tralnego punktu C odcinki poślizgowe bo­ków zębów współpracujących niewiele róż­nią się od siebie, natomiast w miarę odda­lania się od tego punktu różnice znacznie rosną, np. D'E' D"E"i w pierwszym przypadku prawie nie ma poślizgu (wy­stępuje przetaczanie się zębów po sobie), w drugim — występuje znaczny poślizg

1. Ze środków kół 0₁ i 0₂ kreślimy łuki promieniami O_t A_u 0₁ B_ls O_x Di oraz O₂ A_x, 0₂ B_1? 0₂ D_l3... aż do przecięcia się z odpowiednimi zarysami boków zębów i otrzymujemy w ten sposób punkty A', B', D’ i A", B", D",....

2. Odcinki A' B', B' C boku zęba koła zębatego 1 współpracują z odpowied­nimi odcinkami A" B", B" C" boku zęba koła zębatego 2. Im mniejsza jest różnica między odcinkami współpracującymi, a więc im bliższa zera jest różnica

A^,B^,-A"B"-, B'D’-B”D”

tym mniejsze występują poślizgi, a tym samym mniejsze]zużywanie się zębów.

1. Koła zespołowe

Podczas, gdy dla dwóch współpracujących kół można dobrać koła odtaczające wg wzoru [1-26], to w zespole złożonym z kilku kół współpracujących musi się przyjąć tylko jedno koło odtaczające wspólne dla wszystkich kół zębatych sta­nowiących dany zespół. Promień tego koła odtaczającego przyjmuje się

l

Q — 2 ^min

gdzie r_min — promień podziałowy najmniejszego koła zębatego zespołu.

W tym przypadku, jak wiadomo, zarys stopy zęba tego najmniejszego koła zębatego przebiega promieniowo jako linia prosta (rys. I-6b oraz p. I.A.8c).

1. Szczególne przypadki zazębień cykloidalnych

a. Obustronne zazębienie cykloidalne

Spośród szczególnych przypadków obustronnego zazębienia w przekładni cykloidalnej należy wymienić:

1) zazębienie koła zębatego z zębatką,

^1} Należy stwierdzić, że w pewnych przypadkach koło podziałowe pokrywa się z kołem tocznym. Podkreślić trzeba, że koło podziałowe jest kołem ważnym przy rozpatrywaniu poje­dynczego koła zębatego, a koła toczne tworzą się po zmontowaniu kół, tj. podczas pracy kół zębatych.

²⁾ Gdy przyjmujemy, że jedynie koło podziałowe decyduje o wysokościowych wymiarach głowy i stopy zęba, to upraszczamy różne obliczenia (np. grubość zęba oraz wysokości głowy

dokonać również innymi sposobami przy użyciu narzędzi o modułach z tab. 1/1.

ślając

Ponieważ jednak podziałka nominalna p wyraża się liczbą nieokrągłą (a więc utrudniającą

---

1. stopy zęba w przypadku korekcji uzębienia). Stąd pochodzi wtórna nazwa koła podziałowego.↩

2. ^1} Dotyczy to przede wszystkim walcowych kół zębatych, w małym zaś stopniu sto­żkowych kół zębatych.

   ↩

3. Obecnie ten szereg modułów nie ma zasadniczego znaczenia, gdyż korekcji tej można↩

4. ^1} Dawniej przyjmowano całkowitą wysokość zęba jako funkcję podziałki nominalnej okre­↩

5. h = 0,7p h_a = 0,3 p h_f — 0,4 p

   ↩

6. znacznie obliczenia), przeto później przyjęto całkowitą wysokość zęba w funkcji modułu.

   ↩