• Postać analityczna modelu ekonometrycznego

  • Y_t = f(X_1t,  X_2t , …,  X_kt,  ξ_t) Y_t - zmienna endogeniczna (objaśniana)

f - postać matematyczna modelu (np. liniowy)

X_1t,  X_2t , …,  X_kt - zbiór zmiennych objaśniających

ξ_t - składnik losowy

• Liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą

  • Y_t = α₁ • X_1t + α₀ + ξ_t α₀, α₁ - parametry strukturalne modelu

• Liniowy model ekonometryczny z dwiema zmiennymi objaśniającymi

  • Y_t = α₀ + α₁ • X_1t + α₂ • X_2t + ξ_t

• Indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej

  • $h_{\text{lj}} = \frac{{r_{\text{oj}}}^{2}}{1 + \sum_{}^{}{|r_{\text{ij}}|}}$ l - l -ta kombinacja zmiennych objaśniających

  • 0 ≤ h ≤ 1 j - j-ta zmienna objaśniająca

r_oj - wsp. korelacji Pearsona pomiędzy zmienną

endogeniczną Y_t a - j-tą zmienną objaśniającą

r_ij - wsp. korelacji Pearsona pomiędzy i-tą a j-tą zmienną objaśniającą

• Integralny wskaźnik pojemności informacyjnej

  • $H_{l} = \sum_{}^{}h_{\text{lj}}$

  • 0 ≤ H ≤ 1

• Koincydencja zmiennych

  • musi być spełniony warunek - wtedy możemy interpretować parametry strukturalne modelu

  • sgn(r_YXi) = sgn(a_i) → znak wsp. korelacji Pearsona musi być taki sam jak znak parametru

• Badanie istotności współczynnika korelacji liniowej

  • H₀ :  r_xy = 0 n - liczba obserwacji (realizacji zmiennych)

  • H₁ :  r_xy ≠ 0

  • $t = \frac{|r_{\text{xy}}|}{\sqrt{1 - r_{\text{xy}}^{2}}} \bullet \sqrt{n - 2}$

  • decyzja:

    • t_α ≥ t → brak podstaw do odrzucenia H₀, głoszącej brak istotnej korelacji (zmienne są od siebie niezależne i mogą pełnić role zmiennych objaśniających w modelu)

    • t_α < t → H₀ odrzucamy na korzyść H₁, głoszącej istotną korelację

• Funkcja kryterium Metody Najmniejszych Kwadratów (MNK)

  • $\Psi = \sum_{t = 1}^{n}{{(Y_{t} - a_{1} \bullet X_{1} - a_{0})}^{2} \rightarrow min}$ Y_t^* - świat teoretyczny

  • $\Psi = \sum_{t = 1}^{n}{{(Y_{t} - {Y_{t}}^{*})}^{2} \rightarrow min}$ Y_t - świat empiryczny

  • $\Psi = \sum_{t = 1}^{n}{{(u}_{t})}^{2} \rightarrow min$ u_t - składnik resztowy (reszta modelu)

  • Y_t^* = a₁ • X₁ + a₀

  • u_t = Y_t − Y_t^*

• Wektor ocen parametrów strukturalnych

  • a = (X^′X)⁻¹ • X′Y

• Miary struktury stochastycznej - wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

  • $\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k} \bullet \sum_{}^{}{(Y_{t} - {Y_{t}}^{*})}^{2}$ n - liczba obserwacji

  • $\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k} \bullet \sum_{}^{}{u_{t}}^{2}$ k - liczba szacowanych parametrów

  • $Su = \sqrt{\text{Su}^{2}}$ Su - odchylenie standardowe reszt

  • Interpretacja Su: Rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc o +/- (wartość Su) jednostki od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

• Badanie precyzji oszacowania parametrów strukturalnych - macierz wariancji i kowariancji

  • D²(a) = Su² • (X^′X)⁻¹

  • główna przekątna to wariancje estymatorów

  • odchylenia standardowe z głównej przekątnej to średnie błędy szacunku parametrów

  • Interpretacja: jeżeli błąd jest bardzo wysoki to najprawdopodobniej taki parametr jest nieistotny statystycznie (równy 0), wtedy należy usunąć zmienną, przy której stał ten parametr

• Współczynnik zbieżności

  • $\varphi^{2} = \frac{\sum_{}^{}{(Y_{t} - {Y_{t}}^{*})}^{2}}{\sum_{}^{}{{(Y}_{t} - \overset{\overline{}}{Y})}^{2}} = \frac{\sum_{}^{}{u_{t}}^{2}}{\sum_{}^{}{{(Y}_{t} - \overset{\overline{}}{Y})}^{2}}$

  • Interpretacja: Jaki procent zmian (wariancji) zmiennej endogenicznej Y_t nie został wyjaśniony przez model ekonometryczny

• Współczynnik determinacji

  • R² = 1 − φ²

  • Stosowany wyłącznie dla modeli liniowych

  • Interpretacja: Jaki procent zmian (wariancji) zmiennej endogenicznej Y_t został wyjaśniony przez model ekonometryczny

• Skorygowany współczynnik determinacji

  • ${\tilde{R}}^{2} = 1 - \frac{n - 1}{n - m - 1} \bullet (1{- R}^{2})$ n - liczba obserwacji

  • ${\tilde{R}}^{2} < R^{2}$ m - liczba zmiennych objaśniających

  • Liczy się go najczęściej, gdy model ma mieć zastosowanie prognostyczne

• Współczynnik zmienności losowej

  • $V_{s} = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{Y}} \bullet 100\%$

  • Im wyższy V_s, tym niższy R²

  • Interpretacja: Informuje o poziomie losowości w przeciętnym poziomie Y_t

• Przedział ufności dla parametrów strukturalnych modelu

  • {a_i−t_α•D(a_i)<a_i<a_i+t_α•D(a_i)} = γ α - poziom istotności

γ - poziom ufności (γ = 1 − α)

n - liczba obserwacji

k - liczba szacowanych parametrów

t_α - z tablic t-Studenta (α - poziom istotności, n-k stopni swobody)

• Test Fishera Snedecora - test F

  • H₀:a, a₁, …, a_k = 0 → parametry nieistotne N - liczba obserwacji

  • H₁:a, a₁, …, a_k ≠ 0 → parametry istotne K - liczba zmiennych objaśniających

  • $F = \frac{R^{2}}{1 - R^{2}} \bullet \frac{N - K - 1}{K}$

  • r₁ = K; r₂ = N − K − 1

  • Decyzja:

    • F ≥ F_α → H₀ odrzucamy na korzyść H₁ głoszącej, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca wpływa na zmienną endogeniczną (i tak trzeba przeprowadzić dokładniejszy test)

    • F < F_α → brak podstaw do odrzucenia H₀ głoszącej, że wszystkie zmienne nieistotnie wpływają na zmienną endogeniczną

• Test na istotność parametrów strukturalnych - test t-Studenta

  • H₀ :  a_i = 0 → parametr nieistotny

  • H₁ :  a_i ≠ 0 → parametr istotny

  • $t = \frac{a_{i}}{D(a_{i})}$

  • Decyzja:

    • |t| > t_α → H₀ odrzucamy na korzyść H₁ głoszącej istotność parametru

    • |t| < t_α → brak podstaw do odrzucenia H₀ głoszącej, że parametr a_i jest nieistotny statystycznie (równy zero) co oznacza, że zmienna objaśniająca przy tym parametrze nieistotnie wpływa na zmienną endogeniczną Y_t i należy ją usunąć z modelu

• Test autokorelacji Durbina - Watsona (autokorelacji 1 rzędu)

  • $d = \frac{\sum_{}^{}{(u_{t} - u_{t - 1})}^{2}}{\sum_{}^{}{u_{t}}^{2}}$ lub d = 2(1 − r₁)

  • d = 0 → r ≈ 1

  • d ∈ <0, 2) → autokorelacja dodatnia d_L - dolna wartość krytyczna

  • d = 2 → brak autokorelacji (r = 0) d_U - górna wartość krytyczna

  • d ∈ (2, 4> → autokorelacja ujemna d_L, d_U - odczytujemy z tablic dla k st. swobody

  • d = 4 → r ≈ −1 k - liczba zmiennych objaśniających

  • d^′ = 4 − d → przy autokorelacji ujemnej

  • Decyzja:

    • d(d^′)≤d_L → H₀ odrzucamy na korzyść H₁

    • d_L < d(d^′)<d_U → brak możliwości podjęcia decyzji (obszar niekonkluzywności)

    • d_U ≤ d(d^′) → brak podstaw do odrzucenia H₀

• Integracyjna statystyka testu Durbina - Watsona

  • $IDW = \frac{\sum_{t = 2}^{T}{(y_{t} - y_{t - 1})}^{2}}{\sum_{t = 1}^{T}{(y_{t} - \overset{\overline{}}{y})}^{2}}$

  • IDW < 0, 5 → istnienie pierwiastka jednostkowego

  • IDW ≅ 2 → integracja stopnia 0, czyli proces jest stacjonarny w zakresie wariancji

• Testowanie poprawności postaci analitycznej modelu poprzez pryzmat losowości reszt modelu - test serii

  • H₀ : [Y_t^* = f(X_1t, X_2t,…, X_kt)] → model właściwy, losowe reszty

  • H₁ : [Y_t^* ≠ f(X_1t, X_2t,…, X_kt)] → postać analityczna błędna, reszty nie są losowe

  • Seria - każdy podciąg reszt, złożony wyłącznie z elementów dodatnich bądź ujemnych. Reszty równe zero nie są brane pod uwagę!

  • u_t > 0 to "a" ; u_t < 0 to "b" → określamy liczbę serii, tzw. k empiryczne

  • Z tablic odczytujemy n₁ dla liczby symboli "a", oraz n₂ dla liczby symboli "b"

  • P{k≤k_α} = α → na poziomie istotności α

  • Decyzja:

    • k ≤ k_α → H₀ odrzucamy na korzyść H₁ głoszącej, że postać analityczna modelu jest błędna, reszty nie są losowe

    • k > k_α → brak podstaw do odrzucenia H₀ głoszącej, że postać analityczna modelu jest właściwa, reszty są losowe

• Średni błąd predykcji (ex ante)

  • $V = \sqrt{X_{T}^{'} \bullet D^{2}\left( a \right)X_{T} + \text{Su}^{2}}$ X_T - kolumnowy wektor przyszłych realizacji X

  • błąd ex ante - uwzględnia przeszłość i przyszłość

  • Interpretacja: rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej Y_t odchylają się średnio o +/- (wartość V) od postawionych prognoz

• Względny błąd predykcji (ex ante)

  • $V^{*} = \frac{V}{Y_{T}^{P}} \bullet 100\%$ Y_T^P - prognoza punktowa na okres T

  • Interpretacja: Jaki procent przeciętnego poziomu prognozy stanowi średni błąd predykcji

• Liniowy model trendu

  • Y_t = α₁t + α₀ + ξ_t

  • f(t) = α₁t + α₀ → postać analityczna modelu

• Średni względny błąd ex post prognoz wygasłych (MAPE - Mean Absolute Percentage Error)

  • $MAPE = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\frac{|Y_{t} - {Y_{t}}^{*}|}{Y_{t}}$

• Model Kleina (uwzględnia sezonowość addytywną)

  • Y_t = α₁t + β(V₁−V₂) + α₀ + ξ_t V₁ - odpowiedzialny za 1 półrocza

V₂ - odpowiedzialny za 2 półrocza

• Ogólna postać modeli adaptacyjnych

  • Y_t = n_t + u_t Y_t - zmienna prognozowana

n_t - funkcja trendu (nieznana jego postać analityczna)

u_t - błąd

• u_t nie jest resztą modelu! Nie musi spełniać warunków obowiązujących dla reszt; u_t nie muszą sumować się do 0!

• Model wyrównywania wykładniczego Browna

  • m_t = αy_t + (1 − α)•m_t − 1 m_t - ocena trendu na okres bieżący t

  • 0 ≤ α ≤ 1 m_t − 1 - ocena trendu na moment poprzedni t − 1

  • Y_Tp = m_t + (m_t−m_t − 1) • h m₁ - pierwsza ocena trendu

  • m₁ = y₁ lub $m_{1} = \overset{\overline{}}{y}$ α - parametr wygładzania

y_t- realizacja zmiennej prognozowanej w momencie t

Y_Tp - prognoza (równanie prognozy)

h - horyzont prognozy

• Szybkie tempo zmian zmiennej prognozowanej → α ≈ 1

• Niskie tempo zmian zmiennej prognozowanej → α ≈ 0

• Bez uwzględnienia horyzontu prognozy, prognozy na kolejne okresy miałyby ciągle tę samą wartość

• Zastosowanie: zmienna prognozowana wykazuje trend i wahania przypadkowe (brak sezonowości)

• Model Holta - postać klasyczna

  • F_t − 1 = αy_t − 1 + (1−α) • (F_t − 2 + S_t − 2)

  • S_t − 1 = β(F_t − 1−F_t − 2) + (1 − β)•S_t − 2

  • 0 ≤ α, β ≤ 1

  • Y_Tp = F_n + S_n(t−n), gdzie t > n