1. PRAWA I ZASADY FIZYKI

1) Oddziaływania fundamentalne

Oddziaływanie	Natężenie względne	Zasięg	Nośniki
Silne	1	krótkozasięgowe	gluony
Elektromagnetyczne	7,3 *10^-3	dalekozasięgowe	fotony
Słabe	10^-5	krótkozasięgowe	bozony W i Z
Grawitacyjne	2 * 10^-39	dalekozasięgowe	grawitony

2) Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona.

Sformułowanie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół stałej (nie obracającej się w przestrzeni) osi:

Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, o momencie bezwładności względem tej osi równym I, działają zewnętrzne siły, które wywierają na to ciało wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że:

Moment siły M i przyspieszenie kątowe ε są wektorami osiowymi (pseudowektorami) a ich kierunek i zwrot są takie same.

III zasada dynamiki

Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, ale o przeciwnym zwrocie.

III Zasada dynamiki, słuszna tylko w mechanice nierelatywistycznej, zwana jest zasadą akcji i reakcji. Zasada ta zakłada, że oddziaływania rozchodzą się w przestrzeni z nieskończoną prędkością.

3) Zasada zachowania pędu

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ cząstek wynosi zero, to całkowity pęd układu pozostaje stały:

(F_z=$\frac{\text{dp}}{\text{dt}}$=0)→(p=const)

Stałość pędu oznacza stałość jego wartości i kierunku wektora p.

Zasada ta wynika z rozwinięcia wzoru na pęd oraz z zasad II i III dynamiki Newtona.

4) Zasada zachowania momentu pędu

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych, działających na układ wynosi zero, to wektor momentu pędu układu pozostaje stały.

(M_z=$\frac{\text{dL}}{\text{dt}}$=0)→(L=const)

Zasada ta wynika z rozwinięcia wzoru na moment pędu oraz z zasad II i III dynamiki Newtona.

5) Zasada zachowania energii

W układzie odizolowanym, czyli takim, w którym nie ma wymiany energii z otoczeniem, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała:

E=E_p+E_k=const.

Suma energii potencjalnej i energii kinetycznej danego ciała jest wielkością stałą i równą energii mechanicznej. Zasada ta jest słuszna wtedy gdy wypadkowa siła działająca na ciało jest siłą zachowawczą.

6) Siły potencjalne

Jeżeli praca wykonana przez siłę podczas przemieszczania ciała po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru, to siłę taką nazywamy siłą zachowawczą (potencjalną).

Jeżeli warunek ten nie jest spełniony to siła jest niezachowawcza. Siły niezachowawcze nazywane są często siłami rozpraszającymi lub dyssypatywnymi.

Wykorzystujemy tu fakt, że znak pracy zależy od cosinusa kąta między wektorami siły oraz przemieszczenia i zmienia się na przeciwny, gdy zmieniamy zwrot przemieszczenia. Przykładem siły zachowawczej jest siła grawitacyjna.

7) Pole sił potencjalnych na przykładzie grawitacji

Pole grawitacyjne jest to pole wektorowe, które charakteryzują dwie wartości:

- natężenie pola grawitacyjnego (wielkość wektorowa)

Natężeniem pola grawitacyjnego wytwarzanego przez masę M nazywamy stosunek siły grawitacyjnej F działającej na masę m, znajdującą się w tym polu, do wielkości tej masy.

K = F/m

- potencjał grawitacyjny (wielkość skalarna)

Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej cząstki do masy tej cząstki.

ϕ = E_p/m

8) Energia kinetyczna i energia potencjalna

Energia kinetyczna (energia ruchu), która zależy od prędkości ciała:

Ek=mv²/2

Wielkość Ek = mv²/2 nazywamy energią kinetyczną ciała o masie m. Wymiar energii kinetycznej jest taki sam jak wymiar pracy.

Energia potencjalna (energia zależna od położenia)

a) w przypadku rozciągniętej (lub ściśniętej) sprężyny energia ta wynosi:

E_p(x) = kx²/2,

gdzie x jest odległością, o jaką siła zewnętrzna wydłużyła (lub skróciła) sprężynę.

b) w przypadku ciała o masie m umieszczonego na niewielkiej wysokości h ponad powierzchnią Ziemi energia ta wynosi:

E_p(h)=mgh

W obu przypadkach siła zewnętrzna wykonała pewną pracę (przeciwko sile sprężystości lub przeciwko sile grawitacji), która została zmagazynowana w postaci energii potencjalnej.

Energia kinetyczna i potencjalna składają się na tzw. energię mechaniczną cząstki (ciała).

2. TERMODYNAMIKA

1) Równowaga termodynamiczna

Jest to stan, w którym nie ma żadnych zmian makroskopowych. Wyróżniamy:

a) równowagę pełną

Jest to idealizacja, ponieważ nie ma doskonale izolowanych układów.

b) równowagę niepełną

Powolna w stosunku do czasu obserwacji zmiana parametrów układu, np. rozpad długożyciowych izotopów promieniotwórczych.

Wielkościami fizycznymi, które określają stan równowagi termodynamicznej, są parametry intensywne: T, p i µ (temperatura, ciśnienie i potencjał chemiczny).

Mówimy, że dwa podukłady A i B są w stanie równowagi termodynamicznej, jeżeli jednocześnie spełnione są następujące warunki:

- równowaga termiczna T_A=T_B=T

- równowaga mechaniczna p_A=p_B=p

- równowaga chemiczna µ_A=µ_B=µ

2) I zasada termodynamiki

Przy przejściu układu od stanu początkowego do stanu końcowego suma pracy wykonanej na układzie przez siły zewnętrzne W, ciepła dostarczonego do układu Q oraz energii związanej z przyrostem masy układu Z jest równa przyrostowi energii wewnętrznej ∆U układu i zależy tylko od parametrów stanu P i stanu K, a nie zależy od sposobu, w jaki to przejście zostało wykonane.

Dla układów nie wymieniających ciepła z otoczeniem (tzn. osłoniętych adiabatycznie):

∆U = U_k – U_p = W

Gdy ciepło może być wymieniane:

∆U = W + Q

Gdy ponadto układ jest otwarty, to:

∆U = W + Q + Z,

Gdzie Z – energia związana z wymianą materii między układem i otoczeniem.

3) Przemiany izotropowe. Praca w przemianach izotropowych

a) przemiana izotermiczna

Jeśli proces zachodzi w stałej temperaturze, czyli T=const., to taką przemianę nazywa się przemianą izotermiczną.

Z równania stanu gazu wynika prawo Boyle’a Mariotte’a:

p=	const. V

Praca tej przemiany w gazie doskonałym, jeżeli objętość zmieni się od v₁ do v₂ wynosi:

W= RT ln	V2 V1

b) przemiana izobaryczna

Jeśli proces zachodzi przy stałym ciśnieniu, czyli p = const., to taką przemianę nazywa się przemianą izobaryczną (rozszerzenie termiczne).

Z równania stanu wynika prawo Gay-Lussaca:

	V T	=const.

Praca w przemianie izobarycznej:

W = p(V₂-V₁) lub W = nR(T₂-T₁)

c) przemiana izochoryczna

Jeśli proces zachodzi przy stałej objętości, czyli V = const., to taką przemianę nazywa się przemianą izochoryczną.

Z równania stanu wynika prawo Charlese’a:

	p T	=const.

Praca w przemianie izochorycznej wynosi

W = p∆V=0, ponieważ objętość gazu pozostaje bez zmian.

4) Przemiana adiabatyczna

Proces, w którym nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem Q=const. Warunek braku przepływu ciepła można spełnić przeprowadzając proces bardzo szybko lub w dobrze izolowanym zbiorniku.

Przemianę opisuje równanie Poissona:

p*V^K=const.

gdzie wykładnik

k=Cp/Cv wyraża iloraz wartości molowych ciepeł właściwych gazu przy stałym ciśnieniu i stałej objętości.

Praca w przemianie adiabatycznej (∆Q=0) na podstawie I zasady termodynamiki:

∆U=-W

W=mc_v(T₁-T₂)

5) Równanie stanu gazu doskonałego i równanie Van der Waalsa gazu rzeczywistego

Stan gazu opisują trzy parametry: ciśnienie p, objętość V i temperatura T. Wielkości te związane są zależnością zwaną równaniem stanu gazu.

a) gaz doskonały

Model gazu doskonałego (idealnego):

Przez gaz doskonały rozumiemy gaz cząsteczek o pomijalnie małej własnej objętości cząsteczek, które mogą się sprężyście zderzać ze sobą, ale energia potencjalna ich wzajemnego oddziaływania wynosi zero. Cząsteczki takiego gazu posiadają jedynie energię kinetyczną.

Równanie stanu gazu doskonałego, to po prostu równanie Clapeyrona:

pv=nRT

Do wyprowadzenia tego równania stosuje się prawa empiryczne:

- Boyle’a-Mariotte’a – pV = const.

- Gay-Lussaca – V/T = V₀/T₀ = const.

b) gaz rzeczywisty

W wysokim ciśnieniu lub niskiej temperaturze równanie gazu idealnego pV = NRT przestaje obowiązywać. Spośród wielu modeli gazu rzeczywistego najbardziej znany jest model van der Waalsa, który wprowadził poprawkę uwzględniającą objętość cząsteczek gazu (b) oraz oddziaływanie wzajemne cząsteczek gazu (a/V²).

Dla dowolnej ilości moli gazu n w objętości V równanie van der Waalsa przybiera postać:

Gdzie:

• a - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca oddziaływanie między cząsteczkami gazu

• b - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca skończone rozmiary cząsteczek

gdzie:

• T_c - Temperatura krytyczna

• p_c - ciśnienie krytyczne

6) Proces Joula-Thomsona

Jest to zjawisko nieodwracalnej zmiany temperatury gazu (ze wzrostem entropii, ale zachowujące entalpię) towarzyszące powolnemu (adiabatycznemu) rozprężaniu gazu przez porowatą przegrodę od stanu o ciśnieniu P₁ i objętości V₁ do stanu o ciśnieniu P₂ i objętości V₂. Zmiana energii układu równa jest E₂-E₁ =P₁V₁-P₂V₂.
Wyróżniamy proces Joula-Thomsona:

- dodatni, który powoduje ochłodzenie gazu

- ujemny, który powoduje ocieplenie gazu

W danych warunkach P i V istnieje temperatura (tzw. temperatura inwersji), przy której dla każdego gazu występuje dodatnie zjawisko Joule’a-Thomsona.
Proces ten jest wykorzystywany do otrzymywania gazów w bardzo niskich temperaturach.

7) II zasada termodynamiki. Sprawność cyklu. Cykl Carnota.

II zasada termodynamiki:

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o temperaturze wyższej bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu.

Sprawnością lub wydajnością η maszyny cieplnej pracującej w dowolnym cyklu nazywamy stosunek pracy wykonanej przez maszynę w jednym cyklu do ciepła pobranego ze źródła w jednym cyklu.

η= W/Q₁=Q₁-Q₂/Q₁

Cykl Carnota

Na cykl ten składają się dwa procesy izotermiczne (a b i c d) oraz dwa procesy adiabatyczne (b c i d a). Maszyną cieplną jest cylinder z ruchomym tłokiem, a substancją roboczą jest gaz doskonały.

A->B proces izotermiczny, rozprężenie gazu od objętości V1 do V2, gaz roboczy o temperaturze nagrzewnicy T1 pobiera ciepło Q1

B->C proces adiabatyczny, rozprężanie gazu z objętości V2 do V3

C->D izotermiczne sprężanie gazu, gaz roboczy o temperaturze T2 oddaje ciepło Q2

D->A adiabatyczne sprężanie gazu do objętości V1.

Praca wykonana przez maszynę jest równa zakreskowanemu polu. Na odcinku ABC rozprężający się gaz wykonuje pracę W1; na odcinku CDA siły zewnętrzne wykonują nad gazem pracę W2

Sprawność tego cyklu wynosi:

η=T₁-T₂/T₁,

gdzie T₁ - temperatura bezwzględna źródła ciepła,

T₂ – temperatura bezwzględna chłodnicy

Lub η=W/Qp, czyli stosunek pracy wykonywanej przez substancję molową do pobranego ciepła.

8) Entropia (definicja fenomenologiczna i statystyczna)

Entropia jest to miara nieuporządkowania cząsteczek w układzie. Określamy ją jako funkcję, której zmianę dS przedstawia iloraz ciepła wymienionego przez układ w procesie odwracalny, dq_odwr i temperatury bezwzględnej T, w której wymiana ciepła nastąpiła.

ds=$\frac{\text{dq}_{\text{odwr}}}{T}$

a) definicja fenomenologiczna

Entropia układu jest wielkością addytywną, tzn. jeśli układ podzielić na nieskończenie wiele fragmentów, to wtedy całkowita entropia układu jest sumą infitezymalnych (nieskończenie małych) entropii obowiązujących w danym punkcie ciała:

b) definicja statystyczna

Statystyczna definicja entropii, która nosi nazwę wzoru Boltzmanna-Plancka:

S ≡ k_BlnW

k_B-stała Boltzmanna

W – liczba sposobów, na jakie makroskopowy stan termodynamiczny układu (makrostan) może być zrealizowany poprzez stany mikroskopowe (mikrostany), (prawdopodobieństwo).

9) Mikroskopowa interpretacja ciśnienia i temperatury gazów

Ciśnienie

Jest to ustawiczne uderzanie ścianek naczynia zawierającego pewną porcję gazu przez cząsteczki będące w chaotycznym ruchu.

Wzór ten jest otrzymywany dla zbiornika sześciennego, z zasady zachowania pędu oraz II zasady dynamiki Newtona.

Temperatura

Jest to miara średniej energii kinetycznej chaotycznego ruchu cząsteczek.

.

Wzór ten jest otrzymywany ze wzoru na ciśnienie w interpretacji mikroskopowej oraz równania stanu gazu doskonałego.

10) Zasada ekwipartycji energii

Na każdy stopień swobody cząsteczki przypada średnio jednakowa energia kinetyczna równa k_BT/2.

Z tego wynika, że średnia energia kinetyczna cząsteczki o i stopniach swobody wynosi ik_BT/2.

11) Ciepło właściwe gazów (1-no, 2-u i wieloatomowych)

Ściśliwość gazów powoduje, że inną ilość ciepła (Cp) należy dostarczyć ogrzewając gaz o 1 °C przy niezmiennym ciśnieniu, a inną – przy niezmiennej objętości (Cv).

Stosunek obu tych ciepeł jest wykładnikiem adiabaty κ:

Dla przykładu obliczmy energię <U>, ciepła molowe Cv i Cp oraz współczynnik K dla 1 mola gazu doskonałego złożonego z cząsteczek:

1. jednoatomowych

i = 3, <U> = 3/2N_Ak_BT = 3/2RT = CvT

Cv = 3/2N_Ak_B = 3/2R, Cp = Cv + R = 5/2R

K=Cp/Cv=5/3

1. dwuatomowych

i=5, <U> = 5/2 N_Ak_BT = 5/2RT = CvT

Cv = 5/2R, Cp = 7/2R

K=7/5

1. trójatomowych (wieloatomowych)

i=6, <U> = 6/2 RT = 3RT,

Cv = 3R, Cp = 4R

K = 4/3

12) Ciepło molowe ciał stałych

Ciepło molowe jednoatomowych kryształów wynosi:

Cv = 3N_Ak_B = 3R ≈ 6 cal/mol*K ≈ 25 J/mol*K.

Jest to tzw. Prawo Dulonga-Petita, które jest słuszne dla prostych ciał stałych i dla odpowiednio wysokich temperatur (z III zasady termodynamiki C_v 0, przy T 0). Jest ono wyprowadzane przy użyciu energii całkowitej oscylatora, zasady ekwipartycji oraz energii <U> układu.

13) Prawdopodobieństwo termodynamiczne i jego związek z entropią

Liczba mikrostanów odpowiadających danemu makrostanowi  nazywa się prawdopodobieństwem termodynamicznym lub wagą statystyczną makrostanu.

Liczba mikrostanów dla danego makrostanu, w którym  k cząsteczek znajduje się z lewej strony równa jest liczbie kombinacji k - elementowych w zbiorze o N elementach i wynosi

.

Całkowita entropia układu makroskopowego jest równa:

lub

gdzie:

k – stała Boltzmanna,

W – liczba sposobów, na jakie makroskopowy stan termodynamiczny układu (makrostan) może być zrealizowany poprzez stany mikroskopowe (mikrostany),

p_i – prawdopodobieństwo i-tego mikrostanu.

14) Rozkład Maxwella. Relacje między prędkościami: średnią, średnią kwadratową i najbardziej prawdopodobną

Rozkład Maxwella – wzór określający rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego, w którym poruszają się one swobodnie i nie oddziałują ze sobą, z wyjątkiem bardzo krótkich zderzeń sprężystych, w których mogą wymieniać pęd i energię kinetyczną, ale nie zmieniają swoich stanów wewnątrzcząsteczkowych. Cząstka w tym kontekście oznacza zarówno atomy jak i cząsteczki.

Rozkład ten ma postać

gdzie:

•  – prędkość cząsteczki,

•  – masa cząsteczki (m = M/N_A, gdzie M – masa molowa gazu, N_A – stała Avogadra),

•  – stała Boltzmanna (k = R/N_A, gdzie R – stała gazowa),

•  – temperatura bezwzględna,

•  – gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia cząsteczki o prędkości v.

Parametry rozkładu prędkości

Rozkład prędkości cząsteczek gazu można scharakteryzować trzema parametrami: prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia i prędkość średnia kwadratowa

Prędkość najbardziej prawdopodobna  to taka prędkość , dla której wartość  jest największa.

Prędkość średnia  określa przeciętną prędkość z jaką poruszają się cząsteczki w układzie. Ze względu na to, że rozkład Maxwella jest asymetryczny (prawostronnie skośny) prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Prędkość średnia jest średnią arytmetyczną z prędkości wszystkich cząsteczek:

Prędkość średnia kwadratowa  jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej arytmetycznej kwadratów prędkości:

Średnia prędkość kwadratowa jest miarą energii kinetycznej  cząsteczek.

15) Rozkład Boltzmanna

Rozkład Boltzmanna - najbardziej prawdopodobny rozkład energetyczny cząstek izolowanego układu o stałej energii, zbudowanego z N nie oddziaływujących, poza momentami zderzeń, cząstek podległych prawom fizyki klasycznej, dany wzorem:

n_i= A(T)exp(-E_i/kT)

gdzie: E_i- energia komórki, T – temperatura, k- stała Boltzmanna