Słowo wstępu – materiał przygotowany ostatecznie 28 I 2006. To ważne, bowiem zakres materiału, który obowiązuje się zmienia, zależnie od upodobań profesora Patryasa. Może dodać jedną tezę do nauki, lub stwierdzić, że ten rok, akurat tego się uczyć nie musi. Traktujcie ten materiał tylko jako pomoc, nie wyrocznie.

Dodatkowo, nie jest on uzupełniony do końca, brakuje kilku definicji i paru drobnostek. Jeżeli ktoś chce, to może je dodać i wysłać na: www.prawo.livenet.pl – Forum Dyskusyjne Stacjonarnego Studium Prawa na UAM w Poznaniu.

LOGIKA,
czyli jak przeżyć kurs prof. Wojciecha Patryasa

§1. SPIS TREŚCI

1. Spis treści

2. O przedmiocie

   1. Wykłady

   2. Podręcznik

   3. Egzamin

   4. Niewymagalne fragmenty podręcznika

3. Schemat egzaminu

   1. Pytania

   2. Odpowiedzi

§2. O WYKŁADACH I EGZAMINIE

I. WYKŁADY

Pewnie każdy ze studentów cośtam słyszał o zajęciach z prof. Patryasem. Plotek jest wiele, więc dobrze je zweryfikować zawczasu. Relacja z pierwszej ręki, prosto od osoby, która przeżyła jakoś egzamin i pisze ten „poradnik” na pożegnanie z logiką. Aby inni, w przyszłości, mieli trochę łatwiej.

Wykłady prof. Patryasa zawsze wyglądają tak samo – przekład podręcznika. Nie ma na nich praktycznie nic innego merytorycznie, niż to, co jest w słynnej, zielonej książeczce, zwanej w niektórych kręgach „logiczną biblią”. Nawet przykłady prof. podaje takie same jak w książce, czasami jedynie zmieniając imiona… Na wykłady więc warto chodzić właściwie tylko po to, aby usłyszeć wymagania profesora, jakieś wskazówki dotyczące egzaminu itp.

Ale chwilę, jeżeli masz ten „poradnik”, to masz tu wszystko co powinieneś wiedzieć!

II. PODRĘCZNIK

Podręcznik do logiki autorstwa prof. Patryasa to obowiązkowy materiał do nauki. Właściwie cała sztuka polega na „wkuciu” go na pamięć, każdej definicji, każdego wymaganego schematu, każdego obowiązkowego zapisu formalnego.

Polecam osobiście wygospodarować sobie 14 dni przed egzaminem z logiki na jej naukę. To powinno spokojnie wystarczyć. Rozdziałów w podręczniku jest 7, czyli po dwa dni na rozdział. Pierwszego dnia uczysz się rozdziału 1, drugiego powtarzasz, trzeciego kolejny rozdział itd. Wydaje mi się, że to dobry sposób na naukę, szczególnie, że nic trudnego tu nie ma. Zakuć, zdać, zapomnieć.

III. EGZAMIN

Prawie wszystko, co słyszeliście, to – niestety – prawda.

Egzamin zawsze odbywa się na tych samych zasadach. Obowiązuje ten sam schemat egzaminu, który składa się z 6 pytań. Pierwsze to „tabelka 0-1”, której nierozwiązanie, lub błędne rozwiązanie kończy się niezaliczeniem. Pytania 2, 5 i 6 posiadają szereg alternatyw. Na egzaminie będzie tylko jeden z tych podpunktów. Czyli w 2 pytaniu prof. spyta się albo o wykazywanie rachunku zdań, albo o zasięgi itd.

Schemat egzaminu można znaleźć oczywiście poniżej.

Profesor dzieli studentów na dwie grupy i każda grupa ma inne pytania. Podkreśliłem inne pytania, ponieważ nie jest tak, że wszyscy dostają te same pytania, a tylko inne zapisy do „obróbki”. Tak jest tylko w pierwszym zadaniu. Wszystkie kolejne to już loteria.

Stres na egzaminie macie zagwarantowany. Do sali wchodzi się pojedynczo, pokazując jakiś dokument tożsamości. Następnie bierze jedną kartkę papieru (Jedną! Jeżeli weźmiesz więcej, to zostanie brutalnie odebrana…) i zostawia torby i plecaki na przedzie Sali, przy katedrze. Nie można zabrać ze sobą na miejsce nic poza przyborami do pisania (w tym linijkami) i jakimiś chusteczkami. Następnie siada się na miejscu wskazanym przez jakiegoś pomocnika prof. Patryasa, najczęściej pracownika HCP.

Koszmar zaczyna się w czasie egzaminu, który wygląda tak, że prof. dyktuje pytania, równocześnie pisząc, o ile występuje w pytaniu, wzory na tablicy (np. jakieś wyrażenie do 1 zadania). Po pytaniu jest ok. 10 minut na odpowiedz. A potem kolejne pytanie i znów czas na odpowiedź. Czyli 6 pytań = ok. 60 min.

W czasie pisania prof. wraz ze swoim asystentem (-ami) chodzą od rzędu do rzędu i szukają ściąg. Przejrzą wszystko. Podnoszą kartki, na których piszecie. Wyjmują wszystko z piórników, oglądają linijki, gumki do mazania, przybory do pisania. Prof. wyciąga nawet chusteczki higieniczne z paczek, czy zagląda do nakrętek flamastrów. Jeżeli zechce, to poprosi o pokazanie dłoni, czy nie ma tam nasmarowanych wzorków.

Wniosek: przygotuj się na stres, przeszkadzanie i niemożliwość ściągania.

Zaliczenie: aby zaliczyć trzeba zdobyć 10 na 18 punktów.

IV. NIEWYMAGALNE FRAGMENTY PODRĘCZNIKA

Niektóre fragmenty podręcznika nie są wymagane przez prof. Patryasa.

Niewymagalne fragmenty (stan na rok 2005/2006):

- str. 38 – 40 (ale obowiązują obie definicje dowodzenia, z 37 i 41)

- str. 85, od „mając” do „nie są umowami”

- str. 111, od „zauważmy” do „partneruje samej sobie”

- str. 113, od „zauważmy” do „w zbiorze przedszkolaków”

- str. 114-115, od „zauważmy, że każda relacja przeciwsymetryczna” do „przeciwzwrotna w zbiorze państw”

- str. 116, od „zauważmy” do „przechodnia, zwrotna i niesymetryczna”

- str. 119-120, od „zauważmy, że każda relacja” do „ale nie przeciwsymetryczna”

- str. 121, od „swoiście powiązane” do „synem Grażyny”

- str. 145-150, cały podrozdział „Znaczenie wyrażeń”

§3. SCHEMAT EGZAMINU

I. PYTANIA

1.

Sprawdź metodą 0-1 czy dane wyrażenie jest tezą rachunku zdań.

2.

A. Wykaż, że poniższa sekwencja jest wyrażeniem rachunku zdań.

B. Wykaż, że poniższa sekwencja jest formułą rachunku predykatów.

C. W poniższej formule zdaniowej rachunku predykatów wskaż zasięgi poszczególnych kwantyfikatorów oraz ustal, która zmienna na jakim miejscu występuje jako zmienna wolna, a na jakim miejscu jako zmienna związana i przez jaki kwantyfikator.

D. Dokończ zdania tak, aby stały się one egzemplifikacjami znanych ci praw logiki.

3.

Pojęciówka z rozdziałów 1-4 (trzy definicje).

4.

Podaj zapisy formalne 3 tez/praw/itp. (czyli 3 z 60 obowiązujących).

Z rozdziału 1: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 22, 23, 24
Z rozdziału 2: 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Z rozdziału 3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11

Z rozdziału 4: wszystkie zapisy formalne relacji

Z ostatniego rozdziału: wszystkie schematy wnioskowań

5.

A. Omów budowę definicji równościowej.

B. Omów budowę definicji przez abstrakcję.

C. Przedstaw wszystkie znane ci schematy definicji cząstkowej.

D. Omów budowę definicji indukcyjnej.

E. Omów funkcjonowanie definicji przez postulaty.

F. Omów rodzaje definicji ze względu na zadania (sprawozdawcze i projektujące).

G. Przedstaw etapy eksplikacji.

H. Omów błędy definiowania za wyjątkiem błędu adekwatności.

I. Omów błąd adekwatności (tekst + schematy).

J. Wynikanie językowe (jeden z 8 podanych na pamięć).

6.

A. Omów związki między rodzajami reguł językowych + rys. s. 142 (drzewko) + 2 pojęcia z rozdziałów 5 do końca.

B. Przedstaw ogólny schemat wnioskowania przez indukcję numeracyjną oraz podaj jeden nieksiążkowy przykład takiego wyrażenia – punkt 4 rozdział VII.

C. Przedstaw schemat wnioskowania przez analogię 1 typu i podaj jeden nieksiążkowy przykład takiego wnioskowania.

D. Przedstaw schemat wnioskowania przez analogię 2 typu i podaj jeden nieksiążkowy przykład takiego wnioskowania.

E. Pojęciówka od rozdziału 5 do końca.

II. ODPOWIEDZI

1.

p	q	~p	p v q	p ≡ q	p → q	p ^ q
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	0	1	1	0

2.

A. 1) Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań.

2) Jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem rachunku zdań, to także sekwencja postaci ~(A) jest wyrażeniem rachunku zdań.

3) Jeżeli sekwencje postaci A oraz B są wyrażeniami rachunku zdań , to także sekwencje postaci (A)_^(B), (A)v(B), (A)→(B), (A)≡(B) są wyrażeniami rachunku zdań.

PRZYKŁAD

„~(pvq)≡(~p→~q)”

1) p, q

2) ~p, ~q

3) pvq

2) ~(pvq)

3) ~p→~q

3) ~(pvq)≡(~p→~q)

B. 1) Każda formuła zdaniowa atomowa rachunku predykatów jest formułą zdaniową rachunku predykatów.

2) Jeżeli wyrażenie postaci A jest formułą zdaniową rachunku predykatów, to jest też formułą zdaniową rachunku predykatów wyrażenie postaci ~(A).

3) Jeżeli wyrażenia postaci A i B są formułami zdaniowymi rachunku predykatów, to są też formułami zdaniowymi rachunku predykatów wyrażenia postaci (A)_^(B), (A)v(B), (A)→(B) oraz (A)≡(B).

4) Jeżeli wyrażenie postaci A jest formułą zdaniową rachunku predykatów, to formułami zdaniowymi rachunku predykatów są też wyrażenia postaci ^(A) oraz V(A) (dla dowolnego i)

PRZYKŁAD

„V[P(x)vR(x)]≡V~[P(x)]→V[R(x)]”

1) P(x), R(x)

3) P(x)vR(x)

4) V[P(x)vR(x)]

2) ~[P(x)]

4) V~[P(x)], V[R(x)]

3) V~[P(x)→V[R(x)]

3) V[P(x)vR(x)]≡V~[P(x)]→V[R(x)]

C.

• Wyrażenie występujące w nawiasach bezpośrednio po dużym kwantyfikatorze stanowi zasięg dużego kwantyfikatora.

• Wyrażenie występujące w nawiasach bezpośrednio po małym kwantyfikatorze stanowi zasięg małego kwantyfikatora.

• Zmienna występująca w zasięgu odnoszącego się do niej kwantyfikatora występuje w tym zasięgu jako zmienna związana.

• Zmienna, która występuje w danym miejscu wyrażenia, nie będąc tam zmienną związaną, występuje w owym miejscu jako zmienna wolna.

3. (Pytanie dot. 1-4, ale tu opisana jest cała pojęciówka)

• Zdaniem w sensie logicznym jest takie wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe.

• Zmienną zdaniową jest takie wyrażenie, za które wolno wstawić dowolne zdanie. Jako zmiennych zdaniowych używa się małych liter: p, q, r, s, t, p₁,…

• Spójnikami (spójnikami logicznymi) nazywamy wyrażenie posiadające tą właściwość, że po dołączeniu do niego zdania otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania dołączonego.

• Spójnikiem jednoargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w sposób szczególny – przez wartość logiczną zdania dołączonego.

• Zdaniem zanegowanym nazywamy zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.

• Negacją nazywamy zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania.

• Spójnikiem dwuargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w szczególny sposób – przez wartości logiczne dołączonych zdań.

• Tezami rachunku zdań nazywamy wyrażenia rachunku zdań, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nich zmienne przekształcają się w zdania prawdziwe.

• Zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia nazywamy jego dowodzeniem.

• Deskrypcją nazywamy wyrażenie będące charakterystyką odnoszącą się do co najwyżej jednego obiektu, które przeto oznacza co najwyżej jeden obiekt.

• Imiona własne oraz deskrypcje nazywa się ogólnie terminami jednostkowymi.

• Funktorem jednoargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje termin jednostkowy.

• Funktorem dwuargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje termin jednostkowy.

• Funktorem n – argumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z n – tką terminów jednostkowych daje termin jednostkowy.

• Zmienną indywiduową jest takie wyrażenie, za które wolno wstawić dowolny termin jednostkowy.

• Predykatem jednoargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje zdanie.

• Predykatem dwuargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje zdanie.

• Predykatem n – argumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z n – tką terminów jednostkowych daje zdanie.

• Formułą zdaniową atomową nazywamy wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n – argumentowego predykatu n – tki terminów.

• Zdaniem atomowym nazywa się wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n – argumentowego predykatu n – tki terminów jednostkowych.

• Zdaniem molekularnym nazywa się zdanie zbudowane z jednego lub więcej zdań atomowych i co najmniej jednego spójnika.

• Zdaniami rachunku predykatów są formuły zdaniowe nie zawierające zmiennych wolnych.

• Zbiorem w sensie kolektywnym jest pewna całość składająca się z przedmiotów będących jej częściami.

• Zbiorem w sensie dystrybutywnym jest zespół pewnych obiektów wyróżnionych w określony sposób.

• Zbiorem pustym jest zbiór nieposiadający żadnego elementu.

• Zbiorem jednoelementowym nazywamy zbiór, który ma tylko jeden element.

• Zbiorem dwuelementowym nazywamy zbiór, który ma tylko dwa elementy.

• Zbiorem skończonym nazywamy zbiór posiadający skończoną liczbę elementów.

• Zbiorem pełnym danej nauki albo też uniwersum nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów badanych przez tę naukę.

• Rodziną zbiorów nazywamy zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami.

• Podziałem zbioru nazywamy tylko taki zabieg wyróżniania jego podzbiorów, który spełnia dwa wymogi, a mianowicie wymóg rozłączności i wymóg adekwatności.

• Zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg rozłączności wtedy, gdy dowolne dwa wyróżnione podzbiory są wzajem rozłączne, tzn. wzajemnie wykluczają się.

• Zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg adekwatności, zwany również wymogiem zupełności wtedy, gdy suma wszystkich wyróżnionych podzbiorów jest identyczna ze zbiorem, z którego wyróżniono owe podzbiory.

• Zbiorem dzielonym nazywamy zbiór, z którego wyróżnia się podzbiory, dokonując jego podziału. Wyróżnione z niego podzbiory nazywamy członami podziału.

• Podziałem nieskończonym nazywamy podział danego zbioru na nieskończenie wiele członów.

• Podziałem skończonym nazywamy podział danego zbioru na skończenie wiele członów.

• Podział wedle pewnej zasady polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członów zawierających elementy posiadające tę samą odmianę cechy będącej zasadą podziału.

• Człony podziału przeprowadzonego wedle pewnej zasady nazywają się zbiorami współrzędnymi ze względu na tę zasadę.

• Podział dychotomiczny polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członu składającego się z elementów posiadających określoną cechę i członu składającego się z pozostałych elementów, niemających owej cechy.

• Podział uchodzi za naturalny, z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia bardziej do siebie podobne niż obiekty należące do różnych członów.

• Podział uchodzi za sztuczny, z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia mniej do siebie podobne niż obiekty należące do różnych członów.

• Regułami dedukcyjnymi nazywamy reguły wyróżniające pewne zdania określonego języka jako zdania prawdziwe.

• Aksjomatami danego języka nazywamy zdania wyróżnione jako tezy przez reguły aksjomatyczne.

• Zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku jednokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej do określonej tezy stanowi bezpośrednią konsekwencję inferencyjną danej tezy.

• Zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku wielokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej lub zastosowania wielu reguł inferencyjnych do określonej tezy stanowi pośrednią konsekwencję inferencyjną danej tezy.

• Bezpośrednie oraz pośrednie konsekwencje inferencyjne danej tezy są konsekwencjami inferencyjnymi danej tezy.

• Tautologiami nazywamy zdania powstałe z tez rachunku zdań oraz tez rachunku predykatów.

• Kontrtezami danego języka nazywamy zaprzeczenia tez danego języka.

• Kontrtautologiami danego języka nazywamy zaprzeczenia tautologii.

• Znaczeniem określonego wyrażenia w danym języku nazywamy własność przysługującą temu wyrażeniu oraz wszystkim wyrażeniom owego języka z nim równoznacznym.

• Koniunkcję zdań, z których w określonym języku wynika dane zdanie, nazywamy racją, zaś samo to zdanie nazywamy następstwem.

• Koniunkcję zdań, z których wynika logicznie dane zdanie, nazywamy racją logiczną. Z kolei zdanie wynikające logicznie z owej koniunkcji nazywamy następstwem logicznym.

• Jeżeli język, w którym sformułowana jest określona definicja, jest metajęzykiem języka, dla którego sformułowana jest ta definicja, to stanowi ona definicję metajęzykową.

• Jeżeli język, w którym sformułowana jest określona definicja, jest tym samym językiem, dla którego jest ona sformułowana, to stanowi ona definicję przedmiotową.

• Definicja cząstkowa jest zdaniem o postaci implikacji albo sekwencją dwóch zdań o postaci implikacji.

• Wnioskowanie jest to rozumowanie, w którym na podstawie pewnych przekonań dochodzi się do jakiegoś przekonania.

• Przesłanką danego wnioskowania nazywamy zdanie wyrażające jedno z jego przekonań wyjściowych.

• Wnioskiem danego wnioskowania nazywamy zdanie wyrażające przekonanie, do którego dochodzi się w tym wnioskowaniu.

• Przesłanką entymematyczną nazywamy domyślną, nieodtworzoną przesłankę zrekonstruowanego wnioskowania.

• Wnioskowaniem entymemantycznym nazywany zrekonstruowane wnioskowanie zawierające choć jedną przesłankę entymematyczną.

• Wnioskowaniem dedukcyjnym jest takie wnioskowanie, z którego przesłanek wynika logicznie wniosek.

• Wnioskowaniem dedukcyjnym entymemantycznym nazywamy takie wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z jego przesłanek zrekonstruowanych i przesłanek entymemantycznych.

• Wnioskowaniem niededukcyjnym jest takie wnioskowanie, z którego przesłanek nie wynika logicznie wniosek.

• Wnioskowanie redukcyjnym jest takie wnioskowanie niededukcyjne, którego przesłanki wynikają logicznie z wniosku albo też którego pewne przesłanki wynikają logicznie z koniunkcji wniosku i innych jego przesłanek.

• Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest to takie wnioskowanie niededukcyjne, niededukcyjne którym dochodzi się do wniosku opisującego jakąś ogólną prawidłowość, wychodząc od przesłanek opisujących pewne jednostkowe przypadki tej prawidłowości.

• Wnioskowaniem przez analogię jest wnioskowanie niededukcyjne, w którym od przesłanek przypisujących wskazanym obiektom jakiegoś rodzaju pewną cechę dochodzi się do wniosku, przypisującego tę cechę kolejnemu obiektowi tego rodzaju.

4.

TWIERDZENIA RACHUNKU ZDAŃ

• Zasada tożsamości – każde zdanie jest równoważne z samym sobą. p≡p

• Zasada podwójnego przeczenia – każde zdanie jest równoważne zdaniu powstałemu przez podwójne jego zanegowanie. p≡~~p

• Zasada sprzeczności – dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba prawdziwe. Tedy z dwóch zdań wzajem sprzecznych co najwyżej jedno jest prawdziwe. Zatem przynajmniej jedno jest fałszywe. ~(p_^~p)

• Zasada wyłączonego środka – w przypadku dwóch zdań wzajem sprzecznych wyłączona jest jakaś trzecia, środkowa ewentualność. Zasada ta wskazuje, że dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba fałszywe. Jedno jest fałszywe, a jedno prawdziwe. pv~p

• Prawo symplifikacji – koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z tych zdań. (p_^q)→p

• Prawo przemienności koniunkcji – koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania jest równoważna koniunkcji drugiego zdania i pierwszego zdania. (p_^q)≡(q_^p)

• Prawo addycji – każde zdanie implikuje alternatywę, której jest składnikiem. p→(pvq)

• Prawo przemienności alternatywy – alternatywa pierwszego zdania oraz drugiego zdania jest równoważna alternatywie drugiego zdania oraz pierwszego zdania. (pvq)≡(qvp)

• Pierwsze prawo de Morgana – negacja koniunkcji zdań jest równoważna alternatywie negacji tych zdań. ~(p_^q)≡(~pv~q)

• Drugie prawo de Morgana – negacja alternatywy zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań. ~(pvq)≡(~p_^~q)

• Modus ponendo ponens – Gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak stwierdza drugie zdanie. [(p→q)_^p]→q

• Modus tollendo tollens – gdy jedno zdanie implikuje drugie, i nie jest tak jak stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie. [(p→q)_^~q]→~p

• Prawo transpozycji – gdy jedno zdanie implikuje drugie, to negacja drugiego zdania implikuje negacje pierwszego zdania. (p→q)→(~q→~p)

• Prawo przemienności równoważności – równoważność pierwszego zdania z drugim zdaniem jest równoważna równoważności drugiego zdania z pierwszym zdaniem. (p≡q)≡(q≡p)

• Prawo sylogizmu hipotetycznego – gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie zdanie implikuje trzecie, to pierwsze zdanie implikuje trzecie. [(p→q)_^(q→r)]→(p→r)

• DEFINICJE

(D1) C_^D=~(C→~D)

(D2) CvD=~C→D

(D3) C≡D=~[(C→D)→~(D→C)]

TWIERDZENIA RACHUNKU PREDYKATÓW

• Prawo zastępowania dużego kwantyfikatora przez mały kwantyfikator – jeśli dla każdego x jest A, to dla pewnego x jest A. /\(A)→V(A)

• Prawo przestawiania małego kwantyfikatora z dużym – jeśli istnieje taki x, iż dla każdego y jest A, to dla każdego y istnieje taki x, że jest A. V/\(A)→/\V(A)

• Prawo negowania dużego kwantyfikatora – nie jest tak, iż dla każdego x jest A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki x, dla którego nie jest A. ~/\(A)≡V~(A)

• Prawo negowania małego kwantyfikatora – nie istnieje taki x, dla którego jest A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x nie jest A. ~V(A)≡/\~(A)

• Prawo zastępowania dużego kwantyfikatora – dla każdego x jest A wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taki x, dla którego nie jest A. /\(A)≡~V~(A)

• Prawo zastępowania małego kwantyfikatora – istnieje taki x, dla którego jest A wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że dla każdego x nie jest A. V(A)≡~/\~(A)

• Prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem koniunkcji – dla każdego x jest A i B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x jest A i dla każdego x jest B. /\(A_^B)≡/\(A)_^/\(B)

• Prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem alternatywy – Istnieje taki x, dla którego jest A lub B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki x, dla którego jest A lub istnieje taki x , dla którego jest B. V(AvB)≡V(A)vV(B)

• Prawo składania dużego kwantyfikatora względem alternatywy – jeśli dla każdego x jest A lub dla każdego ź jest B, to dla każdego x jest A lub B. /\(A)v/\(B)→/\(AvB)

• Prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem koniunkcji – jeśli istnieje taki x, dla którego jest A i B, to istnieje taki x, dla którego jest A, i istnieje taki x, dla którego jest B. V(A_^B)→V(A)_^V(B)

ZBIORY

• Dwa zbiory są identyczne – wtedy gdy maj te same elementy. Z=Y≡/\(xeZ≡xeY)

• Jeden zbiór zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element pierwszego jest te elementem drugiego. Z zaw.Y≡/\(x eZ→x e Y)

• Jeden zbiór właściwie zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są cznie dwa warunki: 1) każdy element pierwszego zbioru jest te elementem drugiego zbioru; 2)istnieje taki obiekt, który nie jest elementem pierwszego zbioru, ale jest elementem drugiego. Z e- Y≡[/\(xe Z→x e Y)_^V(x Ne Z_^x e Y)]

• Dwa zbiory krzyżują się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki obiekt, który jest elementem każdego z tych zbiorów i istnieje taki obiekt, który jest elementem pierwszego, a nie jest elementem drugiego zbioru i istnieje taki obiekt, który nie jest elementem pierwszego, ale jest elementem drugiego zbioru. Z krzyżuje się z Y≡[V(x e Z_^x e Y)_^V(x e Z_^x Ne Y)_^V(x Ne Z_^x e Y)]

• Dwa zbiory wykluczaj się wtedy i tylko wtedy, gdy nie maj one wspólnych elementów. Z wyklucza się z Y≡~V(x e Z_^x e Y)

• Suma dwóch zbiorów – dany obiekt jest elementem sumy dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem chocia jednego z tych zbiorów. /\(x e Z u Y≡x e Zvx e Y)

• Iloczyn dwóch zbiorów - dany obiekt jest elementem iloczynu dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem każdego z tych zbiorów. /\(x e Z ∩ Y≡x e Z_^x e Y)

• Różnica dwóch zbiorów – obiekt jest elementem ró nicy między jednym zbiorem a drugim zbiorem wtedy, gdy jest elementem pierwszego zbioru, a nie jest elementem drugiego zbioru. /\(x Z-Y≡x e Z _^ x Ne Y)

TWIERDZENIA RACHUNKU ZBIORÓW

Dla dowolnych trzech zbiorów – je li pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi zawiera się w trzecim, to pierwszy zbiór te zawiera się w trzecim. (Z zaw Y_^Y zaw X)→Z zaw. X

SUMA ZBIORÓW

• Każdy zbiór zawiera się w sumie powstałej z niego i dowolnego innego zbioru.
  Z zaw. (Z u Y)

• Dla dowolnych trzech zbiorów – suma pierwszego i sumy drugiego oraz trzeciego z nich jest identyczna z sum powsta z sumy pierwszego i drugiego oraz trzeciego z nich.
  Z u (Y u X)=(Z u Y) u X

ILOCZYN

• Iloczyn dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że zawiera się tak e w drugim z nich.
  (Z ∩ Y) zaw. Z

• Dla dowolnych trzech zbiorów – iloczyn pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z iloczynem powsta ym z iloczynu pierwszego i drugiego oraz trzeciego zbioru.
  Z ∩ (Y ∩ X)=(Z ∩ Y) ∩ X

RÓŻNICA

• Różnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że nie zawiera się w drugim z nich. Z-Z dwóch

RELACJE

• Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z≡/\(xRx).

• Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie. Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z≡~/\(xRx).

• Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy żaden element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie. (...)Z≡/\~(xRx).

• Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x. (...)Z≡/\/\(xRy→yRx).

• Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x. (...)Z≡~/\/\(xRy→yRx).

• Relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, nie zachodzi między elementem y oraz elementem x. (...)Z≡/\/\[xRy→~(yRx)].

• Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszelkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to zachodzi też między pierwszym a trzecim z nich. (...)Z≡/\/\/\(xRy_^yRz→xRz).

• Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że ilekroć zachodzi ona między dowolnymi dwoma elementami i zachodzi między tymże drugim a dowolnym trzecim jego elementem, to zachodzi ona też między owym pierwszym a tym trzecim jego elementem. (...)Z≡~/\/\/\(xRy_^yRz→xRz)

• Relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszystkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to nie zachodzi między pierwszym a trzecim z nich. (...)Z≡/\/\/\[xRy_^yRz→~(xRz)].

• Relacja R₁ jest konwersem relacji R₂ wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów relacja R₁ zachodzi między pierwszym a drugim z nich wtedy i tylko wtedy, gdy relacja R₂ zachodzi między drugim a pierwszym z nich. (...)≡/\/\(xR₁y≡yR₂x).

• Relacja R jest spójna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodzi ona między wszelkimi dwoma różnymi jego elementami. (...)≡/\/\(x=y→xRyvyRx).

5.

A.

Definicję w postaci równoważności albo identyczności nazywamy definicją równościową. Każda definicja równościowa zbudowana jest z trzech części. Jedną z nich tworzy zwrot zawierający wyrażenie definiowane zwany definiendum. Drugą część definicji równościowej tworzy zwrot definiujący zwany definiensem. Trzecią część definicji równościowej tworzy zwrot łączący definiendum z definiensem zwany spójką definicyjną. Definicja równościowa pozwala przełożyć każde zdanie zawierające wyrażenie w niej definiowane na zdanie nie zawierające tego wyrażenia. Ze względu na stosunek wyrażenia definiowanego do definiendum definicje równościowe dzielą się na: definicje wyraźne i definicje kontekstowe. Definicja równościowa jest definicją wyraźną, gdy wyrażenie definiowane jest identyczne z definiendum. Innymi słowy, definicja wyraźna jest to taka definicja równościowa, w której definiendum znajduje się wyłącznie wyraźnie definiowane. Definicja równościowa jest definicją kontekstową, gdy wyrażenie definiowane nie jest identyczne z definiendum. Innymi słowy, definicja kontekstowa to taka definicja równościowa, której definiendum stanowi kontekst zawierający w sobie wyrażenie definiowane.

B.

Definicja przez abstrakcję jest szczególną odmianą definicji kontekstowych. Każda definicja przez abstrakcję wiąże się z pewną relacją równościową. Relacja jest równościowa w danym zbiorze wtedy, gdy jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Np. relacja równo-ciężkości w zbiorze przedmiotów materialnych. Relacja równo-ciężkości dzieli zbiór przedmiotów materialnych na powstałe od niej klasy abstrakcji, czyli podzbiory przedmiotów materialnych równo-ciężkich.

C.

• /\_x[R(x)→P(x)]

• /\_x {S(x)→~[P(x)]}

• /\_x {R(x)→[T(x)→P(x)]}

• /\_x |S(x)→{W(x)→~[P(x)]}|

• /\_x{R(x)→[P(x)≡T(x)]}

D.

Każda definicja indukcyjna (rekurencyjna) zbudowana jest z dwóch części: z warunku wstępnego i z warunku indukcyjnego. W zdaniu stanowiącym warunek wstępny podaje się najprostszy kontekst, w którym występuje wyrażenie definiowane. Z kolei w zdaniu stanowiącym warunek indukcyjny zawarta jest zasada przekształcania bardziej złożonych kontekstów zawierających wyrażenia definiowane w konteksty prostsze.

E.

Definicje przez postulaty zwane definicjami aksjomatycznymi są odmianą definicji nierównościowych. Definicja przez postulaty składa się z dwóch lub więcej zdań zawierających definiowane wyrażenie. Każde z tych zdań uznaje się za zdanie prawdziwe. Oczywiście, prawdziwość zdania zawierającego wyrażenie definiowane nakłada pewne restrykcje na pojmowanie tego wyrażenia. Tylko, bowiem przy pewnym rozumieniu wyrażenia definiowanego zawierające je zdanie jest prawdziwe. Zdania tworzące definicje przez postulaty muszą więc być tak dobrane, aby ich łączna prawdziwość wyznaczała tylko jedno znaczenie zawartego w nich wyrażenia definiowanego.

F.

Definicje ze względu na realizowane przez nie zadania dzielą się na definicje sprawozdawcze i definicje projektujące.

Definicją sprawozdawczą danego wyrażenia dla określonego, zastanego języka jest taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie ma już w tym języku. Definicje sprawozdawcze nazywa się też definicjami analitycznymi. Definicje sprawozdawcze formułuje się przede wszystkim w celach dydaktycznych.

Definicje projektujące informują o projektowanych dopiero znaczeniach wyrażeń. Definicją projektującą danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie będzie mieć w tym języku. Definicje projektujące nazywa się też definicjami syntetycznymi. Projektują one znaczenia wyrażeń, a więc wyznaczają znaczenia definiowanych wyrażeń na przyszłość. Definicje projektujące dzielą się na definicje konstrukcyjne i definicje regulujące.

G.

Szczególna odmianę definicji projektujących stanowią eksplikacje.

Pierwszy etap eksplikowania polega na sformułowaniu definiowanego wyrażenia.

Drugi etap eksplikowania polega na podaniu tak zwanych kryteriów adekwatności eksplikacji. Są nimi zdania wyrażające określone intuicje związane z definiowanym wyrażeniem, których prawdziwość winna być na gruncie danej eksplikacji zagwarantowana. Jeżeli przy proponowanej eksplikacji zdania te okazują się prawdziwe, to sama ta eksplikacja może uchodzić za trafną. Jeżeli natomiast któreś z tych zdań okazuje się na gruncie danej eksplikacji fałszywe, to dyskwalifikuje to ową eksplikację.

Trzeci etap eksplikowania polega na sformułowaniu oczekiwanej definicji.

Czwarty etap eksplikowania polega na wykazaniu trafności podanej definicji przez wykazanie, iż zapewnia ona prawdziwość zdań stanowiących kryteria jej adekwatności.

H.

Jednym z błędów popełnianych przy definiowaniu jest błąd zwany nieznane przez nieznane, czyli po łacinie ignotum per ignotum.

Inny błędem popełnianym przy definiowaniu jest tzw. błędne koło. Błąd polega tu na tym, że wyrażenie definiowane występuje nie tylko w definiendum, gdzie jest jego miejsce, ale także w definiensie, gdzie nie powinno się pojawić. Stanowi to szczególną odmianę błędnego koła zwaną błędnym kołem bezpośrednim albo po łacinie idem per idem, czyli to przez to samo.

Inną o wiele bardziej skomplikowaną odmianę błędu stanowi błędne koło pośrednie. Błąd obarczający tu nie tyle jedną definicję, ile ich zestaw, polega na tym, że wyrażenie pierwotnie definiowane zostaje użyte dla zdefiniowania wyrażenia je definiującego. Pośrednio powstaje tu swoiste błędne koło, stąd i nazwa tego błędu. Zestaw obarczony błędnym kołem pośrednim może składać się z wielu definicji.

Innym błędem popełnianym przy definiowaniu jest błąd sprzeczności.

I.

Nieadekwatność (nienależyte informowanie o znaczeniu definiowanego wyrażenia) definicji sprawozdawczej przejawia się na kilka sposobów.

Po pierwsze, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za szeroką. Przypuśćmy, że podano następującą definicję n – argumentowego predykatu „P” sprawozdawczą w danym języku: P(x₁,…,x_n)≡R(x₁,…,x_n). Otóż definicja ta jest za szeroka, jeżeli tezą tego języka jest zdanie „/\x₁…/\x_n[P(x₁,…,x_n)→R(x₁,…,x_n)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie /\x₁…/\x_n[R(x₁,…,x_n)→P(x₁,…,x_n)]”.

Po drugie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za wąską. Podana wyżej definicja predykatu „P” jest za wąska, jeżeli tezą rzeczonego języka jest zdanie „/\x₁…/\x_n [R(x₁,…,x_n)→P(x₁,…,x_n)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie „/\x₁…/\x_n [P(x₁,…,x_n)→R(x₁,…,x_n)]”.

Po trzecie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją krzyżującą. Podana wyżej definicja predykatu „P” jest krzyżująca, jeżeli nie jest tezą rzeczonego języka zdanie „/\x₁…/\x_n [P(x₁,…,x_n)→R(x₁,…,x_n)]” ani nie jest jego tezą zdanie „/\x₁…/\x_n [R(x₁,…,x_n)→P(x₁,…,x_n)]”, ale jego tez jest zdanie „Vx₁…Vx_n [P(x₁,…,x_n) _^ R(x₁,…,x_n)]”.

J.

• Ze zdania A wynika w języku J zdanie B. Zdanie A jest prawdziwe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania B. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika w języku J zdanie B to implikacja A → B jest tezą języka J. Jako teza implikacja ta jest więc w języku J zdaniem prawdziwym. Gdy nadto prawdziwy jest jej poprzednik, czyli zdanie A, to na podstawie „Modus ponendo ponenes” przesądza to o prawdziwości następnika tej implikacji, czyli zdania B. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć, że zdanie B jest prawdziwe.

• Ze zdania A wynika w języku J zdanie B. Zdanie A jest fałszywe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania B. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika w języku J zdanie B to implikacja A → B jest tezą języka J. Jako teza implikacja ta jest więc w języku J zdaniem prawdziwym. Gdy przy tym fałszywy jest jej poprzednik, czyli zdanie A, to na podstawie matrycy spójnika implikacji prawdziwość tej implikacji jest zagwarantowana zarówno wtedy, gdy jej następnik, czyli zdanie B jest prawdziwe, jak i wtedy, gdy zdanie to jest fałszywe. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć tylko tyle, że zdanie B jest prawdziwe albo fałszywe.

• Ze zdania A wynika w języku J zdanie B. Zdanie B jest prawdziwe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania A. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika w języku J zdanie B to implikacja A → B jest tezą języka J. Jako teza implikacja ta jest więc w języku J zdaniem prawdziwym. Gdy nadto prawdziwy jest jej następnik, czyli zdanie B, to na podstawie matrycy spójnika implikacji prawdziwość tej implikacji jest zagwarantowana zarówno wtedy, gdy jej poprzednik, czyli zdanie A jest prawdziwe, jak i wtedy, gdy zdanie to jest fałszywe. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć tylko tyle, że zdanie A jest prawdziwe albo fałszywe.

• Ze zdania A wynika w języku J zdanie B. Zdanie B jest fałszywe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania A. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika w języku J zdanie B to implikacja A → B jest tezą języka J. Jako teza implikacja ta jest więc w języku J zdaniem prawdziwym. Gdy przy tym fałszywy jest jej następnik, czyli zdanie B, to na podstawie „Modus tollendo tollens” przesądza to o fałszywości poprzednika tej implikacji czyli zdania A. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć, że zdanie A jest fałszywe.

• Ze zdania A wynika logicznie zdanie B. Zdanie A jest prawdziwe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania B. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika logicznie zdanie B, to implikacja A → B jest tautologią. Jako tautologia implikacja ta jest więc zdaniem prawdziwym. Gdy nadto prawdziwy jest jej poprzednik, czyli zdanie A, to na podstawie „Modus ponendo ponens” przesądza to o prawdziwości jej następnika, czyli zdania B. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć, że zdanie B jest prawdziwe.

• Ze zdania A wynika logicznie zdanie B. Zdanie A jest fałszywe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania B. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika logicznie zdanie B, to implikacja A → B jest tautologią. Jako tautologia implikacja ta jest więc zdaniem prawdziwym. Gdy przy tym fałszywy jest jej poprzednik, czyli zdanie A, to na podstawie matrycy spójnika implikacji prawdziwość tej implikacji jest zagwarantowana zarówno wtedy, gdy jej następnik, czyli zdanie B jest prawdziwe, jak i wtedy, gdy zdanie to jest fałszywe. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć tylko tyle, że zdanie B jest prawdziwe albo fałszywe.

• Ze zdania A wynika logicznie zdanie B. Zdanie B jest prawdziwe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania A. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika logicznie zdanie B, to implikacja A → B jest tautologią. Jako tautologia implikacja ta jest więc zdaniem prawdziwym. Gdy nadto prawdziwy jest jej następnik, czyli zdanie B, to na podstawie matrycy spójnika implikacji prawdziwość tej implikacji jest zagwarantowana zarówno wtedy, gdy jej poprzednik, czyli zdanie A jest prawdziwe, jak i wtedy, gdy zdanie to jest fałszywe. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć tylko tyle, że zdanie A jest prawdziwe albo fałszywe.

• Ze zdania A wynika logicznie zdanie B. Zdanie B jest fałszywe. Co na tej podstawie można powiedzieć o wartości logicznej zdania A. Uzasadnij swoją wypowiedź. Skoro ze zdania A wynika logicznie zdanie B, to implikacja A → B jest tautologią. Jako tautologia implikacja ta jest więc zdaniem prawdziwym. Gdy przy tym fałszywy jest jej następnik, czyli zdanie B, to na podstawie „Modus tollendo tollens” przesądza to o fałszywości poprzednika tej implikacji czyli zdania A. Reasumując w tej sytuacji możemy powiedzieć, że zdanie A jest fałszywe.

6.

Wersja 1:

A.

I. reguły językowe

1. reguły składniowe

1) reguły formowania

a) reguły ustalające słownik

b) reguły gramatyczne

- reguły ustalające kategorie gramatyczne

- reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych

2) reguły dedukcyjne

a) reguły aksjomatyczne

b) reguły inferencyjne

2. reguły semantyczne

1) reguły odniesienia przedmiotowego

a) reguły ustalające uniwersum

b) reguły denotowania

2) reguły prawdziwościowe

Wersja 2:

A.

I. reguły językowe

1. reguły składniowe

a) reguły formowania

reguły ustalające słownik

reguły gramatyczne ↓

└ reguły ustalające kategorie gramatyczne

└ reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych

b) reguły dedukcyjne

reguły aksjomatyczne

reguły inferencyjne

2. reguły semantyczne

a) reguły odniesienia przedmiotowego

reguły ustalające uniwersum

reguły denotowania

b) reguły prawdziwościowe

B.

SCHEMAT:

/P1’/ , /P1’’/ R(a₁,…,a_n), S(a₁,…,a_n)

/P2’/ , /P2’’/ R(b₁,…,b_n), S(b₁,…,b_n)

/P3’/ , /P3’’/ R(c₁,…,c_n), S(c₁,…,c_n)

………………………

/Pk’/ , /Pk’’/ R(m₁,…,m_n), S(m₁,…,m_n)

/W/ ^…^[R(x₁,…,x_n)→S(x₁,…,x_n)]

PRZYKŁAD:

/P1’/ , /P1’’/ Stefan jest studentem, Stefan umie czytać

/P2’/ , /P2’’/ Marek jest studentem, Marek umie czytać

/P3’/ , /P3’’/ Józek jest studentem, Józek umie czytać

/P4’/ , /P4’’/ Rysiek jest studentem, Rysiek umie czytać

/P5’/ , /P5’’/ Rudolf jest studentem, Rudolf umie czytać

/W/ Każdy student umie czytać.

C. wnioskowanie przez analogię 1 typu

SCHEMAT:

/P1’/ , /P1’’/ R(a₁), S(a₁)

/P2’/ , /P2’’/ R(a₂), S(a₂)

…………..

/Pn’/ , /Pn’’/ R(a_n), S(a_n)

/Pn+1/ R(a_n+1)

/W/ S(a_n+1)

PRZYKŁAD:

/P1’/ , /P1’’/

/P2’/ , /P2’’/

/P3’/ , /P3’’/

/P4’/ , /P4’’/

D. wnioskowanie przez analogię 2 typu

SCHEMAT:

/P1’/ , /P1’’/ S₁(a), S₁(b)

/P2’/ , /P2’’/ S₂(a), S₂(b)

…………..

/Pn’/ , /Pn’’/ S_n(a), S_n(b)

/Pn+1/ S_n+1(a)

/W/ S_n+1(b)

PRZYKŁAD:

/P1’/ , /P1’’/

/P2’/ , /P2’’/

/P3’/ , /P3’’/

/P4’/ , /P4’’/