Ćwiczenie nr. 7

Temat: Badanie drgań wahadła sprężystego

1.Cel doświadczenia

Celem doświadczenia jest badanie drgań wahadła sprężynowego.

2.Teoria

Ruch drgający harmoniczny.

Ruch drgający jest to ruch , w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze ( np. wahadło w zegarze , ciężarek zawieszony na sprężynie ).Szczególnym przykładem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny prosty. Ruch ten występuje gdy siła działająca na ciało drgające jest proporcjonalna do wychylenia ciała od położenia równowagi i przeciwnie do niego skierowana. Równanie ruchu punktu o masie m , poddanego działaniu takiej siły, jest następujące:

ma = - kx

a – przyspieszenie masy m

x – wychylenie masy od równowagi

k – współczynnik proporcjonalności

Gdy przyspieszenie a wyrazimy jako drugą pochodną x(t), to:

a = d²x / dt² = - (k / m )x

którego rozwiązaniem jest funkcja:

x = A cos (ωt + ϕ )

Ruch harmoniczny prosty jest to taki ruch , w którym współrzędna opisująca ruch ciała zmienia się okresowo w sposób sinusoidalny.

ϕ - faza początkowa ruchu; kąt, określający wartość współrzędnej x w chwili t=o

A – amplituda drgań (maksymalne wychylenie ciała drgającego od położenia równowagi)

ω - częstość kołowa drgań spełniająca zależność:

ω = 2π / T = 2πƒ

T – okres

ƒ - częstotliwość drgań (ƒ = 1/T )

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym prostym można wyrazić wzorem:

a = - ω²x

zaś prędkość:

ω = ( k / m )^1/2

czyli częstość kołowa równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu współczynnika k i masy m .

Ruch drgający ciała zawieszonego na sprężynie.

Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, które jest położeniem równowagi. Działają wtedy na niego dwie siły, które się wzajemnie równoważą:

ciężkości – P = mg (działa pionowo w dół )

sprężystości F₀ = - kx₀ (działa przeciwnie do kierunku odkształcenia). Zgodnie z prawem Hooka przy małych odkształceniach siła ta jest wprost proporcjonalna do odkształcenia x₀.

k – współczynnik sprężystości sprężyny

Współrzędne spoczynkowego odkształcenia x₀ otrzymamy z warunku równowagi: P + F₀ = 0.Wartości tych wektorów muszą być jednakowe:

mg = kx_o

Jeśli mamy dane x₀ i m możemy wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny k :

k = mg / x₀

Z poznanych już zależności możemy wywnioskować ,że:

T = 2π ( m / k )^1/2

Tak więc T zależy od : m, k. Nie zależy od początkowego wychylenia ciężarka od położenia równowagi. To, że okres drgań nie zależy od amplitudy A określone jest jako prawo izochronizmu wahadła sprężynowego. Jeżeli prawdziwe jest w/w prawo, to ciężarek raz wprawiony w drgania powinien poruszać się wiecznie. A jak wiemy tak nie jest.

Gdy nie pominiemy masy m_s, to wzór na okres drgań wahadła ma postać :

T = 2π [(m + 1/3m_s) / k]^1/2

3. Wykonanie ćwiczenia:

I Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny.

• Zawieszamy sprężynę na statywie i odczytujemy położenie poziomej kreski .

• Do sprężyny przyczepiamy odważnik o znanej masie i odczytujemy wydłużenie sprężyny.

• Obliczamy ciężar właściwy zawieszonej masy.

• Okazuje się ze nasza sprężyna jest zużyta(rozciągnięta) i musimy ją zmienić.

• Ponownie obliczamy ciężar właściwy zawieszonej masy na nowej sprężynie.

• Pomiar wykonujemy dla odważników 50g , 100g i 200g

• Q = m * g

a) 0,05 kg Q₁= m₁g Q₁= 0.05*10 = 0.5 N

b) 0,1 kg Q₂= m₂g Q₂= 0.02*10 = 1 N

c) 0,2 kg Q₃= m₃g Q₃= 0.1*10 = 2 N

• Obliczamy wydłużenie sprężyny (m)

• x_0i = l_i − l_0i

1. 0,05 kg x₀₁= 0.235-0,21= 0,025 m

2. 0,1 kg x₀₂= 0,255-0,21= 0,045 m

3. 0,2 kg x₀₃= 0,295-0,21= 0,085 m

• Obliczamy wartość k (współczynnik sprężystości) dla trzech ciężarków k_i=

a) 0,05 kg k₁ = 20 N/m

b) 0,1 kg k₂= 22,2 N/m

c) 0,2 kg k₃= 23,5 N/m

Wyznaczam k średnie k=(k₁+k₂+k₃) / 3

k =(20+22,2+ 23,5) : 3= 21,9 N/m

II Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła

• Obciążamy sprężynę odważnikiem, odciągamy go w dół o 1cm i mierzymy czas 30 pełnych drgań.

• Pomiar powtarzamy trzykrotnie i obliczamy średni czas drgań.

• Pomiary powtarzamy dla dwóch innych amplitud drgań (2cm i 3cm).

Przyjmujemy czas n = 30 drgań

Po trzykrotnym dokonaniu pomiarów 30 drgań dla każdej z trzech amplitud wyznaczam T średni.

T₁= 17,33 / 30 = 0,58 s

T₂= 17,48 / 30 = 0,58 s

T₃= 17,36 / 30 = 0,57 s

T_śr = (T₁ + T₂+ T₃)/3 =0,58 s

III Wyznaczanie masy ciężarka

Ważymy sprężynę (m_s) (nie używamy wskaźnika do tego zadania – ciężar pomijamy)

m_s= 0,02145 kg

m_w= 0 kg

Obliczamy masę ciężarka według wzoru :

m_x = m – m_w = kT² / 4π²- 1/3m_s-m_w

m_x =21,9*(0,58)²/39,4384-0,02145/3

m_x ≈ 0,12085 kg

Ważymy ciężarek na wadze laboratoryjnej o dokładności do 10 mg

Masa ciężarka wynosi m= 0,12929 kg

4. Obliczam rachunek błędu :

Dla okresu T :

ΔT = max|0,58-0,58|=0

ΔT = max|0,58-0,58|=0,

ΔT = max|0,58-0,57|≈0,01 największy błąd

Dla stałej k :

Δk = max|21,9-20|=1,9 największa różnica

Δk = max|21,9-22,2|≈ 0,3

Δk = max|21,9-23,5|≈ -1,6

Zatem przystępujemy do oszacowania błędu pomiaru masy m_x.

Δ m_x=T²*Δk/4π²+k*2T*ΔT/4π²+1/3Δm_s

Δ m_x=(0,3364*21,9)/39,4384+21,9*2*0,58*0,01/39,4384*+0,000003

Δ m_x=0,1868+0,00644+0,000003= 0,1932444

Obliczam błąd względny dzieląc błąd bezwzględny przez wartosć masy ciężarka i mnożąc przez 100%.

*100 % ≈ 1,49%

5. Wnioski

Badając drgania wahadła sprężynowego doszliśmy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności nie zależy od masy ciężarka lecz od rodzaju sprężyny.

Stwierdziliśmy także że okres nie zależy od początkowego odchylenia ciężarka od położenia równowagi.

Powstałe błędy były spowodowane kiepskim refleksem studentów przy mierzeniu czasu oraz nie doskonałym kątem prostym podczas mierzenia wychylenia obciążonej sprężyny.

Również zauważyliśmy że sprężyna może być zużyta ,czyli rozciągnięta poza swoje możliwości i nie wrócić do stanu pierwotnego.