Agnieszka Szkup
Grupa: B2X7S1
Nr. Indeksu: 53261
Rys 1 Schemat usytuowania klapy
Poziom wody określony jest niebieską linia poziomą.
Rys. 2 Widok klapy
Należy:
przedstawić wzory, przekształcenia, komentarz słowny,
obliczyć i przedstawić na rysunku ciśnienie w funkcji odległości od osi obrotu klapy,
obliczyć siłę parcia oraz moment sił hydrostatycznych względem osi obrotu.
Wybieram układ osi związany z klapą i wyznaczam wysokość słupa wody nad punktem o współrzędnych η, ζ. Pomijam jednak zależność wysokości słupa od współrzędnej η, gdyż η jest stałe w każdym punkcie. Zależność będzie więc funkcją liniową.
H1(ζ) = ! + ?ζ
ζ = 0 ⇒ H1 = h2 + h3 = h − h1 gdzie h = h1 + h2 + h3
ζ = w ⇒ H1 = h
! + ? • 0 = h − h1 ⇒ !=h − h1
$$! + ? \bullet w = h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ h - h_{1} + \ ?w = h\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \Longrightarrow \ \ \ \ \ ? = \frac{h_{1}}{w}\ $$
$$H_{1}\left( \zeta \right) = h - h_{1} + \frac{h_{1}}{w}\zeta$$
ρg(h-h1)
p0
ρgh
p
Ciśnienie w funkcji odległości od osi obrotu klapy:
$$p\left( \zeta \right) = \rho g\left( h - h_{1} \right) + \rho g\frac{h_{1}}{w}\zeta$$
Wprowadzam współrzędne biegunowe: ζ = rsinβ η = rcosβ
Siła parcia:
$$P = \int_{r = 0}^{r = w}{\int_{0}^{\pi}{\left\lbrack \text{ρg}\left( h - h_{1} \right) + \text{ρg}\frac{h_{1}}{w}\text{rsinβ} \right\rbrack rd\beta dr = \rho g\int_{r = 0}^{r = w}{r\left\lbrack \left( h - h_{1} \right)\beta|_{0}^{\pi} + \frac{h_{1}}{w}r( - cos\beta)|_{0}^{\pi} \right\rbrack}}}dr =$$
$$= \rho g\int_{0}^{w}{r\left\lbrack \pi\left( h - h_{1} \right) + \frac{h_{1}}{w}r \right\rbrack dr =}\text{ρg}\left\lbrack \pi\left( h - h_{1} \right) \bullet \frac{1}{2}r^{2}|_{0}^{w} + \frac{h_{1}}{w} \bullet \frac{1}{3}r^{3}|_{0}^{w} \right\rbrack = \rho gw^{2}\left\lbrack \frac{\pi}{2}\left( h - h_{1} \right) + \frac{1}{3}h_{1} \right\rbrack$$
Rachunek mian:
$$\left\lbrack P \right\rbrack = \left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m^{2} \bullet m \right\rbrack = \left\lbrack \frac{kg \bullet m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack N \right\rbrack$$
Moment sił hydrostatycznych:
$$M = \int_{r = 0}^{r = w}{\int_{0}^{\pi}{\text{rsinβ}\left\lbrack \text{ρg}\left( h - h_{1} \right) + \text{ρg}\frac{h_{1}}{w}\text{rsinβ} \right\rbrack rd\beta dr = = \text{ρg}\left\lbrack \int_{r = 0}^{r = w}{r^{2}\int_{0}^{\pi}{\left\{ \left( h - h_{1} \right)\text{sinβ} + \frac{h_{1}}{w}r\sin^{2}\beta \right\}\text{dβdr}}} \right\rbrack}} = = \ \ \ \text{ρg}\int_{r = 0}^{r = w}{r^{2}\left\lbrack \left\{ - \left( h - h_{1} \right)\text{cosβ} \right\}|_{0}^{\pi} + \left\{ \frac{h_{1}}{w}r\left( \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2}\text{sinβcosβ} \right) \right\}|_{0}^{\pi} \right\rbrack dr = = \rho g\int_{0}^{w}{r^{2}\left\lbrack \left( h - h_{1} \right) + \frac{h_{1}}{2w}\text{rπ} \right\rbrack dr = = \rho g\left\lbrack \left( h - h_{1} \right) \bullet \frac{1}{3}r^{3}|_{0}^{w} + \frac{h_{1}\pi}{2w} \bullet \frac{1}{4}r^{4}|_{0}^{w} \right\rbrack = \rho g\left\lbrack \frac{1}{3}w^{3}\left( h - h_{1} \right) + \frac{h_{1}\pi}{8}w^{3} \right\rbrack =}}$$
= $\text{ρg}w^{3}\left\lbrack \frac{1}{3}\left( h - h_{1} \right) + \frac{1}{8}\text{πh}_{1} \right\rbrack$
Rachunek mian:
$$\left\lbrack M \right\rbrack = \left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m^{3} \bullet m \right\rbrack = \left\lbrack \frac{kg \bullet m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack N \bullet m \right\rbrack$$