Informacje wstępne:

Dane:

• λ_s = 52 [W/mK]

• d_z/d_w = 89/79 [mm]

• w = 0,34 [m/s]

• t_1w = 85 [˚C]

• t_2w = 75 [˚C]

• t_p = 25 [˚C]

żebra płaskie kwadratowe:

• δ = 3,1 [mm]

• s = 8 [mm]

• D = 140 [mm]

• η_ż = 0,85

Szukane:

• α_w = ?

• α_p = ?

• Q_kon = ?

• L =?

• Q_prom = ?

• Q_c = ?

Obliczenia:

Współczynnik wnikania ciepła od wody do rury (α_w):

t_m = ½ ^. ( t_1w+ t_2w) = ½ ^. ( 85+ 75)=80 [˚C]

Właściwości fizyczne wody dla 80 [˚C] odczytano z tablic:

ν = 0,365* 10^-6 [m²/s]

λ_w = 67,4* 10^-2 [W/mK]

Pr = 2,21

l=dw – wymiar charakterystyczny

$$Re = \ \frac{w*d_{w}}{\nu} = \frac{0,34*0,079}{0,365*10^{- 6}} = 73859 - \text{przep}l\text{yw\ turbulentny\ }$$

Nu = 0, 021 * Re^0, 8 * Pr^0, 43 = 0, 021 * 73859^0, 8 * 2, 21^0, 43 = 231, 75

$$Liczba\ Nusselta:\ Nu = \frac{\alpha_{w}*l}{\lambda_{w}} = \frac{\alpha_{w}*d_{w}}{\lambda_{w}}$$

$$\alpha_{w} = \frac{\text{Nu}*\lambda_{w}}{d_{w}} = \frac{231,75*67,4*10^{- 2}}{0,079} = \mathbf{1977,21}\mathbf{\ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}$$

Współczynnik wnikania ciepła od powierzchni ożebrowanej do powietrza (α_ż):

t_m = ½ ^. (t_p+ t_2w) = ½ ^. (25+ 75)= 50 [˚C]

Właściwości fizyczne dla 50 [˚C] odczytano z tablic:

ν = 17,95* 10^-6 [m²/s]

λ_p = 2,83*10^-2 [W/mK]

Pr = 0,698

β = 1/T_m= 1/(50+273) = 3,1 ^. 10^-3 [1/K]

ΔT =| T_2w - T_p |=75-25=50 [K]

$$Liczba\ Grashoffa:\ Gr = \ \frac{g*\beta*\Delta T*l^{3}}{\nu^{2}}$$

$$Gr = \ \frac{g*\beta*\Delta T*D^{3}}{\nu^{2}} = \frac{9,81*3,1*10^{- 3}*50*0,140^{3}}{(17,95*10^{- 6})^{2}} = 12949586\ $$

Gr * Pr = 12949586 * 0, 698 = 9038811 − przeplyw przejsciowy

Nu = c * (Gr * Pr)ⁿ dla przepływu przejściowego

c=0,54

n=0,25

Nu = 0, 54 * (Gr * Pr)^0, 25 = 0, 54 * (9038811)^0, 25 = 29, 6

$$Liczba\ Nusselta:\ Nu = \frac{\alpha_{z}*l}{\lambda_{p}} = \frac{\alpha_{z}*D}{\lambda_{p}}$$

$$\alpha_{z} = \frac{\text{Nu}*\lambda_{p}}{D} = \frac{29,4*2,83*10^{- 2}}{0,140} = \mathbf{5,94}\mathbf{\ \ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}$$

Współczynnik wnikania ciepła od powierzchni między żebrami do powietrza (α_nż):

$$Gr = \ \frac{g*\beta*\Delta T*\text{dz}^{3}}{\nu^{2}} = \frac{9,81*3,1*10^{- 3}*50*0,089^{3}}{(17,95*10^{- 6})^{2}} = 3326916$$

Gr * Pr = 3326916 * 0, 698 = 2322187 − przeplyw przejsciowy

Nu = c * (Gr * Pr)ⁿ dla przepływu przejściowego

c=0,54

n=0,25

Nu = 0, 54 * (Gr * Pr)^0, 25 = 0, 54 * (2322187)^0, 25 = 21, 08

$$Liczba\ Nusselta:\ Nu = \frac{\alpha_{nz}*l}{\lambda_{p}} = \frac{\alpha_{z}*\text{dz}}{\lambda_{p}}$$

$$\alpha_{nz} = \frac{\text{Nu}*\lambda_{p}}{\text{dz}} = \frac{21,08*2,83*10^{- 2}}{0,089} = \mathbf{6,7}\mathbf{\ \ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}$$

Strumień ciepła oddawany do powietrza poprzez konwekcję (Q_kon):

Właściwości fizyczne wody dla 80 [˚C] odczytano z tablic:

ρ_w = 971,8 [kg/m³]

c_pw = 4,195 [kJ/kgK]

Moc cieplna grzejnika :  Q = m_w * c_pw * (t_1w−t_2w)

$$\text{Strumie}n\text{\ obj}e\text{to}sciowy:\ V_{n} = \frac{m_{w}}{\rho_{w}} = w*\frac{\Pi*d_{w}^{2}}{4}$$

$$m_{w} = \rho_{w}*w*\frac{\Pi*d_{w}^{2}}{4} = 971,8*0,34*\frac{\Pi*0,079^{2}}{4} = \mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{62}\mathbf{\ \lbrack}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

Q_kon = m_w * c_pw * (t_1w−t_2w) = 1, 62 * 4, 195 * (85−75) = 67, 96 [kW]

Wymagana długość rury (L):

Dla powierzchni między żebrami :

$$\frac{A_{nz}}{L} = \Pi*d_{z}*\left( 1 - \frac{\delta}{s} \right) = \Pi*0,089*\left( 1 - \frac{0,0031}{0,008} \right) = \mathbf{0,171\ \lbrack}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\rbrack}$$

Dla powierzchni żeber :

$$\frac{A_{z}}{L} = \left( D^{2} - \frac{\Pi d_{z}^{2}}{4} \right)*\frac{2}{s} + 4D*\frac{\delta}{s} = \left( 0,140^{2} - \frac{\Pi*0,089^{2}}{4} \right)*\frac{2}{0,008} + 4*0,140*\frac{0,0031}{0,008}\mathbf{= 3,56\ \lbrack}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\rbrack}$$

Długość WYMIENNIKA:

$$L = \frac{Q_{\text{kon}}*(\frac{1}{\Pi d_{w}*\alpha_{w}} + \frac{\ln\frac{d_{z}}{d_{w}}}{2\Pi*\lambda_{s}} + \frac{1}{\alpha_{z}*\frac{A_{z}}{L}*\eta_{z} + \alpha_{nz}*\frac{A_{nz}}{L}})}{t_{w,sr} - t_{p}} =$$

$$= \frac{67,96*10^{3}*(\frac{1}{\Pi*0,079*1977,21} + \frac{\ln\frac{0,089}{0,079}}{2*\Pi*52} + \frac{1}{5,94*3,56*0,85 + 6,7*0,171})}{80 - 25} = \ \mathbf{67,59}\mathbf{\ \lbrack}\mathbf{m}\mathbf{\rbrack}$$

Sprawdzenie temperatury: t_śćz:

$$t_{scz} = \frac{Q_{\text{kon}}}{\alpha_{z}*A_{z}*\eta_{z} + \alpha_{nz}*A_{nz}} + t_{p}$$

$$t_{scz} = \frac{67,96*10^{3}}{5,94*\left( 3,56*67,59*0,85 \right) + 6,7*(0,171*67,59)} + 25$$

t_scz=77, 59  [C] 

|T_scz−T_2w| < 1 [K]

|T_scz−T_2w| = |77,59−75| =  2, 59 [K]>1 [K] 

Założono temperaturę T_śćz=77,6[^oC]

I przybliżenie T_śćz=77,6[^oC]

t_m = ½ ^. (t_p+ t_śćz) = ½ ^. (25+ 77,6)= 51,3[˚C]

Właściwości fizyczne dla 50 [˚C] odczytano z tablic:

ν = 17,95* 10^-6 [m²/s]

λ_p = 2,83*10^-2 [W/mK]

Pr = 0,698

β = 1/T_m= 1/(48,9+273) = 3,08 ^. 10^-3 [1/K]

ΔT =| T_scz - T_p |=77,6-25=52,6 [K]

Współczynnik wnikania ciepła od powierzchni ożebrowanej do powietrza (α_ż):

$$\text{Gr} = \ \frac{g*\beta*\text{ΔT}*D^{3}}{\nu^{2}} = \frac{9,81*3,08*10^{- 3}*52,6*0,140^{3}}{(17,95*10^{- 6})^{2}} = 13535075\ $$

Gr * Pr = 13535075 * 0, 698 = 9447482 − przeplyw przejsciowy

Nu = c * (Gr * Pr)ⁿ dla przepływu przejściowego

c=0,54

n=0,25

Nu = 0, 54 * (Gr * Pr)^0, 25 = 0, 54 * (9447482)^0, 25 = 29, 94

$$\alpha_{z} = \frac{\text{Nu}*\lambda_{p}}{D} = \frac{29,94*2,83*10^{- 2}}{0,140} = \mathbf{6,05}\mathbf{\ \ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}$$

Współczynnik wnikania ciepła od powierzchni między żebrami do powietrza (αnż):

$$\text{Gr} = \ \frac{g*\beta*\text{ΔT}*\text{dz}^{3}}{\nu^{2}} = \frac{9,81*3,08*10^{- 3}*52,6*0,089^{3}}{(17,95*10^{- 6})^{2}} = 3477335\ $$

Gr * Pr = 3477335 * 0, 698 = 2427180 − przeplyw przejsciowy 

Nu = c * (Gr * Pr)ⁿ dla przepływu przejściowego

c=0,54

n=0,25

Nu = 0, 54 * (Gr * Pr)^0, 25 = 0, 54 * (2427180)^0, 25 = 21, 3

$$\alpha_{nz} = \frac{\text{Nu}*\lambda_{p}}{\text{dz}} = \frac{21,3*2,83*10^{- 2}}{0,089} = \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{77}\mathbf{\ \ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}$$

$$L = \frac{Q_{\text{kon}}*(\frac{1}{\Pi d_{w}*\alpha_{w}} + \frac{\ln\frac{d_{z}}{d_{w}}}{2\Pi*\lambda_{s}} + \frac{1}{\alpha_{z}*\frac{A_{z}}{L}*\eta_{z} + \alpha_{z}*\frac{A_{nz}}{L}})}{t_{w,sr} - t_{p}} =$$

$$= \frac{67,96*10^{3}*(\frac{1}{\Pi*0,079*1977,21} + \frac{\ln\frac{0,089}{0,079}}{2*\Pi*52} + \frac{1}{6,05*3,65*0,85 + 6,77*0,171})}{80 - 25} = 64,97\lbrack\mathbf{m}\mathbf{\rbrack}$$

Sprawdzenie temperatury: t_śćz:

$$t_{scz}' = \frac{Q_{\text{kon}}}{\alpha_{z}*A_{z}*\eta_{z} + \alpha_{nz}*A_{nz}} + t_{p}$$

$t_{scz}' = \frac{67,96*10^{3}}{6,05*\left( 3,65*64,97*0,85 \right) + 6,77*(0,171*64,97)} + 25$

t_scz^′ = 77, 5 [C] 

|T_scz′−T_scz| < 1 [K]

|T_scz′−T_scz| = |77, 5 − 77, 6|= 0,10 [K]<1 [K] 

Strumień ciepła oddawany do powietrza poprzez promieniowanie (Qprom):

A_obw = 4 * D * L = 4 * 0, 140 * 64, 97 = 36, 38 [m²]

Q_prom = δ_o * A_obw * (T_scz⁴−T_p⁴) = 5, 67 * 10⁻⁸ * 36, 38 * (350, 5⁴−298⁴) = 14864, 2 [W] = 14, 86 [kW]

$$\delta_{o} = 5,67*10^{- 8}\ \lbrack\frac{W}{m^{2}K^{4}}\rbrack$$

Sprawdzenie:

$$\frac{Q_{\text{prom}}}{Q_{\text{kon}}} > 0,05 - \text{nale}z\text{y\ powt}o\text{rzy}c\text{\ obliczenia}$$

$$\frac{Q_{\text{prom}}}{Q_{\text{kon}}} = \frac{14,86}{67,96} = 0,22 > 0,05 \rightarrow \text{nale}zy\ \text{powt}o\text{rzy}c\ \text{obliczenia}\ $$

Strumień ciepła oddawany do powietrza przez konwekcje i promieniowanie (Q_c):

$$\alpha_{r} = \frac{\delta_{o}*(T_{scz}^{4} - T_{p}^{4})}{T_{scz} - T_{p}} = \frac{5,67*10^{- 8}*\left( 3{50,5}^{4} - 298^{4} \right)}{350,5 - 298} = \mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{78}\mathbf{\ \lbrack}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{K}}\mathbf{\rbrack}\ $$

$$L' = \frac{Q_{\text{kon}}*(\frac{1}{\Pi d_{w}*\alpha_{w}} + \frac{\ln\frac{d_{z}}{d_{w}}}{2\Pi*\lambda_{s}} + \frac{1}{\alpha_{z}*\frac{A_{z}}{L}*\eta_{z} + \alpha_{nz}*\frac{A_{nz}}{L} + \alpha_{r}*\frac{A_{\text{obw}}}{L}})}{t_{w,sr} - t_{p}}$$

$$= \frac{67,96*10^{3}*(\frac{1}{\Pi*0,079*1977,21} + \frac{\ln\frac{0,089}{0,079}}{2*\Pi*52} + \frac{1}{6,05*3,65*0,85 + 6,77*0,171 + 7,78*0,56})}{80 - 25} = \mathbf{53,85\ \lbrack}\mathbf{m}\mathbf{\rbrack}$$

$$t_{scz^{'}}' = \frac{Q_{\text{kon}}}{\alpha_{z}*A_{z}*\eta_{z}*L^{'} + \alpha_{nz}*A_{nz}*L^{'} + \alpha_{r}*A_{\text{obw}}*L^{'}} + t_{p}$$

$$t_{scz}^{'} = \frac{67,96*10^{3}}{6,05*3,65*53,85*0,85 + 6,77*0,171*53,85 + 7,78*0,56*53,85} + 25 = \mathbf{76,96\lbrack}\mathbf{}\mathbf{C}\mathbf{\rbrack\ }$$

|T_scz−T_scz′| = 77, 5 − 77 =  0,5 [K]<1 [K] 

A_obw = 4 * D * L^′ = 4 * 0, 140 * 53, 85 = 30, 16 [m²]

Qprom = δo * Aobw * (Tscz′4−Tp4) = 5, 67 * 10−8 * 30, 16 * (3504−2984) = 12175, 9 [W] = 12, 18 [kW]

Q_c = Q_kon + Q_prom = 67, 96 + 12, 18 = 80, 14 [kW]