0. Równ falowe matem rów rozniczk czastk drug rzed opis ruch falowy (Δp(x,y,z,t)- -$\frac{1}{c^{2}}\frac{\delta^{2}p(x,y,z,t)}{\text{dt}^{2}}$=0, Δ²=$\frac{\delta^{2}}{dx^{2}} + \frac{\delta^{2}}{dy^{2}} + \frac{\delta^{2}}{dz^{2}},\frac{\delta^{2}p(x)}{dx^{2}} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}p\left( x \right) = 0,p\left( x,t \right) = Acos\left( \omega t - kx \right),\ \frac{\omega}{c} = k\ (k = \frac{2\pi}{\lambda}))$1.Dyn eliminator służy do zmieniania sztywności tak, aby pracować w warunkach podkrytycznych w « w₀ lub w » w_0. Istotą dynamicznej eliminacji drgań jest dołączenie do układu, którego drgania eliminujemy (m, k) dodatkowej masy (m_e) połączonej sprężyście (k_e) tak, aby częstość własna dołączonego eliminatora w_e była równa w. Można stosować , gdy częstość wymuszenia w warunkach eksploatacji zmienia się w wąskim zakresie lub w układach, w których częstość własna eliminatora jest zmienna z częstością pobudzenia $\omega_{e} = \sqrt{\frac{k_{e}}{m_{e}}}$. W warunkach rezonansu w → w₀, masa m nie wykonuje drgań $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}\ }.$ Rów drgań układu m$\frac{d^{2}x_{1}}{\text{dt}^{2}} + (k + k_{e})x_{1} - k_{e}x_{2} = F_{0}\sin{\text{ωt},}m_{e}\frac{d^{2}x_{2}}{\text{dt}^{2}} + k_{e}x_{2} - k_{e}x_{1} = 0$ Mają rozwiązania ustalone: x_j = a_jsinωt, j=1,2 gdzie: $a_{1} = \frac{F_{o}}{m}\frac{\omega_{e}^{2}}{(\omega^{2 -}\omega_{1}^{2})(\omega^{2} - \omega_{2}^{2})},$ $a_{2} = \frac{F_{o}}{m}\frac{\omega_{e}^{2}}{(\omega^{2 -}\omega_{1}^{2})(\omega^{2} - \omega_{2}^{2})},$ przy czym: $\omega_{1,2}^{2} = \omega_{e}^{2}*\frac{1}{2}\left\{ 1 + \frac{m_{e}}{m} + \left( \frac{\omega_{o}}{\omega_{e}} \right)\ ^{2}\ \pm \sqrt{\left\lbrack 1 + \frac{m_{e}}{m} + \left( \frac{\omega_{o}}{\omega_{e}} \right)\ ^{2} \right\rbrack\ ^{2} - 4\left( \frac{\omega_{o}}{\omega_{e}} \right)\ ^{2}\ } \right\}$ 2.Dyn pochłaniacz służy do zmieniania sztywności tak, aby pracować w warunkach podkrytycznych w « w₀ lub w » w_0. Różni się od eliminatora zastosowaniem elementu intensywnie pochłaniającego drgania Układ równań opisujący jego drgania ma postać: m$\frac{d^{2}x_{1}}{\text{dt}^{2}} + c_{e}\frac{dx_{1}}{\text{dt}}\left( k + k_{e} \right)x_{1} - {c_{e}\frac{dx_{2}}{\text{dt}}k}_{e}x_{2} = F_{0}\sin\text{ωt}$, $m_{e}\frac{d^{2}x_{2}}{\text{dt}^{2}} + {c_{e}\frac{dx_{2}}{\text{dt}} + k}_{e}x_{2} - c_{e}\frac{dx_{1}}{\text{dt}}{- k}_{e}x_{1} = 0\ $Drgania ustalone opisują rozwiązania:x_j = Im(a_je^iωt),  j = 1, 2 gdzie$\ a_{1} = x_{\text{st}}\frac{(\frac{\omega_{e}}{\omega_{o}})^{2}\mu + \text{iυγ} - \mu\upsilon^{2}}{D}$, $a_{2} = x_{\text{st}}\frac{(\frac{\omega_{e}}{\omega_{o}})^{2}\mu + \text{iυγ}}{D}$ przy czym : D=$\upsilon^{4}\mu - i\upsilon^{3}\gamma\left( 1 + \mu \right) - \upsilon^{2}\left\lbrack 2\mu(\frac{\omega_{e}}{\omega_{o}})^{2} + 1 \right\rbrack + \text{iυγ} + (\frac{\omega_{e}}{\omega_{o}})^{2}\mu$ , $x_{\text{st}} = \frac{F_{o}}{k}$ ,$\omega_{o} = \sqrt{\frac{k}{m}}$, $\omega_{e} = \sqrt{\frac{k_{e}}{m_{e}}}$, $\mu = \frac{m_{e}}{m}$, υ=$\frac{\omega}{\omega_{o}}$, γ=$\frac{c}{m\omega_{o}}$.3.Wahad fizyc-ciało doskonale sztywne, które pod wpływem działania własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej O, nie przechodząc przez środek cięzkości ciała. Przekrój w.fiz jest płaszcz. prostopadłą do osi obrotu O i przechodzącą przez śr. C masy. OC=L. Wahad jest odchylone z położenia równowa o kąt α.Składową F2 ciężaru P,skierowaną wzdłuż OC,równoważy przeciwdziałanie osi O. Położenie równo wahad . : F₁=mgsinα. Przy małym kącie α siła F₁=mgα. Moment kierujący wahadła: M=-mgLα Rów równo momentów sił: J$\frac{d^{2}\alpha}{dt^{2}}$+mgLsinα=0, przy małym kącie α: J$\frac{d^{2}\alpha}{dt^{2}}$+mgLα=0, J – moment bezwładności wahadła względem osi O. Okres niewielkich wahań wahadła: T=2π$\sqrt{\frac{J}{\text{mgL}}}$ 4. Wahad matema -punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nieciągliwej nici. Jeżeli odchylimy wahadło od położenia równowagi tak, aby nić tworzyła z pionem kąt α ,a następnie puścimy je, to zacznie się wahać w płaszczyźnie pionowej pod działaniem własnego ciężaru. Siła kierująca wahadło do położenia równowagi jest składową F jego ciężaru mg: F=$\ - mg\frac{x}{l} = - \frac{\text{mg}}{l}x = - \text{kx}$, gdzie k=$\frac{\text{mg}}{l}$, Okres tych wahań to: T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$=2π$\sqrt{\frac{\text{ml}}{\text{mg}}}$=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$, Natomiast dla największego kąta odchylenia wahadła α, okres wahań wahadła wyraża się wzorem: T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$(1+$\frac{1}{4}$sin²$\frac{\alpha}{2} + \frac{9}{64}$ sin⁴$\frac{\alpha}{2} + ...)$ 5.E. kine, E. potenc i E. całk: e. potencjalna równa się pracy jaką musi wykonać siła zwrotna F = -kx, aby przesunąć ciało do położenia równowagi: $\text{Ep} = \frac{kx^{2}}{2}$, położenie: x=Acos(ωt+φ₀); $\text{Ep} = \frac{kx^{2}}{2} = \frac{k{\lbrack\text{Acos}\left( \omega t + \varphi 0 \right)\rbrack}^{2}}{2}$=$\frac{kA^{2}}{2}$cos²(ωt+φ₀) Ep=$\frac{kx^{2}}{2} = \frac{kA^{2}}{2}$cos²(ωt+φ₀) E. kinetyczna ciała to E_k=$\frac{mv^{2}}{2}$, Prędkość: v=-Aωsin(ωt+φ₀), E_k=$\frac{mv^{2}}{2}$=$\frac{m{\lbrack - A\omega\sin\left( \omega t + \varphi 0 \right)\rbrack}^{2}}{2}$=$\frac{m{A^{2}\omega}^{2}}{2}$sin²(ωt+φ₀), Ze wzoru na częstość kołową: m$= \frac{k}{\omega^{2}}\ $E_k=$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{1}{2}\frac{k}{\omega^{2}}A^{2}\omega^{2}\operatorname{}($ωt+φ₀)=$\ \frac{kA^{2}}{2}$sin²(ωt+φ₀) E. całkowita to: E_c=E_p+E_k=$\frac{kA^{2}}{2}$cos²(ωt+φ₀)+$\ \frac{kA^{2}}{2}$sin²(ωt+φ₀)=$\ \frac{kA^{2}}{2}$[cos²(ωt+φ₀)+ sin²(ωt+φ₀)]=$\ \frac{kA^{2}}{2}$, 6.Oscyl harmoni Przykładem oscyl h. jest ciało o masie m przyczepione do idealnej sprężyny o współ k i swobodnie poruszającej się po doskonale gładkiej powierzchni. Z 2 zas dynamiki Newtona F=ma. Czyli: ma=-kx, . Rów ruchu oscy harmon a=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} + \frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}}$, m$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}x = 0$. $\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}} + \frac{k}{m}x = 0$. Rów spełniające warunki, to: x=Acos(ωt + φ₀) 7.Stopnie swobod- Liczba stopni swobody jest to najmniejsza niezbędna liczba współrzędnych za pomocą, których można jednoznacznie opisać ruchy układu mechanicznego. Przykłady: -wah fizy, -wah matem, -oscyl harmo,…8. Zas. d’Alamberta $\sum_{k = 1}^{n}{\lbrack b_{\text{jk}}\ddot{x_{k}}}\left( t \right) + c_{\text{jk}}\dot{x_{k}}\left( t \right) + r_{\text{jk}}x_{k}(t)\rbrack = Q_{j}(t),\ j = 1,2,..n$ Rów te wyrażają zasadę d’Alamberta równowagi sił zewnętrznych (Qj), wewnętrznych ($\sum_{k = 1}^{n}{c_{\text{jk}}\dot{x_{k},}}\sum_{k = 1}^{n}{r_{\text{jk}}x_{k}}$) i bezwładności, działających w kierunku j-tej współrzędnej 9. Rów Lagrange’a, współ uogólnione: $\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}}{\partial{\dot{x}}_{j}} \right) - \frac{\partial E_{k}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial E_{p}}{\partial x_{j}} = Q_{j +}R_{j}$gdzie: Ek – e kinetyczna, Ep – en potencjalna, Qj – uogólniona siła zewn odpowiadająca j-tej współrzędnej, a Rj – uogólniona siła tłumienia. Współr uogólnione – zbiór wzajemnie niezależnych parametrów {x1,x2,…,xn} opisujących ruch danego układu. Prędkości uogólnione – pochodne czasowe współrzę uogólnionych postaci: $\left\{ \dot{x_{1},}\dot{x_{2},\ldots},\dot{x_{n}} \right\}$Przyśpieszenie uogólnione – pochodne czasowe drugiego stopnia współrzędnych uogólnionych postaci: $\left\{ \ddot{x_{1},}\ddot{x_{2},}\ddot{x_{n}} \right\}$10. Analogia elektryczno-mechaniczna: U_R-spadek napiecia na rezystorze U_R=I*R= R_E*dQ(t)/dt , U_L-spadek napiecia na pojemności U_L=L*dI/dt= L*d ² Q (t)/dt , U_C-spadek napiecia na konde U_C=Q/C=1/C * Q(t) ; z prawa Kirchoffa „Suma napięć w obw zamkniętym jest równa 0” $\sum_{i = A}^{n}{U_{i} = 0 \rightarrow U_{R} + U_{L} + U_{C} = U_{O}\text{sinwt}}$, Rów drgan elektr, $R_{e}\frac{dQ(t)}{\text{dt}} + L_{}\frac{d^{2}Q(t)}{\text{dt}} + \frac{1}{C}_{}Q(t) = U_{0}\text{sinwt}$ /:L -> $\frac{d^{2}Q(t)}{\text{dt}} + \frac{R_{e}}{L}\frac{dQ(t)}{\text{dt}} + \frac{1}{\text{LC}}_{}Q(t) = \frac{U_{o}}{L}s\text{inwt}$ -> 2b=R_e/L ; w_o²=1/LC- czestość drgan własnych -> $\frac{d^{2}Q(t)}{\text{dt}} + 2b\frac{dQ(t)}{\text{dt}} + w_{0}^{2}Q(t) = \frac{U_{o}}{L}\text{sinwt}$ ; A=$\frac{U_{o}}{L}\ \frac{1}{\sqrt{\left( w^{2} - w_{2}^{2} \right) + \ 4b^{2}w^{2}}}$ Równ drgań wymuszonych (ukł mech) m$\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} + R_{M}\frac{dQ(t)}{\text{dt}} + kx\left( t \right) = Fosinwt$ ; analogia : a$\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}} + b\frac{dy(x)}{\text{dx}} + cy\left( x \right) = f(x)$ (L-m, Re-Rm, 1/c-k, zmienne zależne: U-F) (analogia pom ukł elektr i mech opieraj się na podobien rown matemat charakt zachow się tych uklad) 11. Drgania parametryczne:* -mowimy o nich , gdy zewn źródło energii zmienia z upływem czasu właściw ukł. Dla drg.lin.przynajmniej 1 współ. (masa ,sztywność ,tłumienie)będzie funk czasu . Istotny jest przypadek okresowej zmiany sztyw ukł.który może spowodować powst.zjawiska utray statecz,zwany rezonansem parametr.Jest to zjawisko narastania przypadkowych drg. Dla war.|α|>1.Jego powst zależy od relacji między Tp(okres.pobudz param),a To(okr własnym drg)i μ(współ. Głębokości modulacji param). Tp=2Π/p , To=2Π/ω_o *Rówdla przypadku zmiennej sztywności układu oraz szkic roz: $\frac{d^{2}n}{dt^{2}}\left( t \right) + \left\lbrack \omega^{2} + \ \varphi\left( t \right) \right\rbrack n\left( t \right) = 0$ (w którym: φ(t)=ω₀² ->µ dla 0 <t<$\frac{T2}{2}$/ -µ dla $\frac{T2\ }{2}$<t<T_p)12. Różnice między przebiegiem drgań liniowych i nieliniowych:1.Do ukł nielin nie można stos zasady superpozycji rozwiązań i nie można ich + 2.Ukł nielin mogą mieć wiele położeń równowagi i przebieg drgań w otoczeniu każdego położenia równowagi może być inny 3.Aby poznać właśc dyn ukł nielin,należy zbadać przebieg wszystkich rozw tego ukł. 4.Jeżeli na ukł nielin działa siła wymusz harm,to mogą powstać drgania pod i nadharm,a w liniowych nie. 4. W ukł nielin okres drgań zależy od A wykonyw drgań,więc jest zależny od war pocz. 5. W ukł nielin może występować taki przepływ energii z jednych elem do 2,że mogą powstać drgania samowzbudne ogran. 6.W ukł lini mogą występować niestateczne drgania okreso. 13. Energia w układzie elektrycznym

DODATKOWE:

Koncepcje przeciwdziałania szkodliwym drganiom wynikają z aproksymacji układu modelem liniowym o jednym stopniu swobody $a = \frac{F_{o}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + {4\beta}^{2}\omega^{2}}}$ gdzie: a-amplituda stalonych drgań Zmniejszenie F₀ otrzymamy przez wyważenie elementów wirujących, które są podstawowym źródłem wymuszeń harmonicznych oraz przez izolację badanego układu pobudzającego. Elementy tłumiące stosuje się gdy nie można uniknąć eksploatacji układu w warunkach rezonansu Położenie równowagi statycznej- drgania układów dla których położenie jest określone relacjami x_j=0, j=1,2,…,n n-liczba stopni swobody. Okres pobudzenia parametrycznego T_p=2Π/p

Drgania parametryczne są gdy zewnętrzne źródło energii zmienia z upływem czasu właściwości układu. W przypadku drgań liniowych przynajmniej jeden współczynnik równania (masa, sztywność, tłumienie) będzie jawną funkcją czasu.Rezonans parametryczny jest to przypadek powstania zjawiska utraty stateczności, spowodowany przez okresową zmianę sztywności układu. Rezonansem param nazywamy zjawisko narastania przypadkowych drgań, zachodzące przy warunku |α|> 1 nazywamy rezonansem parametrycznym. Powstanie rezonansu parametrycznego zależy od relacji między okresem pobudzania parametrycznego Tp a okresem własnym układu T0 oraz współczynnika głębokości modulacji parametrycznej μ. T_o=2Π/w_o, μ=ϕ_max/w_o² . Kształt obszarów rezonansu parametrycznego na płaszczyźnie μ,Tp / T0 zależy od kształtu wykresu funkcji ϕ(t).II Zasada Newtona- F=ma=-mw²Acos(wt+ϕ_o)=-mw²x podaje związek między siłami i przyśpieszniem.Siła zwrotna- Siła działająca na drgający punkt materialny jest wprost proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie do położenia równowagi. Okres i faza siły są zgodne z okresem i fazą przyśpieszenia.Siła quasi-sprężysta i- Siły F, które mają inny charakter niż siły sprężyste i spełniają zależność: F=-kx gdzie k=mw², k-współ siły quasisprę.Rów prostoliniowych drgań harmonicznych: d²x/dt²+k/m*x=0 Częstość kołowa- m=k/w²